Cox-Regression

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Die Cox-Regression ist eine nach David Cox benannte Regressionsanalyse zur Modellierung von Überlebenszeiten.

Wie alle ereigniszeitanalytischen Methoden ist sie ein Verfahren zur Schätzung des Einflusses unabhängiger Variablen auf die Dauer bis zum Eintreten von Ereignissen ("Überlebenszeit") bzw. deren Hazard. Als sog. semiparametrisches Verfahren liefert die Schätzung kein komplettes Vorhersagemodell für die Überlebenszeit sondern lässt die Verteilungsfunktion der beobachteten Episodenenden unspezifiziert und schätzt ausschließlich den Einfluss metrischer oder kategorialer Variablen auf einen als über alle Fälle hinweg als gleich angenommenen Baseline-Hazard.

Modell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das von Cox vorgeschlagene Regressionsmodell wird zur Untersuchung des Verhaltens der Ausfallraten in Abhängigkeit von Umwelteinflüssen benutzt. Grundlage des Modells sind Einflussvektoren mit , die für jedes Individuum der Studie beobachtet werden können. Der Zusammenhang zwischen diesen Einflüssen und der Ausfallfunktion wird dann über die Relation

hergestellt. bezeichnet dabei eine unbekannte Ausfallfunktion, die im Ausgangsfall ohne Einflüsse (also ) die zugehörige Ausfallfunktion darstellt. ist ein unbekannter Parameter, ebenfalls q-dimensional. Aufgabe der Statistik ist die Schätzung dieses Parameters.

Die Beobachtungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Beobachtungen bestehen im Modell der Cox-Regression aus einem Tripel , wobei wie oben den Einflussvektor für das Individuum bezeichnet.

ist (wie im Falle der Untersuchung zensierter Daten üblich) als das Minimum von zwei Zufallsvariablen und definiert. Im Falle des tatsächlich beobachteten Todes eines Individuums gibt den Todeszeitpunkt von an. Falls dagegen nur die Studie beendet wurde, gibt den Zeitpunkt der Beendigung an. Es ist offensichtlich, dass nur bei einer Beobachtung des Todes Rückschlüsse auf die Form der Hazardfunktion geschlossen werden können. Daher gibt an, ob der Tod oder das Ende der Studie beobachtet wurde. bezeichnet hierbei die Indikatorfunktion.

Die Schätzung von β[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der Struktur von ergibt sich das Problem, dass in Intervallen ohne Todesfall keine Rückschlüsse auf gezogen werden können. Es ist schließlich möglich, dass die unbekannte baseline-Hazardfunktion in diesem Intervall verschwindet und also a priori keine Todesfälle stattfinden können. Man greift daher auf einen Trick zurück und betrachtet bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Wenn ausschließlich dann Informationen über erhalten werden können, wenn ein Todesfall stattgefunden hat, bietet sich zum Zeitpunkt des Todes von Individuum die Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit an: Wie wahrscheinlich ist es, dass von allen noch lebenden Individuen nun ausgerechnet stirbt? Formal lässt sie sich als

berechnen. bezeichnet dabei diejenigen Individuen, die zum Zeitpunkt des Todes von noch leben.

Um eine Art Maximum-Likelihood-Schätzer für zu finden, wird nun in Abhängigkeit von die Likelihood-Funktion

maximiert. Dabei wird durch das Potenzieren der einzelnen bedingten Wahrscheinlichkeiten mit der Tatsache Rechnung getragen, dass nur die Beobachtung eines Todesfalls und nicht die des Endes der Studie Informationen über liefert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • David Cox: Regression models and life tables. Journal of the Royal Statistical Society B, 34 (1972), S. 187 - 220.