Bimatrix

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Beispiel einer Bimatrix im Kopf oder Zahl-Spiel

In der Spieltheorie wird als Bimatrix die matrizielle Darstellung eines Zweipersonenspiels in Normalform bezeichnet. Der Name „Bimatrix“ rührt daher, dass Spiele in Normalform durch zwei Matrizen beschrieben werden können – Matrix , die die Auszahlungen des Spielers 1 beschreibt, und Matrix , die die Auszahlungen des Spielers 2 beschreibt.[1]

Spieler 1 wird oft als „Zeilenspieler“ und Spieler 2 oft als „Spaltenspieler“ bezeichnet.

Allgemeine Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 





Für dieses Zweipersonenspiel gilt, dass es symmetrisch ist, wenn . Somit lässt sich die Bimatrix wie folgt darstellen:

 





Falls is diesem Spiel gilt, dann handelt es sich um ein Gefangenendilemma.

Auszahlungsdominanz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn der Fall eintritt, dass gilt, dann besteht eine Gefahr der Fehlkoordination, da es nicht mehr möglich ist, die Gleichgewichte bezüglich ihrer Auszahlungen zu unterscheiden. Wenn aber gilt, dass ist, dann ist das Nash-Gleichgewicht auszahlungsdominant. Rational handelnde Spieler 1 und 2 wählen somit die Strategien und .

Risikodominanz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Konzept der Risikodominanz wird herangezogen, wenn die Lösung eines Spieles nicht eindeutig erscheint aus dem Grund, dass es kein eindeutiges Gleichgewicht gibt. Dieses Problem versucht man mit der Hilfe verschiedener Möglichkeiten zu lösen. Eine ist die Risikodominanz, bei der untersucht wird, welches Gleichgewicht am wenigsten risikobehaftet (risikodominant) ist. In der oben genannten symmetrischen Bimatrix liegt bei der Strategiekombiantion Risikodominanz vor, wenn:

Dies ist das sogenannte Harsanyi-Selten-Kriterium; es leitet sich aus der Bedingung für Risikodominanz ab ().

Koordinationsspiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Spieltheorie bezeichnet man ein Spiel, bei dem im Gegensatz zu vielen strategischen Situationen nicht der Konflikt im Mittelpunkt steht, sondern die Akteure durch Koordination ihres Verhaltens die höchsten Auszahlungen erzielen können, als Koordinationsspiel.

Konstruktion: Ein Koordinationsspiel entsteht bei der oben genannten symmetrischen Bimatrix, wenn für Spieler 1 gilt:

und

und für Spieler 2 gilt:

und

Daraus folgt, dass (Oben,Links) und (Unten, Rechts) die zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sind.

Anti-Koordinationsspiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spiel ist genau dann ein Antikoordinationsspiel, wenn und für Spieler 1 und und für Spieler 2. Aufgrund dieser Restriktionen an die Auszahlungen sind (Unten, Links) und (Oben,Rechts) die beiden reinen Nash-Gleichgewichte. Außerdem muss sein, damit ein Wechsel von (oben, links) zu (oben,rechts) die Auszahlung von Spieler 2 erhöht, aber die von Spieler 1 verringert, wodurch der Konflikt entsteht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Chandrasekaran, R: Bimatrix games. Abgerufen am 17. Dezember 2015.