Cauchyscher Grenzwertsatz

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Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus    folgt   .

Verwandte Resultate und Erweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:

Sei eine beliebige Folge mit und eine Folge positiver Zahlen mit , dann gilt auch: .

Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:

Sei eine Folge mit , dann gilt auch:   .

Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei beliebig und so gewählt, dass    für alle gilt.
Wegen    gibt es ein    mit     für   .

Für alle folgt dann

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]