Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis

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Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis ist Georg Cantors erster Beweis, dass die reellen Zahlen eine überabzählbare Menge bilden. Er kommt ohne das Dezimalsystem oder irgendein anderes Zahlensystem aus. Die Behauptung und der erste Beweis wurden von Cantor im Dezember 1873 entdeckt, und 1874 in Crelles Journal (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Bd. 77, 1874) veröffentlicht.[1] Viel bekannter wurde sein 1877 gefundener zweiter Beweis dafür, Cantors zweites Diagonalargument.

Der Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Menge, die

  • mindestens zwei Elemente enthält,
  • total geordnet ist,
  • dicht geordnet ist, d. h. zwischen je zwei Elementen befindet sich stets ein weiteres,
  • keine Lücken hat, d. h., wenn in zwei nichtleere Teilmengen und partitioniert ist, so dass jedes Element von kleiner als jedes Element von ist, dann gibt es ein Element , so dass jedes Element, das kleiner als ist, in und jedes Element, das größer als ist, in liegt. Dabei ist entweder aus oder aus (vergleiche Dedekindscher Schnitt).

Dann ist überabzählbar.

Die genannten Eigenschaften treffen insbesondere auf sowie bereits auf jedes beliebig gewählte Intervall (z. B. ) zu, so dass insbesondere diese Mengen überabzählbar sind.

Der Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zunächst sei bemerkt, dass aus der Eigenschaft, dicht und total geordnet zu sein, bereits folgt, dass zwischen zwei Elementen von mit sogar unendlich viele Elemente von liegen müssen. Gäbe es nämlich nur endlich viele, so gäbe es hierunter ein größtes, etwa . Zwischen und müsste dann ein weiteres Element liegen, . Aber dies stünde im Widerspruch zur Maximalität von .

Zum Beweis der Überabzählbarkeit nehmen wir an, dass es eine Folge in gibt, die ganz als Folgeglieder hat. Wir dürfen o. B. d. A. voraussetzen, dass gilt (sonst vertausche man diese beiden Folgenglieder). Nun definieren wir zwei weitere Folgen und :

sowie . Laut Voraussetzung gilt also .
, wobei der kleinste Index ist, der größer ist als der zuvor für ausgewählte Index und für den gilt. Dies geht, weil dicht geordnet ist. Es gibt ja laut Vorbemerkung unendlich viele mit und höchstens endlich viele dieser Kandidaten werden durch den Vergleich mit dem zu gehörigen Index ausgeschlossen.
, wobei der kleinste Index ist, der größer ist als der zuvor für ausgewählte Index und für den gilt. Wieder geht dies, weil dicht ist.

Die Folge ist streng monoton wachsend, die Folge ist streng monoton fallend, und die beiden Folgen beschränken sich gegenseitig, da ist für jedes . Sei die Menge derjenigen Elemente von , die kleiner als sämtliche sind und sei das Komplement. Dann enthält unter anderem alle und alle , die beiden Mengen sind also nicht leer. Außerdem ist jedes Element von größer als jedes Element von : Ist und , so gibt es ein mit nach Definition von ; dann folgt aber nach Definition von . Es handelt sich also bei um einen Dedekind-Schnitt, so dass es wegen der Lückenlosigkeit von ein Element geben muss, für welches insbesondere für jedes gilt.

Da wie jedes Element von in der Folge auftritt, gibt es einen Index , so dass ist. Hierbei ist gewiss , denn ist von und verschieden. Sei die kleinste natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass für ein oder mit gilt. In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Wahl von , da ja bereits bzw. gilt.

Dieser Widerspruch kann nur aufgehoben werden, indem man die Existenz der Folge verneint, d. h. ist überabzählbar.

Reelle algebraische und transzendente Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im gleichen Werk von 1874 bewies Cantor, dass die Menge der reellen algebraischen Zahlen abzählbar ist, woraus sofort die Existenz von überabzählbar vielen transzendenten Zahlen folgt. Die Existenzaussage an sich war nicht neu: Joseph Liouville hatte bereits 1844 einige transzendente Zahlen explizit angegeben.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Georg Cantor: Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 77: S. 258–262.