Bewertung (Algebra)

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Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

Bewertungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Bewertung eines Körpers ist eine Funktion in einen angeordneten Körper mit den Eigenschaften[1][2]

  1. und

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur . Eine Bewertung heißt nicht-archimedisch, wenn für . Es kann gezeigt werden, dass eine Bewertung genau dann nicht-archimedisch ist, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine totalgeordnete abelsche Gruppe und ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

für alle .

heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe .

Zwei Bewertungen und heißen äquivalent, wenn gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und Bewertungsringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integritätsbereich heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element des Quotientenkörpers von gilt oder .

Ist ein Bewertungsring mit Quotientenkörper , so kann man eine Bewertung auf mit Wertegruppe definieren:

dabei bezeichnet das Bild von in ; die Ordnung auf ist definiert durch

für

Ist umgekehrt ein bewerteter Körper mit Bewertung , so ist

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung genannt wird. Die Gruppe ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von .

Für einen Körper gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf und Bewertungsringen, die in enthalten sind.

Diskrete Bewertungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

für alle . zusammen mit heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • die -Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl
  • die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilmenge

bildet einen Unterring von , den Bewertungsring von . Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal , welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-Bewertung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Primzahl.

Die -Bewertung (auch: die -adische Bewertung oder der -Exponent) einer natürlichen oder ganzen Zahl ist die größte Zahl , so dass noch durch teilbar ist. Die -Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

so ist

Tritt eine Primzahl nicht in der Primfaktorzerlegung von auf, dann ist .

Man setzt , weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die -Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die -Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der -Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl mit ist also

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs auf, ist also eine negative Zahl.

Die -Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine -ganze Zahl (auch "-adisch ganze Zahl" oder "für ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative -Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht -ganz sind, werden manchmal auch "-gebrochen" genannt.

Die Menge aller -ganzen Zahlen ist ein Unterring von , der geschrieben wird. ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich .

Ist allgemeiner eine Menge von Primzahlen, so ist eine -ganze Zahl eine rationale Zahl, die -ganz für jedes ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus teilbar ist. Die Menge der -ganzen Zahlen bildet einen Unterring von .

Beispiele
  • Für ist .
  • Für eine Primzahl und ist , der diskrete Bewertungsring der -ganzen Zahlen.
  • Für ist der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Waerden, op. cit., S. 200
  2. Neukirch, op. cit., S. 121