d’Alembertsches Prinzip

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Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) der klassischen Mechanik erlaubt die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen. Das Prinzip beruht auf dem Satz, dass die Zwangskräfte bzw. -momente keine virtuelle Arbeit leisten.[1]

Einführung[Bearbeiten]

Die Bewegungsgleichung für ein System aus N Massepunkten ergibt sich nach dem zweiten newtonschen Gesetz als

\sum_{i=1}^N  m_i \ddot{\vec r}_i = \sum_{i=1}^N \vec F_i .

Durch Umstellen ergibt sich

\sum_{i=1}^N \left( m_i \ddot{\vec r}_i - \vec F_i \right) = \vec 0.

Dabei ist \vec F_i die resultierende äußere Kraft auf den Massepunkt i. Sie ist die Summe aus eingeprägter Kraft und Zwangskraft.

\vec F_i = \vec{F_i^e} + \vec{F_i^z}

Somit lautet die newtonsche Bewegungsgleichung:

\sum_{i=1}^N \left( m_i \ddot{\vec r}_i - \vec F_i^e - \vec F_i^z \right) = \vec 0

Man bildet das Skalarprodukt mit den virtuellen Verschiebungen[Anmerkung 1] \delta \vec{r}_i. Wenn nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Zwangskräfte selbst keine virtuelle Arbeit verrichten, verschwindet das Skalarprodukt von Zwangskräften und virtueller Verschiebung. Man erhält das d’Alembertsche Prinzip (in der Formulierung von Lagrange):[2][3]

 {\sum_{i=1}^N \left( m_i \ddot{\vec r}_i - \vec{F}_i^e \right) \cdot \delta \vec {r}_i = 0 .}

In der Gleichung treten die Zwangskräfte nicht mehr auf – nur die eingeprägten Kräfte. Die Zwangsbedingungen verstecken sich noch in den virtuellen Verschiebungen, denn es sind nur solche erlaubt, die mit den Zwangsbedingungen vereinbar sind.

Um daraus Bewegungsgleichungen zu gewinnen, geht man bei \,k (holonomen) Zwangsbedingungen zu (bei N Massen) f = 3 N - k unabhängigen Koordinaten (Freiheitsgraden) \,q_j(t), j = 1,2 ..., f über („generalisierte Koordinaten“). Die virtuellen Verschiebungen werden dabei durch diese neuen Lagekoordinaten ausgedrückt

\delta{\vec{r}_i}=\sum_{j=1}^f \frac {\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} \, \delta q_j.

Dies in die vorige Gleichung eingesetzt:

 \sum_{j=1}^f  \delta q_j  \left[ \sum_{i=1}^N \left( m_i \ddot{\vec r}_i - \vec{F}_i^e \right) \cdot  \frac {\partial \vec{r}_i}{\partial q_j}\right] = 0 .

Da die neuen Koordinaten schon unter Berücksichtigung der Zwangsbedingungen gewählt sind, lassen sie sich unabhängig variieren (z. B. alle Verschiebungen  \delta q_j außer einer gleich Null setzen). Daher verschwinden in der vorstehenden Gleichung alle f Koeffizienten der \,\delta q_j einzeln, woraus sich f Differentialgleichungen zweiter Ordnung ergeben.

Für holonome Zwangsbedingungen und konservative Kräfte (die sich aus einer Potentialfunktion ableiten lassen) ist das d’Alembert-Prinzip dann äquivalent zu den Lagrangegleichungen erster Art (siehe dort).

Gelegentlich wird schon die eingangs wiedergegebene einfache Umstellung der newtonschen Bewegungsgleichungen als das d’Alembertsche Prinzip bezeichnet. Das übersieht aber wesentliche Folgerungen (wie die Elimination von Zwangskräften, die keine virtuelle Arbeit leisten) und kommt in den Worten von Georg Hamel fast einer Beleidigung von d’Alembert gleich.[4] Es ist zudem zu beachten, dass das verwendete Prinzip der virtuellen Arbeit nicht aus den Newtonschen Axiomen folgt, sondern ein eigenes Grundpostulat darstellt.

