Beugungsintegral

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Das Beugungsintegral ermöglicht es, in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, welche die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt.

Zwei Grenzfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.

Versuchsaufbau zur Beugung von Licht an einer Blende

Die nebenstehende Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle , einer Blende , an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität an untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z. B. Beugungsscheibchen und Klotoide.

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Skizze zur Fraunhofer-/Fresnel-Näherung des Beugungsintegrals

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral, auch Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet

Dabei bezeichnen

  • die Amplitude der Quelle,
  • den Betrag des Wellenvektors,
  • die Wellenlänge des Lichtes,
  • ein infinitesimales Flächenelement der Blende,
  • die Blendenfunktion,
  • den Neigungsfaktor und schließlich
  • die Amplitude im Punkt auf dem Beobachtungsschirm.

Da die Abstände und in den meisten Anwendungen hinreichend senkrecht zur Blende sind, kann der Neigungsfaktor in diesen Fällen gleich Eins gesetzt werden. Dabei sind bzw. die Winkel zwischen den mit bzw. gekennzeichneten Linien und einem Lot auf die Blendenebene im Schnittpunkt der Linien.

Die Intensität am Punkt ergibt sich als Betragsquadrat von

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzip der Fresnelbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende
Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende
Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand eines Linsensystems und einer Schlitzblende

Für die Lichtwege und gelten die geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze)

und
.

Unter den Annahmen und können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass , d. h., für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt

Die Näherung für die Ausdrücke und , explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt

sowie

Ausgedrückt durch die Koordinaten und ergibt das

und

Fraunhofer-Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass nicht nur die Blendenöffnung als klein, sondern auch die Entfernung des Beobachtungsschirms als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend diesen Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in und sind, das heißt

In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu

Definiert man einen neuen Wellenvektor , so ergibt sich für das Integral

.

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion .

Fresnel-Näherung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. Hier werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das Beugungsintegral hat dann nicht mehr die einfache Form einer Fourier-Transformierten und ist im Allgemeinen nur numerisch lösbar.

Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in und ergibt sich

In diesem Fall lautet das Beugungsintegral

Einführung von mit und ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnungen

Aus der Quelle mit Amplitude bei tritt die Kugelwelle , deren Amplitude reziprok mit der Entfernung () abnimmt. Wellenvektor mal Abstand gibt die Phasenverschiebung der Welle am Ort , Kreisfrequenz mal Zeit die Phasenverschiebung zur Zeit . Die Welle ist beschrieben durch die Phase am Ort zur Zeit :

Am Punkt bei trifft die Welle im Abstand auf die Blende. Es sei die Feldverteilung der Welle am Punkt .

Nach dem Huygensschen Prinzip ist der Punkt Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle .

Die Amplitude von ist proportional zur Quellen-Amplitude und zur Blendenfunktion . Die Blendenfunktion gibt die Durchlässigkeit der Blende an. Im einfachsten Fall ist , wenn die Blende geöffnet ist, und , wenn die Blende geschlossen ist. ist das infinitesimale Flächenelement der Blendenöffnung am Punkt .

Die Sekundärwelle erzeugt im Punkt bei auf dem Schirm die Wellenintensität . Sie ist infinitesimal, da nur der Beitrag von und nicht aller anderen Punkte auf der Blende betrachtet wird.

Die Zeitabhängigkeit kann vernachlässigt werden, da sie später beim Rechnen mit Intensitäten ohnehin durch die zeitliche Mittelung verschwindet.
Durch Einsetzen erhält man:

Von jedem Punkt auf der Blende geht eine Sekundärwelle aus. Die Intensität im Beobachtungspunkt wird durch die Überlagerung aller Einzelbeiträge erzeugt:

Diese Gleichung erinnert bereits stark an das oben gegebene Beugungsintegral. Mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt sich (Neigungswinkel vernachlässigt):