Deming-Regression

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In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (xi, yi) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die x- als auch für die y-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse; sie beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient δ ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück;[1] 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen[2] und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.[3]

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall δ = 1.

Rechenweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gemessenen Werte xi und yi werden als Summen der "wahren" Werte xi* bzw. yi* und der "Fehler" ηi bzw. εi aufgefasst, d.h. (xi, yi) = (xi* + ηi , yi* + εi). Die Datenpaare (xi*, yi*) liegen auf der zu berechnenden Geraden. ηi und εi seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der Fehlervarianzen δ = σε2η2.

Es wird eine Gerade

y = β0 + β1x

gesucht, die die gewichtete Summe der quadrierten Residuen minimiert:

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

    (arithmetisches Mittel der xi)
    (arithmetisches Mittel der yi)
    (Stichprobenvarianz der xi)
    (Stichprobenvarianz der yi)
    (Stichprobenkovarianz der (xi, yi))

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:[4]

Die x*-Koordinaten berechnet man mit

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. C. H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: Annals of Mathematics (Hrsg.): The Analyst. 6, Nr. 4, 1879, S. 97–105. doi:10.2307/2635646.
  2. T. C. Koopmans: Linear regression analysis of economic time series. DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands, 1937.
  3. W. E. Deming: Statistical adjustment of data. Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985), 1943, ISBN 0-486-64685-8.
  4. P. Glaister: Least squares revisited. The Mathematical Gazette. Vol. 85 (2001), S. 104–107.