Erweiterung auf Mehrkörpersysteme[Bearbeiten]

Im allgemeinen Fall von Mehrkörpersystemen wird berücksichtigt, dass auch die virtuelle Arbeit der Zwangsmomente auf den virtuellen Verdrehungen verschwindet. Zur Berechnung der Zwangsmomente wird die Eulersche Gleichung verwendet.

 {\sum_{i=1}^N \left( \left [ m_i \ddot{\vec r}_i - \vec{F}_i^e \right] \delta \vec {r}_i^{\,T} + \left[ I_i \, \dot {\vec \omega}_i + \vec {\omega}_i \times I_i \, \vec {\omega}_i  - \vec M_i^e \right] \delta \vec {\varphi}_i^{\,T} \right) = 0}.
mit
I_i Trägheitstensor des Körpers i
\dot {\vec \omega}_i Winkelbeschleunigung des Körpers i
\vec \omega_i Winkelgeschwindigkeit des Körpers i
\vec M_i^e eingeprägtes Moment auf den Körper i
\delta \vec {\varphi}_i virtuelle Verdrehung des Körpers i.

Bei N Körpern und k Bindungen ergeben sich f = 6 \, N -k Freiheitsgrade. Die virtuellen Verdrehungen erhält man analog zu den Verschiebungen aus den partiellen Ableitungen nach den verallgemeinerten Koordinaten:

\delta{\vec{\varphi}_i}=\sum_{j=1}^f \frac {\partial \vec{\varphi}_i}{\partial q_j} \, \delta q_j

Die Beschleunigungen lassen sich in einen Teil, der nur von den zweiten Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abhängt, und einen Restterm zerlegen:

\ddot{\vec r}_i=\sum_{j=1}^f \frac {\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} \, \ddot{q}_j + \vec{a}_i^{\,*} und
\ddot{\vec{\alpha}}_i=\sum_{j=1}^f \frac {\partial \vec{\varphi}_i}{\partial q_j} \, \ddot{q}_j + \vec{\alpha}_i^{\,*}.

Damit lässt sich das Differentialgleichungsystem zweiter Ordnung in Matrixform darstellen.

\mathbf{M} \, \ddot{\vec{q}} = \vec{F}^* + \vec{M}^*

Dabei sind:

\mathbf{M} die f x f Massenmatrix
\vec{F}^* der Vektor der verallgemeinerten Kräfte
\vec{M}^* der Vektor der verallgemeinerten Momente

Die Elemente der Massenmatrix berechnen sich zu:

M_{m,n}=\sum_{i=1}^N \left(m_i \, \frac {\partial \vec{r}_i^{\,T}}{\partial q_m}
\cdot \frac {\partial \vec{r}_i}{\partial q_n} +
\frac {\partial \vec{\varphi}_i^{\,T}}{\partial q_m} \cdot I_i
\cdot \frac {\partial \vec{\varphi}_i}{\partial q_n}\right)

Für die Komponenten verallgemeinerten Kräfte bzw. Momente ergibt sich:

F_m^*=\sum_{i=1}^N \left(\frac {\partial \vec{r}_i^{\,T}}{\partial q_m}\left[\vec{F}_i{^e}-m_i\,\vec{a}_i^{\,*}\right]\right)
M_m^*=\sum_{i=1}^N \left(\frac {\partial \vec{\varphi}_i^{\,T}}{\partial q_m}\left[\vec{M}_i{^e}-I_i\,\vec{\alpha}_i^{\,*}-\vec {\omega}_i \times I_i \, \vec {\omega}_i \right]\right)

Die Berechnung der Massenmatrix sowie der verallgemeinerten Kräfte und Momente kann numerisch im Rechner durchgeführt werden. Das Differentialgleichungssystem kann ebenfalls numerisch mit gängigen Programmen gelöst werden. Die Behandlung großer Mehrkörpersysteme mit kinematischen Bindungen wird so erst möglich.

