Buch der Lemmata

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Propositio I im Liber Assumptorum (1661)
Die erste Seite des Book of Lemmas in The Works of Archimedes (1897).

Das Buch der Lemmata (auch Buch der Hilfssätze) ist eine Sammlung von 15 Aussagen über die Geometrie von Kreisen. Sie wird dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes zugeschrieben; seine Urheberschaft ist allerdings fraglich.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der syrische Mathematiker Thabit ibn Qurra hat das Manuskript im 9. Jahrhundert aus dem Griechischen ins Arabische (Titel: K. al-Ma'hūdāt fī usūl al-handasa) übersetzt und es Archimedes zugeschrieben; aus dem 10. Jahrhundert ist ein Kommentar von Alī ibn Ahmad al-Nasawī überliefert.[1] Im Jahre 1661 wurde der Text von Abraham Ecchellensis ins Lateinische übertragen und von Giovanni A. Borelli als Archimedis Liber Assumptorum in seinem Werk Apollonii Pergaei Conicorum lib. V, VI, VII herausgegeben.[2] Der englische Mathematikhistoriker Thomas L. Heath wiederum erstellte eine englische Fassung des Liber Assumptorum und nahm diese 1897 unter dem Titel Book of Lemmas in seinen Sammelband The Works of Archimedes auf.[3] Dieser Band wurde – ergänzt u. a. um einen Beitrag des dänischen Mathematikhistorikers Johan Ludvig Heiberg über die Methoden Archimedes' – 1914 von Fritz Kliem ins Deutsche übersetzt (Archimedes' Werke);[4] das Kapitel Book of Lemmas heißt hier Buch der Hilfssätze.[5]

Die 15 Aussagen werden im Liber Assumptorum und im Book of Lemmas „Propositionen“, in der deutschen Übersetzung Kliems „Sätze“ genannt. Auf Griechisch ist das Werk nicht überliefert.[1]

Autorschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Autorschaft Archimedes’ ist nicht gesichert. Zweifel erregen insbesondere Passagen des Textes, in denen auf Archimedes in der dritten Person Bezug genommen wird. In Satz 4 ist beispielsweise die Rede von einer Figur (gemeint ist der Arbelos), die „ein von Archimedes sogenannter Άρβυλος“[6] genannt wird („quam vocat Archimedes ARBELON“[7] bzw. „what Archimedes called an Άρβυλος“[8]).

Zur Frage der Autorschaft Archimedes’ führt Heath aus (rechts daneben die Übersetzung Kliems):

“The Lemmas cannot, however, have been written by Archimedes in their present form, because his name is quoted in them more than once. The probability is that they were propositions collected by some Greek writer of a later date for the purpose of elucidating some ancient work, though it is quite likely that some of the propositions were of Archimedean origin, e.g. those concerning the geometrical figures called respectively Άρβυλος (literally 'shoemaker's knife') and σαλινον (probably a 'salt-cellar'), and Prop. 8 which bears on the problem of trisecting an angle.”[9]

„Die Hilfsätze können jedoch in der heutigen Form von Archimedes nicht geschrieben sein, da sein Name darin mehrmals genannt wird. Wahrscheinlich waren es Sätze, die von einem späteren griechischen Schriftsteller gesammelt worden sind, um ein altes Werk zu erläutern, doch ist es ganz wahrscheinlich, daß einige von den Sätzen Archimedischen Ursprungs sind, z. B. diejenigen, die sich auf die geometrischen Figuren mit den Namen Άρβυλος (wörtlich „Schuster-Messer“) und σαλινον (vielleicht „Salzfaß“) beziehen, und Satz 8, der sich mit dem Problem der Dreiteilung des Winkels beschäftigt.“[10]

Zusammengefasst bedeutet dies, dass zumindest der Arbelos (das oben erwähnte „Schuster-Messer“), das Salinon (das „Salzfaß“) und die in Proposition 8 dargelegte Methode der Dreiteilung des Winkels mit hoher Wahrscheinlichkeit Archimedes zugeschrieben werden können.

Sätze (Auswahl)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 15 Abschnitte des Textes enthalten Aussagen über Kreise, zu ihren Durchmessern und Radien, zu Sekanten und Tangenten und zu den Verhältnissen dieser Elemente untereinander, sowie die zugehörigen Beweise. Sie sind in der lateinischen Fassung alle, in der englischen und deutschen Fassung mit Ausnahme von Satz 7 illustriert.

Die Aussagen beziehen sich unter anderem auf folgende Themen der Geometrie und Stereometrie:

Berührende Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Archimedes beruehrende Kreise.svg

Gegeben seien ein Kreis mit dem Mittelpunkt und ein Kreis mit dem Mittelpunkt , die sich im Punkt berühren. Der Durchmesser von und der Durchmesser von seien parallel zueinander.

Dann liegen die Punkte , und auf einer gemeinsamen Geraden.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis verwendet Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken (siehe abgebildete Planfigur).

Die Strecke sei parallel zu der Strecke . Somit ist das Viereck ein Parallelogramm.

Da außerdem und Radius von und und Radius von ist, gilt und .

Nach dem Strahlensatz gilt: . Also sind und ähnliche gleichschenklige Dreiecke.

Es seien , bzw. , bzw. die Winkelweiten von , bzw. , bzw. . Dann gilt: .

Durch Addition von auf beiden Seiten dieser Gleichung erhält man: = 180°.

Damit ist bewiesen, dass die Punkte , und auf einer gemeinsamen Geraden liegen.[11]

Halbkreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Archimedes Halbkreise.svg

Gegeben sei ein Punkt auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser , dessen Tangenten in den Punkten und sich im Punkt schneiden. sei der Fußpunkt des Lotes von auf und der Schnittpunkt dieses Lotes mit der Strecke .

