Blockmatrix

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Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 and 8.

In der Mathematik bezeichnet eine Blockmatrix eine Matrix, die so interpretiert wird, als sei sie in mehrere Teile, genannt Blöcke zerlegt worden. Eine Blockmatrix kann auf intuitive Art und Weise als die Originalmatrix mit einer bestimmten Anzahl an horizontalen und vertikalen Trennstrichen dargestellt werden. Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in Untermatrizen auf.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mathbf{M} eine Matrix der Größe m\times n. Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels m = m_1 + m_2 + \cdots + m_q und n = n_1 + n_2 + \cdots + n_r ganzzahlig zerlegt, wobei q und r die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich \mathbf{M} darstellen als

\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \cdots & \mathbf{M}_{1r}\\
\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \cdots & \mathbf{M}_{2r}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{M}_{q1} & \mathbf{M}_{q2} & \cdots & \mathbf{M}_{qr}\end{bmatrix}

mit Untermatrizen \mathbf{M}_{ij} der Größe m_i \times n_j. Jede (m \times n)-Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die m Zeilen und n Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit mn Blöcken der Größe 1\times 1 aufgefasst werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Matrix

\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}

kann in vier (2 \times 2)-Blöcke zerlegt werden

\mathbf{M}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix},   \mathbf{M}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{bmatrix},  \mathbf{M}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix},   \mathbf{M}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{bmatrix}.

Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu

\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12}\\
\mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22}\end{bmatrix}.

Multiplikation von Blockmatrizen[Bearbeiten]

Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen

Das Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei \mathbf{A} eine (m \times n)-Matrix mit q Zeilenzerlegungen and r Spaltenzerlegungen


\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1r}\\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qr}\end{bmatrix}

und \mathbf{B} eine (n \times p)-Matrix mit r Zeilenzerlegungen und s Spaltenzerlegungen


\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1s}\\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{B}_{r1} & \mathbf{B}_{r2} & \cdots &\mathbf{B}_{rs}\end{bmatrix},

dann gilt, dass das Produkt


\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}

blockweise berechnet werden kann, wobei \mathbf{C} eine (m \times p)-Matrix mit q Zeilenzerlegungen und s Spaltenzerlegungen ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix \mathbf{C} sind gegeben durch


\mathbf{C}_{ik} = \sum^r_{j=1}\mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}.

Oder, mithilfe der Einsteinschen Summenkonvention, welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt


\mathbf{C}_{ik} = \mathbf{A}_{ij}\mathbf{B}_{jk}.

Blockdiagonalmatrix[Bearbeiten]

Eine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind, und alle restlichen Blöcke Nullmatrizen sind. Eine Blockdiagonalmatrix \mathbf{A} hat die Form

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} 
\end{bmatrix}

wobei die Untermatrizen \mathbf{A}_k quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist \mathbf{A} die direkte Summe von \mathbf{A}_1, \ldots , \mathbf{A}_n, das heißt

\mathbf{A} = \mathbf{A}_1 \oplus \mathbf{A}_2 \oplus \cdots \oplus \mathbf{A}_n

oder mit dem Formalismus von Diagonalmatrizen

\mathbf{A} = \operatorname{diag}(\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \ldots , \mathbf{A}_n).

Für die Determinante und die Spur einer Blockdiagonalmatrix gilt

 \operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \cdot \ldots \cdot \operatorname{det} \mathbf{A}_n

und

 \operatorname{Spur}(\mathbf{A}) = \operatorname{Spur}(\mathbf{A}_1) +\cdots +\operatorname{Spur}(\mathbf{A}_n).

Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix \mathbf{A} ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke

\begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} 
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & \mathbf{A}_{2}^{-1} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n}^{-1} 
\end{bmatrix}.

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen \mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{n}.

Blocktridiagonalmatrix[Bearbeiten]

Eine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) Nebendiagonalen . Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix, allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren. Eine Blocktridiagonalmatrix \mathbf{A} hat die Form

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{1}  & \mathbf{C}_{1}  &         &         & \cdots  &         & 0 \\
\mathbf{A}_{2}  & \mathbf{B}_{2}  & \mathbf{C}_{2}   &         &         &         & \\
       & \ddots & \ddots  & \ddots  &         &         & \vdots \\
       &        & \mathbf{A}_{k}   & \mathbf{B}_{k}   & \mathbf{C}_{k}   &         & \\
\vdots &        &         & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \\
       &        &         &         & \mathbf{A}_{n-1} & \mathbf{B}_{n-1} & \mathbf{C}_{n-1}   \\
0      &        & \cdots  &         &         & \mathbf{A}_{n}   & \mathbf{B}_{n}
\end{bmatrix}

wobei \mathbf{A}_k, \mathbf{B}_k und \mathbf{C}_k jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.

Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der numerischen Strömungsmechanik). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR-Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix. Der Thomas-Algorithmus, welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.

Block-Toeplitz-Matrix[Bearbeiten]

Eine Block-Toeplitz-Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die Toeplitz-Matrix wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält. Eine Block-Toeplitz-Matrix \mathbf{A} hat die Form

 
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{(1,1)}  & \mathbf{A}_{(1,2)}  &         &         & \cdots  &     \mathbf{A}_{(1,n-1)}    & \mathbf{A}_{(1,n)} \\
\mathbf{A}_{(2,1)}  & \mathbf{A}_{(1,1)}  & \mathbf{A}_{(1,2)}   &         &         &         & \mathbf{A}_{(1,n-1)} \\
       & \ddots & \ddots  & \ddots  &         &         & \vdots \\
       &        & \mathbf{A}_{(2,1)}   & \mathbf{A}_{(1,1)}   & \mathbf{A}_{(1,2)}   &         & \\
\vdots &        &         & \ddots  & \ddots  & \ddots  & \\
\mathbf{A}_{(n-1,1)}       &        &         &         & \mathbf{A}_{(2,1)} & \mathbf{A}_{(1,1)} & \mathbf{A}_{(1,2)}   \\
\mathbf{A}_{(n,1)}      & \mathbf{A}_{(n-1,1)}       & \cdots  &         &         & \mathbf{A}_{(2,1)}   & \mathbf{A}_{(1,1)}
\end{bmatrix}.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]