Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus

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Der Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus (CYK-Algorithmus) ist ein Algorithmus aus dem Gebiet der Theoretischen Informatik. Mit ihm lässt sich feststellen, ob ein Wort zu einer bestimmten kontextfreien Sprache gehört. In der Fachsprache bezeichnet man dies als Lösen des Wortproblems für kontextfreie Sprachen. Mit Hilfe von Backtracking kann der Parse-Tree bzw. die Parse-Trees eines gegebenen Wortes der Sprache konstruiert werden. Um den Algorithmus anzuwenden, muss zu der vorgegebenen Sprache eine Grammatik in Chomsky-Normalform vorliegen. Der in den 1960er Jahren von Itiroo Sakai, John Cocke, Tadao Kasami, Jacob Schwartz und Daniel Younger unabhängig voneinander entwickelte Algorithmus nutzt das Prinzip der dynamischen Programmierung.

Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Beschreibung folgt Hopcroft/Ullman (1996).

Als Eingabe erhält der Algorithmus eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform und das zu prüfende Wort . Nun wird für jedes Teilwort (d.h.: fängt beim Index an und hat die Länge ) die Menge der Nichtterminale berechnet, die erzeugen, bezeichnet durch .

Gemäß dem Prinzip der dynamischen Programmierung werden erst die für die kleinsten Teilwörter von berechnet, abgespeichert und dann zur somit effizienten Berechnung der nächstgrößeren Teilwörter weiterverwendet. Die kleinsten Teilwörter sind einzelne Buchstaben. Da die kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform gegeben ist, kann jeder Buchstabe nur in genau einem Schritt von einem Nichtterminal abgeleitet werden.

Ein Nichtterminal einer Grammatik in Chomsky-Normalform kann in einem Schritt nicht auf mehrere Terminale abgeleitet werden. Daher kann ein Teilwort , das mehr als nur ein Zeichen enthält, von nur über eine Regel erzeugt werden. Da Nichtterminale nicht das leere Wort (ε) erzeugen können, muss den linken und den rechten Teil von erzeugen. Daraus folgt:

Mit anderen Worten: kann erzeugen, wenn es gemäß der Produktionsregeln auf abgeleitet werden kann und und wiederum auf und abgeleitet werden, also .

Das Wortproblem kann nun einfach entschieden werden: kann genau dann von der Grammatik erzeugt werden, wenn gilt. In liegen alle Variablen, die das Teilwort erzeugen können, das beim ersten Buchstaben anfängt und die Länge hat, also das ganze Wort.

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Beschreibung ergibt sich folgender Algorithmus:

Für i = 1 ... n
  Für jede Produktion 
    Falls r = 
      Setze 
Für j = 2 ... n
  Für i = 1 ... n - j + 1
    Für k = 1 ... j - 1
      Setze 
Falls , stoppe und gib "w wird von G erzeugt" aus
Stoppe und gib "w wird nicht von G erzeugt" aus

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fragestellung lautet, ob sich das Wort durch die Grammatik erzeugen lässt. Die Produktionen der Grammatik seien:

Den Algorithmus kann man mittels einer Tabelle durchführen. Dabei ist in der -ten Spalte und -ten Zeile gespeichert, also die Menge der Nichtterminalsymbole, aus denen sich das Teilwort ableiten lässt, das beim Index anfängt und die Länge hat.

1 2 3 4 5 6
1 {B} {B} {A,C} {B} {A,C} {A,C}
2 {-} {S,A} {S,C} {A,S} {B}
3 {A} {S,C} {B} {-}
4 {S,C} {B} {A,S}
5 {B} {A,S}
6 {A,S}

Da , lässt sich das gegebene Wort unter der Grammatik aus ableiten. Also ist ein Wort der Sprache .

Komplexität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Algorithmus entscheidet in der Zeit , ob ein Wort der Länge in der Sprache liegt (vgl. Landau-Symbole zur Beschreibung der Notation). Dabei wird Speicherplatz in der Größenordnung benötigt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Itiroo Sakai: Syntax in universal translation. In: 1961 International Conference on Machine Translation of Languages and Applied Language Analysis. Her Majesty's Stationery Office, London 1962, S. 593–608 (online [PDF]).
  • Tadao Kasami: An efficient recognition and syntax-analysis algorithm for context-free languages. Air Force Cambridge Research Lab, Bedford 1965 (Scientific report AFCRL-65-758).
  • Daniel H. Younger: Recognition and parsing of context-free languages in time . In: Information and Control. Band 10, Nr. 2, 1967, S. 189–208.
  • John Cocke, Jacob T. Schwartz: Programming languages and their compilers. Preliminary notes. Courant Institute of Mathematical Sciences of New York University, New York 1970.
  • John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 3. Auflage. Addison-Wesley, Bonn 1996, S. 148–149 (1. Nachdruck).
  • Dick Grune, Ceriel J. H. Jacobs: Parsing Techniques. A Practical Guide. 1. Auflage. Ellis Horwood, New York 1990, ISBN 0-13-651431-6, S. 81–104 (PDF, 1.9 MB).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]