Beispiel Fadenpendel[Bearbeiten]

Beim ebenen Fadenpendel mit der Masse m wird der Winkel \varphi, mit dem der Faden aus der Ruheposition ausgelenkt ist, als Freiheitsgrad gewählt. Die konstante Fadenlänge l stellt eine skleronome Zwangsbedingung dar. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse können daher in Abhängigkeit dieses Winkels ausgedrückt werden:

\vec{r}=
\begin{bmatrix}
l \sin{\varphi} \\
-l \cos{\varphi}
\end{bmatrix}
\dot{\vec{r}}=\frac {\partial \vec r}{\partial \varphi} \, \dot{\varphi}=
\begin{bmatrix}
l \cos{\varphi} \\
l \sin{\varphi}
\end{bmatrix} \dot{\varphi}
\ddot{\vec{r}}=
\begin{bmatrix}
l \cos{\varphi} \\
l \sin{\varphi}
\end{bmatrix} \ddot{\varphi}+
\begin{bmatrix}
-l \sin{\varphi} \\
l \cos{\varphi}
\end{bmatrix} \dot{\varphi}^2

Die virtuelle Verschiebung ergibt sich zu:

\delta\vec{r}=\frac {\partial \vec r}{\partial \varphi} \, \delta \varphi=
\begin{bmatrix}
l \cos{\varphi} \\
l \sin{\varphi}
\end{bmatrix} \delta\varphi

Als eingeprägte Kraft wirkt die Gewichtskraft:


\vec G=
\begin{bmatrix}
 0 \\
 -m \, g
\end{bmatrix}

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Bedingung, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet.

 \left( m \ddot{\vec r} - \vec{G} \right) \delta \vec {r} = 0
\Rightarrow \left( m \ddot{\vec r} - \vec{G} \right) \frac {\partial \vec r}{\partial \varphi} = 0.

Durch Auswertung der Skalarprodukte erhält man schließlich:

m \, l^2 \, \ddot \varphi = - m \, g \,l \,\sin \varphi

Masse und Fadenlänge lassen sich kürzen, so dass man die bekannte Differentialgleichung:

\ddot \varphi = -\frac{g}{l} \,\sin \varphi

erhält.

Die Vorgehensweise erscheint bei diesem einfachen Beispiel sehr umständlich. Da aber nur Skalarprodukte ausgewertet werden müssen, kann dies bei großen Systemen automatisiert werden und numerisch im Rechner durchgeführt werden. Dies erleichtert die Aufstellung von Bewegungsgleichungen wesentlich.

Literatur[Bearbeiten]

  • Goldstein, Poole, Safko: Klassische Mechanik, VCH
  • Friedhelm Kuypers Klassische Mechanik: VCH, 5. Auflage 1997, ISBN 3-527-29269-1
  • Georg Hamel Theoretische Mechanik: Springer 1967

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Infinitesimale Verschiebungen heißen virtuell, wenn sie mit den Zwangsbedingungen verträglich sind. Außerdem sollen sie instantan erfolgen (zu einer festen Zeit).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Klaus-Peter Schnelle: Simulationsmodelle für die Fahrdynamik von Personenkraftwagen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Fahrwerkskinematik. VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2. (Fortschrittsberichte VDI Nr. 146), S. 73
  2. István Szabó: Geschichte Der Mechanischen Prinzipien Und Ihrer Wichtigsten Anwendungen. Springer DE, 1987, ISBN 978-3-7643-1735-5, S. 39– (Zugriff am 8. Februar 2013).
  3.  Kurt Magnus, H. H. Müller-Slany: Grundlagen der Technische Mechanik. 7 Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 978-3-8351-0007-7, S. 258 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Hamel Theoretische Mechanik, Springer 1967, S.220