Bild (Mathematik)

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Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}

Bei einer mathematischen Funktion ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge , die auf tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der ganzen Zielmenge [3] verwendet werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Übliche Notationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion und eine Teilmenge von bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter , also:

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel:

Alternative Notationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Obige Schreibweise ist mit Vorsicht zu genießen. Ist eine Menge und , so ist und . Für eine Funktion ist dann mehrdeutig. Es kann für das Bild der Menge oder für den Funktionswert von stehen. Daher verwenden manche Autoren eckige Klammern, das heißt für die Bildmenge. Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich vor.[4][5] In vielen Bereichen bereitet diese Mehrdeutigkeit keine Probleme.
  • Für ist auch die englische Bezeichnung („im“ vom englischen Wort image) gebräuchlich.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten die Funktion (ganze Zahlen) mit .

  • Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Funktion und und seien Teilmengen von :

  • ist genau dann surjektiv, wenn .

  • Ist injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern, die Teilaussage über Gleichheit bei Injektivität nur bei nichtleeren Familien.[6]

Bilder von Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat man es mit Strukturen auf Mengen und strukturerhaltenden Abbildungen zu tun, so hat man eine solche Struktur in der Regel auch auf der Bildmenge. Mit Bild oder Bildraum meint man dann oft die Bildmenge mit dieser Struktur.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 106.
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S. 12, Definition 1.12.
  3. Michael Ruzicka, Lars Diening: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. (Memento vom 23. Januar 2005 im Internet Archive). S. 21. (Memento vom 21. Oktober 2013 im Internet Archive) (PDF; 74 kB).
  4. Jean E. Rubin: Set Theory for the Mathematician. Holden-Day, 1967, S. xix.
  5. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU. 29. Dezember 2005, auf: Semantic Scholar. S. 2.
  6. Beweise im Beweisarchiv