Casimir-Operator

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen, ist eine -dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

irgendeine Basis von und

sei die Dualbasis von hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z.B. der Killingform) auf . Das quadratische Casimir-Element ist das durch die Formel

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra . Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra liegt.

Sei eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum V. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante der durch

gegebene lineare Operator auf V.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe G mit zugehöriger Lie-Algebra auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, so werden die Elemente von durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf M beschrieben. Sei die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf M. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der G-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf M.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5