Deming-Regression

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In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare (xi, yi) nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Im Unterschied zur linearen Regression werden Residuen (Messfehler) sowohl für die x- als auch für die y-Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist ein Spezialfall der Regressionsanalyse und beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient δ ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück;[1] 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen[2] und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.[3]

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall δ = 1.

Rechenweg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gemessenen Werte xi und yi werden als Summen der "wahren" Werte xi* bzw. yi* und der "Fehler" ηi bzw. εi aufgefasst, d.h. (xi, yi) = (xi* + ηi , yi* + εi). Die Datenpaare (xi*, yi*) liegen auf der zu berechnenden Geraden. ηi und εi seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der Fehlervarianzen δ = σε2η2.

Es wird eine Gerade y = β0 + β1x gesucht, die die gewichtete Summe der quadrierten Residuen minimiert:

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

    (arithmetisches Mittel der xi)
    (arithmetisches Mittel der yi)
    (korrigierte Stichprobenvarianz der xi)
    (korrigierte Stichprobenvarianz der yi)
    (korrigierte Kovarianz der (xi, yi))

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. C. H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: Annals of Mathematics (Hrsg.): The Analyst. 6, Nr. 4, 1879, S. 97–105. doi:10.2307/2635646.
  2. T. C. Koopmans: Linear regression analysis of economic time series. DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands, 1937.
  3. W. E. Deming: Statistical adjustment of data. Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985), 1943, ISBN 0-486-64685-8.
  4. P. Glaister: Least squares revisited. The Mathematical Gazette. Vol. 85 (2001), S. 104–107.