Chapman-Kolmogorow-Gleichung

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Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes nach Schritten, beginnend im Zustand , als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation dar. Formal bedeutet dies:[1]

Sei eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix und Zustandsraum .

Dann gilt für alle

.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix ergibt sich

wobei bei ausgenutzt wurde, dass für alle mit gilt.

Markow-Prozesse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]

wobei die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.