Biegelinie

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Eine Biegelinie (auch Biegungslinie, Durchbiegungslinie, elastische Linie) ist eine mathematisch einfach beschreibbare Kurve für die Verformung eines geraden Balkens bei mechanischer Belastung.[1]

Bild 4:
Verlauf des Biegemoments
an einem Balken
mit mittiger Kraft F,
hier dargestellt als Punktlast P,
mit dem maximalen Biegemoment M bei l/2,
einschließlich des Querkraftverlaufs Q
und der Biegeline w

Die Gleichung der Biegelinie ist ein Teil der Balkentheorie.[2] Sie wird verwendet, um die Durchbiegung von Balken im Bereich des linear-elastischen Materialverhaltens zu bestimmen. Dabei wird die Theorie I. Ordnung zugrunde gelegt, d. h. man nimmt die biegebedingte Verformungen als so klein an, dass sie bei der Aufstellung der Gleichung vernachlässigt werden können.

Für den Bereich des nichtlinear-elastischen Materialverhaltens sind Abänderungen erforderlich (vgl. Nichtlineare Stabstatik).

Zusammenhang mit der Balkenkrümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zusammenhang zwischen Balkenkrümmung und Biegelinie ist mit einer Differentialgleichung darstellbar.

Die Krümmung in einem elastischen geraden Balken ist dem Biegemoment (Schnittmoment) an der Stelle proportional. Unter Einbeziehung des Hooke’schen Stoffgesetzes erhält man

.[3][4]

Darin sind

Mit der rein geometrischen Definition einer Kurvenkrümmung folgt daraus die Differentialgleichung der Balkendurchbiegung :

.[5]

Die Striche bezeichnen die Ableitung nach der Balkenlängskoordinate .

In den meisten praktischen Fällen ist die Durchbiegung so klein, dass bleibt. Dann genügt zur Bestimmung der Biegelinie die genäherte Differentialgleichung:

[3]

Differentialbeziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Balkentheorie gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

  • [6]
  • [6]
  • [6][7]
  • [6]

mit

  • der Laufkoordinate entlang der Balkenachse
  • dem Elastizitätsmodul
  • dem Schubmodul (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
  • dem Flächenträgheitsmoment I(x)
  • der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt )
  • der Querkraft
  • die Normalkraft nach Theorie Theorie II. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
  • der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit[7])
  • dem Biegemoment
  • dem Steckemoment (Biegebelastung pro Längeneinheit[7])
  • der Verdrehung
  • der eingeprägten Krümmung
  • der Durchbiegung zufolge Belastung
  • der Durchbiegung zufolge Vorverformung
  • der Schubfläche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).

Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und dem Biegemoment im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren Flächenlast gegeben ist (Die Koordinate wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse , die Koordinate verläuft in Richtung der Querkraft.):

Die letzte Gleichung vierter Ordnung heißt auch Euler-Bernoulli-Gleichung.

Damit die Durchbiegung berechnet werden kann, muss der Elastizitätsmodul des Materials bekannt sein. Ferner muss vorab das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts ermittelt und der Verlauf der äußeren Streckenlast oder der Verlauf von Biegemoment oder Querkraft bestimmt werden. Die Gleichung kann dann mehrmals integriert werden, bis auf der einen Seite die Durchbiegung steht. Hierbei ergeben sich mehrere Integrationskonstanten, die durch eine entsprechende Anzahl von Randbedingungen bestimmbar sind.

Die folgende Zusammenstellung zeigt das Vorgehen, wenn vorab der Verlauf des Biegemoments ermittelt wurde und der Elastizitätsmodul und das Flächenträgheitsmoment über die Länge des Balkens konstant sind:

,
,
.

Es ergeben sich die zwei unbekannten Konstanten und . Diese können nun durch zwei Randbedingungen bestimmt werden. Zum Beispiel gilt bei einem Auflager an der Stelle , welches eine Querkraft aufnehmen kann: . Für ein Auflager an der Stelle , welches ein Moment aufnehmen kann, gilt: .

Wenn der Balken mit einer Streckenlast beaufschlagt ist, findet man den Biegemomentverlauf wie folgt:

,
,
,

bestimmt die Integrationskonstanten und folgt weiter der vorherigen Zusammenstellung.

Kreismembran[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Halbe kreisrunde Membran
Infinitesimales Membranelement

Im Falle einer kreisrunden Membran werden oft auch vereinfacht die Formeln aus der Balkentheorie verwendet. Unter der Annahme einer homogenen Membran wird dann bei rotationssymmetrischen Kräften eine einfache Biegelinie berechnet. Also nur ein Querschnitt der Membran.

Mit dem tangentialen und radialen Biegemoment und und unter Vernachlässigung von Differentialen höherer Ordnung ergibt sich die Momentgleichung

Die Biegemomente lassen sich über die Poissonzahl angeben zu:

ist hierbei das Widerstandsmoment, das sich über den Elastizitätsmodul der Membran mit Dicke wie folgt beschreiben lässt:

Die Biegelinie einer Kreismembran lautet dann in Differentialform, unter Vernachlässigung von kleinen Termen höherer Ordnung sowie von Zugspannungen (nur zulässig für geringe Dehnungen):

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Otto Lueger: Lexikon der gesamten Technik. 1904
  2. Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper. Springer-Verlag, Wien 1966, ISBN 3-211-80777-2
  3. a b Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. Hrsg.: E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen – Fakultät Bauingenieurwesen, TU Wien. SS 2017 Auflage. TU Verlag, Wien 2017, ISBN 978-3-903024-41-0, 10. Lösen der linearen Differentialgleichungen in der linearen Stabtheorie (516 S., tuverlag.at – Erstausgabe: 2012). Baustatik VO – LVA-Nr 202.065 (Memento des Originals vom 17. Juli 2017 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/shop.tuverlag.at
  4. Herbert Mang, Günter Hofstetter: Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, Seite 228
  5. Herbert Mang, Günter Hofstetter: Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, Seite 176
  6. a b c d Bernhard Pichler: 202.068 Baustatik 2. WS2013 Auflage. Wien 2013, VO_06_ThIIO_Uebertragungsbeziehungen (Onlineplattform der TU Wien).
  7. a b c Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 S., Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien [abgerufen am 14. Januar 2017]). Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.grafischeszentrum.com