Cauchysches Verdichtungskriterium

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Das Cauchy’sche Verdichtungskriterium, auch bekannt als Cauchy’scher Verdichtungssatz, Verdichtungsprinzip, Verdünnungssatz oder Kondensationskriterium (nach Augustin Louis Cauchy), ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine monoton fallende Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Dann hat die unendliche Reihe

das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

,

das heißt, dass die eine Reihe genau dann konvergiert, wenn die andere konvergiert.

Beweisskizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wirkungsweise dieses Kriteriums kann als Betrachtung von Ober- und Untersummen der zu untersuchenden Reihe gedacht werden. Die Folge wird in Blöcke aufsteigender Länge aufgeteilt und in jedem Block gegen Maximum und Minimum abgeschätzt. Da die Folge als monoton fallend vorausgesetzt wurde, ist das Maximum mit dem ersten und das Minimum mit dem letzten Folgenglied eines jeden Blockes identisch.

Das Kriterium ergibt sich nun aus dem Majorantenkriterium. Die gängigste Blockaufteilung ist die nach Zweierpotenzen mit Blöcken . Um Konvergenz nachzuweisen, konstruiert man die Majorante durch

für .

Zu jedem Index k enthält die Majorante Glieder mit demselben Wert , die Majorante konvergiert also genau dann, wenn konvergiert.

Um Divergenz nachzuweisen, konstruiert man die Minorante durch

für .

Zu jedem Index k enthält die Minorante Glieder mit demselben Wert , die Minorante divergiert also genau dann, wenn divergiert.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Anwendung liegt bei den allgemeinen harmonischen Reihen. Für ein festes hat

das gleiche Konvergenzverhalten wie

.

ist offensichtlich eine geometrische Reihe mit Faktor . Aus deren Konvergenzverhalten folgt, dass für Konvergenz, sonst Divergenz, vorliegt. Man beachte den Wechsel des Startwertes und des Indexes der Reihe von auf .

Analog ergibt sich für die noch langsamer konvergierenden bzw. divergierenden Reihen

für Konvergenz, sonst Divergenz.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anstelle der Teilfolge können auch allgemeinere Teilfolgen zur Verdichtung verwendet werden. Sei eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Dann hat die unendliche Reihe

das gleiche Konvergenzverhalten wie die verdichtete Reihe

,

wobei eine streng monoton steigende Funktion auf den natürlichen Zahlen ist mit , sodass gilt

.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]