Cauchyscher Hauptwert

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Als cauchyschen Hauptwert (nach Augustin-Louis Cauchy) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der cauchysche Hauptwert ist ein Wert, den man gewissen divergenten Integralen zuordnen kann. Es gibt zwei unterschiedliche Fälle, in denen man von einem cauchyschen Hauptwert spricht.

  • Seien und eine reelle Zahl. Die Funktion sei riemann-integrierbar. Existiert dann der Grenzwert
so nennt man den cauchyschen Hauptwert.[1]
  • Sei eine stetige Funktion, dann heißt der Grenzwert, falls er existiert,
ebenfalls cauchyscher Hauptwert.[2]

Es ist auch gebräuchlich, „V.P.“ (aus dem Franz. valeur principale) oder „P.V.“ (aus dem Engl. principal value) anstatt „CH“ zu schreiben.[3]

Beziehung zwischen cauchyschem Hauptwert und uneigentlichem Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Existiert ein Integral über im uneigentlichen Sinn, so existiert auch immer der cauchysche Hauptwert (nach der zweiten Definition) und diese beiden Werte stimmen überein. Aus der Existenz des cauchyschen Hauptwertes folgt hingegen noch nicht die Existenz des uneigentlichen Integrals.[4]

Beispiel (CH 1/x)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

cauchyscher Hauptwert - Beispiel

Es wird das bestimmte Integral untersucht. Der Integrand ist für (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs ) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich in . Die Stammfunktion des Integranden ist (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

Dieses Integral existiert also nicht als uneigentliches Riemann-Integral, der cauchysche Hauptwert beträgt jedoch :

Der Cauchy-Hauptwert ermöglicht es also einem Integral, einen Wert zuzuordnen, das weder im riemannschen Sinn noch im lebesgueschen Sinn existiert.

Wenn auf der reellen Achse stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck . Das heißt, dass wie die Delta-Distribution auch als Distribution verstanden werden kann.

Substitution i. Allg. nicht erlaubt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im Allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa die Funktion durch für und für definiert, so gilt zwar nach der Substitutionsregel

wann immer oder gilt. Für ist jedoch der Hauptwert des linken Integrals eine endliche Zahl, der Hauptwert des rechten Integrals ist aber :

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Klaus Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3827419492, S. 155.
  2. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177.
  3. Cauchyscher Hauptwert. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Aufl. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  4. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4, S. 177–178.