Diagonale (Lineare Algebra)

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Als Diagonale werden in der linearen Algebra diejenigen Elemente bezeichnet, die in einer quadratischen Matrix auf einer gedachten Linie, die von oben schräg nach unten geht, liegen. Von besonderer Bedeutung ist die Hauptdiagonale, die von oben links nach unten rechts verläuft.

Diagonalen einer 2 × 2-Matrix[Bearbeiten]

Bei einer Matrix der Form

A = \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}

gibt es zwei Diagonalen: Die Einträge a und d bilden die Hauptdiagonale, die von oben links nach unten rechts verläuft. Die Einträge b und c bilden die sogenannte Nebendiagonale, die von oben rechts nach unten links verläuft.

Die beiden Diagonalen einer 2\times 2-Matrix spielen eine besondere Rolle bei der Berechnung der Determinanten: Es gilt folgende Formel

\operatorname{det} A = ad-bc,

die oft sprachlich ungenau abgekürzt wird zu „Determinante gleich Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“.[1]

Die Hauptdiagonale einer n × n-Matrix[Bearbeiten]

Bei einer allgemeinen Matrix

A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\
\vdots  & \vdots  &        & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n}
\end{pmatrix}

mit den Einträgen A = (a_{ij})_{i,j=1,\dotsc,n} besteht die Hauptdiagonale aus den Einträgen (a_{ii}), i=1,\dotsc,n, also aus allen Zahlen, die auf der Linie von oben links nach unten rechts stehen.[2]

Der Begriff Nebendiagonale hat bei n \times n-Matrizen keine einheitliche Definition und kann sich auf eine Diagonale beziehen, die parallel zur Hauptdiagonale oberhalb oder unterhalb von dieser verläuft, oder auf die Diagonale von rechts oben nach links unten.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Eine quadratische Matrix, bei der nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen von null verschieden sind, heißt Diagonalmatrix. Besitzen alle diese Elemente den Wert 1, so ergibt sich die so genannte Einheitsmatrix.

Die Summe der Elemente der Hauptdiagonalen nennt man Spur der Matrix.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 3. Auflage. de Gruyter Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-020696-8, S. 10.
  2. Matrizenrechnung. Abgerufen am 29. April 2013.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58350-2, S. 19.
  •  Peter Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. Birkhäuser Berlag, Berlin, Basel, Bosten 1996, ISBN 978-3-764-35376-6, S. 475.