C*-Algebra

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C*-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum, sie spielen daher in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik eine Rolle. C*-Algebren sind spezielle Banachalgebren, bei denen ein enger Zusammenhang zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften besteht; die Kategorie der lokalkompakten Räume erweist sich als äquivalent zur Kategorie der kommutativen C*-Algebren, daher wird die Theorie der C*-Algebren auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine C*-Algebra über dem Körper  \Bbb K = \C oder  \R ist eine Banachalgebra A mit einer Involution ^* \colon A\to A , \, a\mapsto a^* mit folgenden Eigenschaften

  • \forall a\in A:(a^*)^*=a
(involutiv)
  • \forall a,b\in A:(ab)^*=b^* a^*
(anti-multiplikativ)
  • \forall a,b\in A: \forall z,w\in \Bbb K:(za+wb)^*=\bar z a^* +\bar w b^*    
(semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
  • \forall a\in A: \|a^*a\|=\|a\|^2
(C*-Eigenschaft)

Aus der C*-Eigenschaft folgt, dass die Involution isometrisch ist, was zusammen mit den ersten 3 Eigenschaften eine C*-Algebra zu einer Banach-*-Algebra (= involutiven Banachalgebra) macht.

Man spricht von einer kommutativen C*-Algebra, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Die meisten Autoren verstehen unter einer C*-Algebra stets eine \C-Banachalgebra und schreiben genauer reelle C*-Algebra, wenn auch \R-Banachalgebren zugelassen sind.

Standardbeispiele; die Sätze von Gelfand-Neumark und von Gelfand-Neumark-Segal[Bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Gelfand-Neumark

Das bekannteste Beispiel einer C*-Algebra ist die Algebra B(H) der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H und allgemeiner jede in der Normtopologie abgeschlossene selbstadjungierte Unteralgebra von B(H). Umgekehrt besitzt nach dem Satz von Gelfand-Neumark-Segal jede C*-Algebra diese Form, ist also zu einer normabgeschlossenen selbstadjungierten Unteralgebra eines B(H) isomorph.

Die komplexwertigen, stetigen und im Unendlichen verschwindenden Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum X bilden bezüglich der Supremumsnorm und der komplexen Konjugation als Involution eine kommutative C*-Algebra C_0(X). Der Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass jede kommutative C*-Algebra zu einer solchen Algebra von Funktionen isomorph ist.

Weitere Eigenschaften von C*-Algebren[Bearbeiten]

Homomorphismen zwischen C*-Algebren[Bearbeiten]

Sind A und B C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung \varphi \colon A \to B *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist.

Jeder *-Homomorphismus \varphi ist kontrahierend, das heißt, es gilt \|\varphi(a)\| \leq \|a\| für beliebiges a \in A, und daher insbesondere stetig.

Injektive *-Homomorphismen \varphi sind automatisch isometrisch, das heißt, es gilt \|\varphi(a)\| = \|a\| für beliebiges a \in A.

Endlichdimensionale C*-Algebren[Bearbeiten]

Die Algebren der komplexen n \times n-Matrizen M_n, die mit den linearen Operatoren auf \mathbb{C}^n identifiziert werden können, bilden mit der Operatornorm eine C*-Algebra. Man kann zeigen, dass jede endlichdimensionale C*-Algebra zu einer direkten Summe solcher Matrixalgebren isomorph ist.

Konstruktion neuer C*-Algebren aus vorgegebenen[Bearbeiten]

  • Ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal ist automatisch bzgl. der Involution abgeschlossen und die Quotientenalgebra ist mit der Quotientennorm wieder eine C*-Algebra.
  • Aus einem C*-dynamischen System (A,G,\alpha) lassen sich weitere C*-Algebren konstruieren, das Kreuzprodukt A\ltimes_\alpha G und das reduzierte Kreuzprodukt A\ltimes_{\alpha r} G.

Einselemente[Bearbeiten]

C*-Algebren müssen kein Einselement haben. Man kann aber stets ein Einselement adjungieren oder als Ersatz für ein fehlendes Einselement eine beschränkte Approximation der Eins verwenden, die es in jeder C*-Algebra gibt.

Hilbertraum-Darstellungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Hilbertraum-Darstellung

Ist H ein Hilbertraum, so nennt man einen *-Homomorphismus A\rightarrow B(H) eine Hilbertraum-Darstellung oder einfach Darstellung von A. Die Theorie der Hilbertraum-Darstellungen ist ein wichtiges Instrument zur weitergehenden Untersuchung von C*-Algebren.

Beispiele und Spezialfälle von C*-Algebren[Bearbeiten]

Historische Bemerkungen[Bearbeiten]

Eine B*-Algebra ist nach Gelfand und Neumark (1943) eine involutive Banachalgebra A (mit Einselement 1) mit den zwei Eigenschaften

  1. \|a^*a\|=\|a\|^2 für alle a \in A,
  2. 1+a^*a\, ist für jedes a \in A invertierbar.

Eine C*-Algebra wurde als eine normabgeschlossene und bzgl. der Involution abgeschlossene Unteralgebra der Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum definiert. Gelfand und Neumark konnten dann zeigen, dass jede B*-Algebra eine C*-Algebra ist. Die bereits von ihnen vermutete Redundanz der zweiten Bedingung konnte erst in den 1950er Jahren von M. Fukamiya und I. Kaplansky gezeigt werden. Der Begriff B*-Algebra als eine abstrakt definierte (d. h. nicht auf einem Hilbertraum dargestellte) Algebra ist durch den Satz von Gelfand-Neumark entbehrlich geworden, weshalb man den Begriff B*-Algebra nur noch in älterer Literatur finden kann.

Die C*-Bedingung \|a^*a\|=\|a\|^2 für alle a \in A konnte in den 1960er Jahren weiter zu \|a^*a\|=\|a^*\|\|a\| für alle a \in A abgeschwächt werden, was sich aus dem Satz von Vidav-Palmer, der seinerseits die C*-Algebren unter allen Banachalgebren charakterisiert, herleiten lässt. Diese Abschwächung der C*-Bedingung spielt in der Theorie der C*-Algebren allerdings keine besondere Rolle.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]