Christoffelsymbole

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In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Ihre definitorische Eigenschaft besteht in der Forderung, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet. Der Hauptsatz der riemannschen Geometrie stellt sicher, dass sie durch diese Definition eindeutig bestimmt sind.

In der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglichen die Christoffelsymbole die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken.

In diesem Artikel wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Christoffelsymbole bzgl. einer Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also eine orientierte reguläre Fläche und eine Parametrisierung von . Die Vektoren und bilden eine Basis der Tangentialebene , und mit wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren eine Basis des . Die Christoffelsymbole , werden bezüglich der Parametrisierung dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:

Schreibt man für , für und für , für usw., so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als

schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt , das heißt, , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, was und bedeutet. Die Koeffizienten sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.

Sei eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch

gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems findet man also die Geodäten auf der Fläche.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang . Bezüglich einer Karte erhält man mittels eine Basis des Tangentialraums und somit auch einen lokalen Rahmen des Tangentialbündels. Für alle Indizes und sind dann die Christoffelsymbole durch

definiert. Die Symbole bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen  Tensor, s.u.).

Genauso kann man die Christoffelsymbole auch für einen lokalen Rahmen welcher nicht durch eine Karte induziert ist, durch

definieren.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kovariante Ableitung von Vektorfeldern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird und einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien Vektorfelder mit den in lokalen Darstellungen und . Dann gilt für die kovariante Ableitung von in Richtung von :

Dabei bezeichnet die Richtungsableitung der Komponentenfunktion in Richtung

Wählt man einen lokalen Rahmen , der von einer Karte induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld speziell das Basisvektorfeld , so erhält man

bzw. für die -te Komponente

Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch oder , während man die gewöhnliche Ableitung von nach der -ten Koordinate als bezeichnet. Es ist aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente abgeleitet wird, sondern dass es sich um die -te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als

bzw.

Wählt man für und den Tangentialvektor einer Kurve und ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie aus dem ersten Abschnitt.

Christoffelsymbole bei (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und der Levi-Civita-Zusammenhang. Die Christoffelsymbole seien bezüglich des lokalen Rahmens gegeben.

  • In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt für alle und .
  • Man kann die Christoffelsymbole durch
aus dem metrischen Tensor gewinnen.
In diesem Fall nennt man die hier betrachteten Christoffelsymbole auch Christoffelsymbole zweiter Art. Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke
bezeichnet.
Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind
für die Christoffelsymbole erster Art sowie
für die Christoffelsymbole zweiter Art, wobei wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, für die Indizes griechische Buchstaben benutzt werden (lateinische Indizes sind dort dagegen nur für einen speziellen Teil, die sogenannten raumartigen Anteile vorbehalten).

Anwendung auf Tensorfelder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf. In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes ist

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes ist

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld erhält man

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes ist

Bei einem (1,1)-Tensorfeld lautet sie

und für ein (0,2)-Tensorfeld erhält man

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.