Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.
Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes
nach
Schritten, beginnend im Zustand
, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation
dar. Formal bedeutet dies:[1]
Sei
eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix
und Zustandsraum
.
Dann gilt für alle
.
Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:
Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix
ergibt sich

wobei bei
ausgenutzt wurde, dass
für alle
mit
gilt.
Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe
von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]

wobei
die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

- ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
- ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.