Cesàro-Mittel

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Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n Folgengliedern gebildeten arithmetische Mittel bezeichnet. Konvergieren diese für wachsende n so spricht man dann von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer gegebenen Zahlenfolge bildet man die arithmetische Mittel über die ersten n Folgenglieder, also

.

Man bezeichnet dann als das n-te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge gegen einen Wert a, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen a, das heißt aus folgt beziehungsweise . Die Folge der Cesàro-Mittel kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge , sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge sind die Partialsummen der Reihe definiert als:

.

Zu dieser Folge bildet man nun die Cesàro-Mittel . Konvergieren diese, dass heißt , so bezeichnet man die Reihe Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder C1-summierbar zum Wert und schreibt . Den Grenzwert nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge wird dann als Cesàro-summierbar oder C1-summierbar zum Wert bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge mit die zugehörige Reihe , dann erhält erhält man die folgenden Partialsummen:

.

Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

.

Es gilt und damit . Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Terminologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder C1-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkreit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe entspricht.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]