Bieberbachsche Vermutung

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Die bieberbachsche Vermutung ist ein mathematischer Satz im Gebiet der komplexen Analysis über analytische Funktionen. Sie wurde im Jahr 1916 von Ludwig Bieberbach als Vermutung aufgestellt und im Jahr 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen und wird daher seitdem auch Satz von de Branges genannt.

Die bieberbachsche Vermutung besagt, dass für eine analytische und injektive Funktion (sog. schlichte Funktion)

mit ,

wobei die Einheitskreisscheibe bezeichnet, stets

für alle gilt.

Bieberbach bewies . Charles Loewner (1917) und Rolf Nevanlinna (1921) bewiesen die Vermutung unabhängig für sternartige Funktionen. Das sind schlichte Funktionen in der Einheitskreisscheibe mit , , deren Bild ein Sterngebiet ist, was äquivalent dazu ist, dass sie das Nevanlinna-Kriterium erfüllen ( hat positiven Realteil für und ). 1923 bewies Loewner mit der Loewner-Gleichung, dass . Auch spätere Arbeiten benutzten meist die Methode von Loewner (die auch bei der Schramm-Löwner-Evolution eine wichtige Rolle spielt). John Edensor Littlewood bewies 1925 eine obere Schranke mit der Eulerschen Zahl. Die Schranke wurde später verbessert. Paul Garabedian und Max Schiffer erledigten den Fall (1955), Pedersen und Schiffer (1972) und Pedersen (1968) und Ozawa (1969) unabhängig . Walter Hayman erzielte asymptotische Resultate, er zeigte dass existiert und außer bei einer Koebefunktion. Außerdem zeigte er, dass für jede Funktion in der Bieberbachvermutung höchstens endlich viele Ausnahmen existieren. Louis de Branges bewies schließlich 1984 die Bieberbach-Vermutung über eine Vermutung von Isaak Moissejewitsch Milin, und die Leningrader Funktionentheorie-Schule von Milin spielte auch die ausschlaggebende Rolle in der Verifikation von de Branges Beweis (unter anderem Galina Wassiljewna Kusmina, Arcadii Z. Grinshpan). Der ursprüngliche Beweis von De Branges benutzte Funktionalanalysis (aber auch zum Beispiel die Löwner-Gleichung) und die russischen Mathematiker suchten einen Beweis ohne Funktionalanalysis nur mit Methoden der geometrischen Funktionentheorie, von dem sie dann auch De Branges für eine Veröffentlichung überzeugten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]