Brachistochrone

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Experiment: Welche Bahn ist die schnellste? (Ausstellung Elementa im Landesmuseum für Technik und Arbeit, Mannheim)
Brachistochrone

Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist eine reibungsfreie Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der Tiefpunkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt.

Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als beispielsweise auf einer geradlinigen Bahn, obwohl diese kürzer ist.

Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt man die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.

Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Brachistochrone ist Teil einer Zykloide.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Johann Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.

Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wett- bzw. zunichtegemacht.

Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Brachistochrone lässt sich bequem in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels (im Bogenmaß), um den sich das Rad mit Radius beim Abrollen gedreht hat, sind die - und -Koordinaten:

Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachten wir in der --Ebene eine Kurve , längs welcher der Massepunkt vom Start mit fortlaufender Zeit zum Ziel gleite.

Er hat die kinetische Energie

und die potentielle Energie

Dabei ist die Höhe im Gravitationsfeld und die Schwerebeschleunigung.

Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,

Dies kann nach aufgelöst werden. Die Ableitung der Umkehrfunktion, , die angibt, wie spät es ist, wenn das Teilchen den Ort durchläuft, ist hierzu invers

Integrieren wir über den -Bereich von 0 bis , so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit als Funktional der Bahnkurve

Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable , bezeichnen mit und minimieren einfachheitshalber das mit multiplizierte Funktional. Wir minimieren also die Wirkung

mit Lagrangefunktion

Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der Zeit abhängt, ist die nach dem Noether-Theorem zugehörige Energie

auf der Bahn erhalten, für die minimal wird. Die Funktion erfüllt also mit einer positiven Konstanten die Gleichung

oder

wie ein Teilchen, das im Keplerpotential senkrecht aus der Gipfelhöhe fällt.

Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach aufzulösen und zu integrieren, bestätigt man einfach, dass

eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man

ausnutzt. Also ist die gesuchte Bahn parametrisch gegeben durch

Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn sich aus den Ortsvektoren der Nabe eines Rades mit Radius zusammensetzt, das unter der -Achse rollt plus dem Speichenvektor, der anfänglich nach oben zeigt und mit dem Winkel gedreht wird. Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades.

Spezielle Eigenschaften der Bahn[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Bahn ist unabhängig von der Masse und der Gewichtskraft des Körpers, also unabhängig von der Größe der Erdbeschleunigung.
  • Ebenso ändert eine rollende Kugel, die Rotationsenergie aufnimmt, nichts an der Idealkurve.
  • Die Tangente im Punkt A ist senkrecht.
  • Haben zwei Brachistochronen dasselbe Gefälle zwischen A und B, sind sie ähnlich.
  • Ist das Gefälle nicht kleiner als 1/π (31,83 %), so ist B der tiefste Punkt der Kurve, bei kleinerem Gefälle liegt der Tiefpunkt zwischen A und B.
  • Ist das Gefälle 0, also A und B auf derselben Höhe, ist die Kurve symmetrisch.

Bilder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Brachistochrone – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien