Bild (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}.

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der ganzen Zielmenge Y[3] verwendet werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblichste Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion und eine Teilmenge von bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter , also:

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel:

Alternative Notationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für wird auch die Notation verwendet.

Die englische Bezeichnung („im“ vom englischen Wort image) für ist ebenfalls gebräuchlich.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten die Funktion (ganze Zahlen) mit .

  • Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Funktion und und seien Teilmengen von :

  • ist genau dann surjektiv, wenn .

  • Ist injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige nichtleere Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S 106.
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S. 12, Definition 1.12.
  3. Michael Ruzicka, Lars Diening: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. (Memento vom 23. Januar 2005 im Internet Archive). S. 21. (Memento vom 21. Oktober 2013 im Internet Archive). (PDF; 74 kB).