Dann ist der Mittelpunkt von .

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Schnittpunkt der Verlängerungen von und über , bzw. hinaus sei . Nach dem Satz des Thales sind die Winkel und damit auch jeweils rechte Winkel. Da somit auf dem Thaleskreis über mit dem Mittelpunkt liegt, gilt und . Da wegen der Parallelität von und die Dreiecke und ähnlich zueinander sind und der Mittelpunkt von ist, gilt auch, dass der Mittelpunkt von ist.[12]

Das Verhältnis des Volumens eines eine Kugel vom Radius r umschreibenden Zylinders () zum Volumen der Kugel () mit Radius selbst, beträgt

Kugel und Kreiszylinder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier handelt es sich um ein Theorem der Stereometrie, eines Teilgebiets der Geometrie. Er geht zurück auf Archimedes' Werk Über Kugel und Zylinder (Originaltitel περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου, latinisiert De Sphaera et Cylindro[13]). Mit ihm bestimmte Archimedes als erster und mit Hilfe von Methoden, welche als Vorläufer der Methoden der modernen Integralrechnung gelten,[14] den exakten Zusammenhang zwischen Volumen und Oberfläche von Kugel und Kreiszylinder.[15]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[14][16][17]

Für eine Kugel und einen Kreiszylinder, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis der Kugel und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht, stehen die Flächeninhalte der Oberflächen und die Volumina beider Körper jeweils in demselben Verhältnis und dabei gilt:

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Archimedes stellt in Buch I von Über Kugel und Zylinder den obigen Satz als Korollar zu zwei Sätzen vor, welche er zuvor als Proposition 33 und 34 formuliert hat und die folgendes besagen:[18][19][20]

Proposition 33:
Für eine Kugel ist der Flächeninhalt der Kugeloberfläche viermal so groß wie der Flächeninhalt eines größten Kugelkreises.
Proposition 34:
Für eine Kugel ist das Volumen viermal so groß wie das Volumen eines Kreiskegels, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis und dessen Höhe dem Kugelradius entspricht.

Verwandter Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Satz wird manchmal auch als Satz des Archimedes bezeichnet:[21]

Das Volumen einer Halbkugel ist gleich der Differenz der Volumina des umgebenden Kreiszylinders und des darin enthaltenen Kreiskegels gleicher Höhe und gleicher Grundfläche.

Arbelos und Salinon[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Besonderen werden die beiden komplexeren, jeweils aus mehreren Halbkreisen bestehenden geometrischen Figuren Arbelos und Salinon eingeführt: Der Arbelos selbst in Satz 4, die Zwillingskreise des Archimedes in Satz 5, der Inkreis des Arbelos (der wiederum in Beziehung zur Pappos-Kette steht, wie Kliem in einer Fußnote anmerkt)[22] in Satz 6, und schließlich das Salinon in Satz 14.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Giovanni A. Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber. ex typographia Iosephi Cocchini ..., Florenz 1661, S. 379–413.
  • Thomas L. Heath: The works of Archimedes. University of Cambridge, Cambridge 1897, S. xxxii, 301 – 318.
  • Fritz Kliem: Archimedes' Werke : Mit modernen Bezeichnungen / hrsg. u. mit e. Einl. versehen von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Fritz Kliem. O. Häring, Berlin 1914, S. 456 – 470.
  • Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics (= New Mathematical Library. Band 13). The Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1998, ISBN 0-88385-613-1, S. 77.
  • Archimedes: Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Arthur Czwalina. Im Anhang: Kreismessung / Übersetzt von F. Rudio - Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen / Übersetzt von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. 3., unveränderter reprografischer Nachdruck. 3. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-02029-4.
  • E. J. Dijksterhuis: Archimedes (translated by C. Dikshoorn). Princeton University Press, Princeton NJ 1987, ISBN 0-691-08421-1.
  • Howard Eves: Great Moments in Mathematics (Before 1650) (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 5). The Mathematical Association of America, Washington 1980, ISBN 0-88385-305-1.
  • H. Fenkner: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926.
  • Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Digitalisate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Faksimiles der lateinischen (Liber Assumptorum), der englischen (Book of Lemmas) und der deutschen (Buch der Hilfssätze) Fassung sind als Digitalisate verfügbar, und zwar jeweils zum Online-Lesen und zum Download als PDF-Dokument.

Visualisierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Liber assumptorum. In: Infothek der Scholastik. Universität Regensburg, abgerufen am 20. April 2012.
  2. From Euclid to Newton: An Exhibition in Honor of the 1999 Conference of the Mathematical Association of America. Brown University Library, abgerufen am 15. Mai 2016.
  3. Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. 1998, S. 77
  4. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. VII
  5. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 456 ff
  6. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 459
  7. Borelli: Apollonii Pergaei Conicorum ... 1661, S. 390
  8. Heath: The works of Archimedes. 1897, S. 304
  9. Heath: The works of Archimedes. 1897, S. xxxii
  10. Kliem: Archimedes’ Werke. 1914, S. 21.
  11. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 49
  12. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 34
  13. Dijksterhuis: S. 46
  14. a b Eves: S. 85
  15. Der Mathematikhistoriker Howard Eves etwa schreibt in seinen Great Moments in Mathematics (Before 1650), S. 88: Surely, from almost any point of view, we have here in Archimedes’ work a truly GREAT MOMENT IN MATHEMATICS.
  16. Archimedes: Werke: S. 117
  17. Dijksterhuis: S. 182
  18. Archimedes: S. 114–117
  19. Dijksterhuis: S. 180–181
  20. Meschkowski: S. 33
  21. Fenkner / Holzmüller: S. 347
  22. Kliem: Archimedes' Werke. 1914, S. 462