CAT(0)-Raum

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CAT(0)-Räume sind ein Begriff aus der Geometrie, mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung auf allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden. Ihre definierende Eigenschaft ist, dass Dreiecke dünner sein sollen als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleichsdreiecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein geodätischer metrischer Raum. Ein geodätisches Dreieck in ist ein Dreieck mit Ecken , dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck gibt es ein (bis auf Kongruenz eindeutiges) Vergleichsdreieck im mit

.

Man hat dann eine Vergleichsabbildung

,

die (zum Beispiel) jedem Punkt auf der Seite den entsprechenden Punkt auf der Seite (d. h. den eindeutigen Punkt mit ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

CAT(0)-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein geodätischer metrischer Raum ist ein CAT(0)-Raum, wenn zu jedem geodätischen Dreieck in mit Vergleichsabbildung die Ungleichung

für alle gilt.

Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck ist mindestens so dünn wie sein Vergleichsdreieck.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In einem CAT(0)-Raum lassen sich je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Die Geodäte hängt stetig von ihren Endpunkten ab.
  • In CAT(0)-Räumen gilt die Ptolemäische Ungleichung
für alle .
  • Für Geodäten ist die Funktion konvex.
  • CAT(0)-Räume sind zusammenziehbar.

Geodätischer Rand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geodätische Strahlen in einem CAT(0)-Raum heißen asymptotisch, wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geodätischen Strahlen. Der Geodätische Rand des CAT(0)-Raumes ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Strahlen.

Jeder Punkt in lässt sich mit jedem Punkt in durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Unterschiedliche Punkte in müssen sich aber nicht immer durch eine Geodäte verbinden lassen.

Kegel-Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Topologie auf lässt sich zu einer Topologie auf erweitern[2], so dass gilt: Eine Folge konvergiert gegen genau dann, wenn (für beliebiges ) die Folge der und verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die und verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Beispiel: Wenn eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist mit der Kegel-Topologie homöomorph zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

Tits-Metrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tits-Metrik (nach Jacques Tits) ist für definiert durch

,

wobei zu asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für ) der Winkel definiert als der Winkel bei des Vergleichsdreiecks im .

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf .

Beispiele: Falls eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, dann ist für alle , die Tits-Metrik induziert also die diskrete Topologie. Falls der euklidische Raum ist, dann ist homöomorph zur Sphäre.

Horosphären[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einem Punkt und einer Geodäte mit definiert man die Busemann-Funktion durch

.

Falls vollständig ist und und zwei zu asymptotische Geodäten sind, dann ist konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von in die Niveaumengen von nur von und nicht von der Wahl der zu asymptotischen Geodäte ab. Die Niveaumengen von werden als Horosphären von bezeichnet.

Isometrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Isometrie eines vollständigen CAT(0)-Raumes fällt in eine der folgenden 3 Klassen:

  • elliptisch: hat einen Fixpunkt in ,
  • hyperbolisch: hat keinen Fixpunkt in , lässt aber eine Geodäte invariant,
  • parabolisch: lässt einen Punkt und seine Horosphären invariant.[3]

CAT(0)-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine CAT(0)-Gruppe ist eine Gruppe, die eigentlich diskontinuierlich und kokompakt durch Isometrien auf einem endlich-dimensionalen CAT(0)-Raum wirkt.

Lokale CAT(0)-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung eine eindeutige Metrik so dass

  • die Überlagerung eine lokale Isometrie ist, und
  • ein CAT(0)-Raum ist.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Adiprasito-Funar: Hyperbolicity of contractible manifolds
  2. Bridson-Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature. (PDF-Datei; 3,83 MB), Definition II.8.5
  3. Fujiwara: "CAT(0) spaces for Riemannian geometers" (PDF-Datei; 116 kB)