Cauchysche Integralformel

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Die cauchysche Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.

Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist offen, holomorph, ein Punkt in und eine relativ kompakte Kreisscheibe in , dann gilt für alle , also für alle mit :

Dabei ist die positiv orientierte Kurve für über den Rand von .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für festes sei die Funktion definiert durch für und für . ist stetig auf und holomorph auf . Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

.

Die Funktion , ist holomorph mit der Ableitung , welche verschwindet, da der Integrand die Stammfunktion hat. Also ist konstant, und wegen ist .

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei .

Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für und :

Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für .

Mit der Integralformel für folgt sofort, dass die Koeffizienten genau die Taylor-Koeffizienten sind. Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn für gilt:

Der Satz von Liouville (jede auf ganz holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in in Linearfaktoren) beweisen.

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Cauchysche Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:

Entwicklung von in der Cauchyschen Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt

Da für die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d. h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein mit für ; dann gilt für :

Ist auf ganz holomorph und beschränkt, also für alle , dann gilt wie vorher für alle :

Da beliebig war, gilt dann für alle . Somit folgt aus der Beschränktheit von :

Das heißt jede beschränkte auf ganz holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:

Cauchysche Integralformel für Polyzylinder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum verallgemeinert. Seien Kreisscheiben in , dann ist ein Polyzylinder in . Sei eine holomorphe Funktion und Dann ist die cauchysche Integralformel durch

erklärt. Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu

,

mit verkürzt werden. Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel

für die Ableitungen der holomorphen Funktion als auch die cauchysche Ungleichung

wobei und der Radius des Polyzylinders ist. [1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.

Cauchysche Integralformel für Zyklen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist ein Gebiet, holomorph und ein nullhomologer Zyklus in , dann gilt für alle , die nicht auf liegen, folgende Integralformel:

Dabei bezeichnet die Windungszahl von um .

Einzelnachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).