Bonferroni-Ungleichung

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Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zu Recht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.[1]

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.[2]

Die erste der folgenden Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden die Ungleichungen aber auch ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden seien beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Es bezeichne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und die Vereinigungsmenge der Ereignisse . Dann gilt:

.

Es gilt auch allgemeiner:

Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man

dann sind die paarweise disjunkt und es gilt

Damit folgt

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.[3]

Zweite Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden seien wieder beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Ferner bezeichne das Komplement von . Dann folgt:

Dritte Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch als bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):[4]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfeln. Offensichtlich gilt und . Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln
  • Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln
Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
  2. J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  3. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.
  4. Rosen et al: Handbook ... S. 433.