Bialgebra

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Bialgebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Körper und sowohl unitäre assoziative Algebra über als auch Koalgebra über . Dabei bezeichne die Multiplikation, die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), die Komultiplikation und die Koeins.

heißt Bialgebra über wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

  • Die Komultiplikation und die Koeins sind Algebrahomomorphismen.
  • Die Multiplikation und die Eins sind Koalgebrahomomorphismen.
  • Die folgenden Diagramme kommutieren
Bialgebra-eta-Delta.svg
Bialgebra-mu-Delta.svg
Bialgebra-eta-epsilon.svg
Bialgebra-mu-epsilon.svg

Dabei ist die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte und angewandt auf .

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6