Darstellung (Algebra)

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Die Darstellungstheorie von Algebren ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Darstellung von Algebren auf Vektorräumen beschäftigt. Auf diese Weise werden beliebige assoziative Algebren mittels Homomorphismen mit Algebren von Operatoren in Zusammenhang gebracht. Untersuchungsgegenstand sind die Struktur solcher Homomorphismen und deren Klassifikation. Die Darstellungstheorie einer Algebra ist zur Theorie ihrer Moduln äquivalent. Speziellere Darstellungstheorien behandeln Gruppen, Lie-Algebren oder C*-Algebren.

Wir betrachten im Folgenden der Einfachheit halber Algebren mit Einselement 1. Hat man eine Algebra ohne Einselement, so adjungiere man eines.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Körper und eine -Algebra. Eine Darstellung von ist ein Algebrenhomomorphismus , wobei ein -Vektorraum und die Algebra aller linearen Operatoren auf ist, genauer spricht man von einer Darstellung von auf .

Die Vektorraumdimension von wird als Dimension von bezeichnet. Endlichdimensionale Darstellungen nennt man auch Matrix-Darstellungen, denn durch Wahl einer Vektorraumbasis lässt sich jedes Element aus als Matrix schreiben. Injektive Darstellungen heißen treu.

Zwei Darstellungen und heißen äquivalent, wenn es einen Vektorraum-Isomorphismus gibt mit für alle . Dafür schreibt man abkürzend auch .

Die so definierte Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Darstellungen. Die Begriffsbildungen in der Darstellungstheorie sind so angelegt, dass sie beim Übergang zu einer äquivalenten Darstellung erhalten bleiben, Dimension und Treue sind erste Beispiele.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Nullhomomorphismus , der jedes Algebrenelement auf den Nulloperator abbildet, heißt Nulldarstellung oder triviale Darstellung.
  • Die identische Abbildung ist eine treue Darstellung von auf .
  • Es sei die -Algebra der reellwertigen (stetigen) Funktionen . Dann ist
eine zweidimensionale, nicht-treue Darstellung von C[0,1].
  • Ist eine -Algebra, so ist , wobei durch definiert sei, eine Darstellung von . Diese spezielle Darstellung nennt man auch die linksreguläre Darstellung, da sie auf die Menge aller Linksmultiplikationen mit Elementen aus abbildet. Die Formel zeigt die Treue der linksregulären Darstellung, insbesondere besitzt jede Algebra eine treue Darstellung.

Die Multiplikativität der linksregulären Darstellung bedeutet für alle und das heißt für alle und das ist nichts anderes als für alle . Diese Überlegung macht die Rolle des Assoziativgesetzes deutlich.

Direkte Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Darstellungen, so definiert

offenbar wieder eine Darstellung von , wobei komponentenweise auf der direkten Summe operiert, das heißt für alle . Diese Darstellung nennt man die direkte Summe aus und und bezeichnet sie mit .

Diese Konstruktion lässt sich offenbar für direkte Summen beliebig vieler Summanden verallgemeinern. Ist eine Familie von Darstellungen, so auch

.

Teildarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Darstellung. Ein Untervektorraum heißt invariant (genauer -invariant), falls für alle .

Offenbar ist

wieder eine Darstellung von , die man die Einschränkung von auf nennt und mit bezeichnet.

Ist ein zu komplementärer Unterraum, der ebenfalls invariant ist, so gilt offenbar , wobei die Äquivalenz durch den Isomorphismus vermittelt wird.

Die invarianten Unterräume der linksregulären Darstellung einer Algebra sind genau die Linksideale der Algebra.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Darstellungstheorie ist Zerlegung von Darstellungen als Summe von Teildarstellungen. Dabei interessiert man sich natürlich für Darstellungen, die sich nicht weiter zerlegen lassen. Das führt zwanglos auf den folgenden Begriff:

Irreduzible Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Darstellung heißt irreduzibel, wenn es außer und keine weiteren invarianten Unterräume von gibt. Für eine äquivalente Charakterisierung siehe Lemma von Schur. Eine Darstellung heißt vollständig reduzibel, wenn sie zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen äquivalent ist.

Das obige Beispiel einer zweidimensionalen Darstellung von ist offenbar äquivalent zur direkten Summe zweier eindimensionaler und damit irreduzibler Darstellungen. Die identische Darstellung der Matrizenalgebra auf ist eine -dimensionale irreduzible Darstellung, von der man zeigen kann, dass sie bis auf Äquivalenz die einzige ist. Ein häufiges Ziel der Darstellungstheorie ist die Klassifizierung aller Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen einer gegebenen Algebra.

