Beta-Verteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beta-Verteilung für verschiedene Parameterwerte
Kumulative Verteilungsfunktion für verschiedene Parameterwerte

Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen über dem Intervall , parametrisiert durch zwei Parameter, die häufig als p und q – oder auch als α und β – bezeichnet werden. In der bayesschen Statistik ist die Beta-Verteilung die konjugierte a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bernoulli-, Binomial-, der negativen Binomial- und der geometrischen Verteilung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

Außerhalb des Intervalls wird sie durch fortgesetzt. Für lässt sich durch ersetzen. Die Beta-Verteilung besitzt die reellen Parameter und (in den nebenstehenden Grafiken und ). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird (bzw. ) gefordert.

Der Vorfaktor dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

mit

Die Funktion heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert berechnet sich zu

.

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion , ist für ,

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz ergibt sich zu

.

Standardabweichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Standardabweichung ergibt sich

.

Variationskoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe ergibt sich zu

.

Höhere Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beta-Verteilung ist für symmetrisch um mit der Schiefe .

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

.

Mit der hypergeometrischen Funktion erhält man die Darstellung

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

.

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn und unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern bzw. , dann ist die Größe betaverteilt mit Parametern und , kurz

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind unabhängige auf stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken betaverteilt. Genauer gilt

für .

Mischverteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Binomialverteilung, deren Parameter betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beta-Verteilung kann aus zwei Gammaverteilungen bestimmt werden: Der Quotient aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen und , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern und bzw. , ist betaverteilt mit den Parametern und . und lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit bzw. Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der linearen Regression wird eine geschätzte Regressionsgerade durch eine „Punktwolke“ mit Wertepaaren zweier statistischer Merkmale und gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der -Werte von der Geraden minimiert wird.

Die Streuung der Schätzwerte um ihren Mittelwert kann durch gemessen werden und die Streuung der Messwerte um ihren Mittelwert kann durch gemessen werden. Erstere stellt die „(durch die Regression) erklärte Quadratsumme“ (sum of squares explained, kurz: SSE) und letztere stellt die „totale Quadratsumme“ (sum of squares total, kurz: SST) dar. Der Quotient dieser beiden Größen ist das Bestimmtheitsmaß:

.

Die „(durch die Regression) nicht erklärte Quadratsumme“ bzw. die „Residuenquadratsumme“ (residual sum of squares, kurz SSR) ist durch gegeben. Durch die Quadratsummenzerlegung lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch darstellen als

.

Es ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von und darstellt (), ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt. Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim globalen F-Test durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Verallgemeinerung: Beta-Verteilung auf (a,b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

wobei und die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von zu

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist betaverteilt auf dem Intervall mit Parametern , , dann ist

betaverteilt auf dem Intervall mit den gleichen Parametern , . Ist umgekehrt betaverteilt auf , dann ist

betaverteilt auf .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt .

Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeiten einer Stichprobe im Dreieckstest (schwarze Linie) bei einer Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von (blaue Linie)

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter . Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten mit die Beta-Verteilung auf hergeleitet.[1] Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf .

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten der einzelnen Probanden seien zunächst betaverteilt auf mit Parametern und . Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf ergeben sich aus . Die Wahrscheinlichkeitsdichte von lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von hat eine positive Dichte im Intervall . Die Transformation mit ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion . Für die gesuchte Dichtefunktion von erhält man

.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von auf wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von auf dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf mit Parametern und eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt . Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Brockhoff, Per Bruun. "The statistical power of replications in difference tests." Food Quality and Preference 14.5 (2003): 405-417.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]