Clausen-Funktion

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Graph der Clausen-Funktion (rot) und (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch das folgende Integral definiert:

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner definiert man für komplexe mit :

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

.

Kummers Beziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für gültige Beziehung an:

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für rationale Werte von kann die Funktion als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann als einfache Summe aufgefasst werden, welche die Hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten Dirichlet L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

was mit bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für ) ist

ist dabei die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass für große schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige spezielle Werte sind:

,

wobei G die Catalansche Konstante ist.

Allgemeiner:

wobei die Dirichletsche Beta-Funktion ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]