Nicht-degenerierte Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Darstellung einer Algebra auf dem Vektorraum heißt nicht-degeneriert, wenn aus für alle stets folgt.

Ist eine beliebige Darstellung, so sind

und

offenbar invariante Teilräume, heißt auch Nullraum der Darstellung. Es ist die Projektion auf und der zugehörige Komplementärraum. Da die Nulldarstellung und nicht-degeneriert ist, haben wir das Ergebnis, dass jede Darstellung die Summe aus einer nicht-degenierten und einer Nulldarstellung ist. Häufig betrachtet man daher nur nicht-degenerierte Darstellungen und nimmt ohne Einschränkung an.

Zyklische Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Darstellung heißt zyklisch, wenn es ein gibt mit , der Vektor heißt zyklischer Vektor. Ist eine beliebige Darstellung und , so ist offenbar ein invarianter Unterraum und ist eine zyklische Darstellung mit als einem zyklischen Vektor. Oft fordert man noch, dass nicht im Nullraum liegt, um Triviales zu vermeiden.

Zusammenhang mit Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Modul (Mathematik)

Ist eine nicht-degenerierte Darstellung, so wird durch die Festlegung zu einem -Modul. Die Nicht-Degeneriertheit benötigt man für für alle , die anderen Modulaxiome führt man leicht auf die Homomorphieeigenschaften von zurück.

Ist umgekehrt ein -Modul, so ist mit der durch erklärten Skalarmultiplikation ein -Vektorraum. Definiert man für einen Endomorphismus durch die Formel , so erhält man offenbar eine Darstellung .

Bei dieser Konstruktion sind zwei Darstellungen genau dann äquivalent, wenn die zugehörigen -Moduln isomorph sind. Die Darstellungstheorie der -Algebra ist daher gleichwertig zur Theorie der -Moduln. Die Teildarstellungen entsprechen den Untermoduln, eine irreduzible Darstellung entspricht einem einfachen-Modul, eine vollständig reduzible Darstellung einem halbeinfachen Modul. Zyklische Darstellungen korrespondieren zu von einem Element erzeugten Moduln. Der zur linksregulären Darstellung gehörige -Modul ist nichts anderes als selbst.

Hat man nur einen Ring ohne die Operation eines Körpers, so kann man nur über -Moduln reden. Die Theorie der Moduln über einem Ring ist in diesem Sinne eine Verallgemeinerung der Darstellungstheorie von Algebren auf Ringe.

Gruppendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Gruppe, so ist die Gruppenalgebra eine -Algebra, die in der Gruppe der invertierbaren Elemente mit eine zu isomorphe Untergruppe enthält, die man mit identifiziert. Jede nicht-degenerierte Darstellung der Gruppenalgebra liefert daher durch Einschränkung auf eine Darstellung der Gruppe. Ist umgekehrt eine Gruppendarstellung, so ist durch eine Darstellung der Gruppenalgebra gegeben. In diesem Sinne ordnet sich die Darstellungstheorie der Gruppen der hier behandelten Darstellungstheorie von Algebren unter.

Darstellungen von Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lie-Algebren sind zwar nicht assoziativ, aber dennoch ist man an Homomorphismen auf Unteralgebren von interessiert, wobei die Lie-Klammer auf den Kommutator abgebildet wird, das heißt wobei für alle gilt. Eine zugehörige universelle Konstruktion führt zur universellen einhüllenden Algebra, womit die Darstellungen von Lie-Algebren in Beziehung zu den hier behandelten Darstellungen assoziativer Algebren gesetzt sind.

Hilbertraumdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hilbertraum-Darstellung

Zur Untersuchung von Banach-*-Algebren, insbesondere von C*-Algebren und Gruppenalgebren lokalkompakter Gruppen, sucht man nach Darstellungen, die auch die topologischen Verhältnisse sowie die Involution widerspiegeln. Das führt zwanglos zur Untersuchung von Darstellungen auf Hilberträumen, was umgekehrt wieder zu Klassen solcher Algebren führt, so zum Beispiel zum wichtigen Begriff der Typ-I-C*-Algebra, der durch die Darstellungstheorie der C*-Algebra definiert werden kann. Die Tatsache, dass C*-Algebren treue Hilbertraumdarstellungen besitzen, ist als Satz von Gelfand-Neumark bekannt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]