Diamant-Norm

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Mithilfe der Diamant-Norm werden in der Quantenmechanik häufig Abstände zweier Quantenkanäle angegeben. Durch den Jamiolkowski-Isomorphismus lässt sich dieser Abstand auch auf Zustände erweitern. Bei quantenmechanischen Messungen wird das System gestört, der Zustand des Quants ändert sich. In theoretischen Überlegungen wird eine quantenmechanische Messung durchgeführt, indem ein linearer Operator auf den vorigen Zustand angewandt wird. Die Eigenwerte, die das Produkt aus Operator und Eigenvektoren hat, sind alle möglichen Messwerte, die bei einer Messung auftreten können. Es stellt sich nach der Messung die Frage, wie weit die Zustände, in denen sich die Quanten nun befinden, auseinanderliegen. Eine Möglichkeit, diesen Abstand zu bestimmen, wird durch die Diamant-Norm gegeben.

Sei ein Quantenkanal und der zugehörige Zustand:

Hierbei wird, wenn die Karten des Kanals zwei beliebigen und mit entsprechen, die Matrix auch als Choi-Jamiolkowski-Darstellung bezeichnet. Nun seien zwei Quantenkanäle, dann entspricht der Abstand in der Diamant-Norm:

mit Identitätskanal, abgebildet von auf sich selbst, Spur-Norm, dem Supremum über alle und allen Dichteoperatoren aus . Dieses Supremum ist stets errechenbar für ein fest gewähltes . Der entsprechend berechnete Abstand drückt ebenso die Irrtumswahrscheinlichkeit für eine Missdeutung des Ergebnisses zweier Quantenkanäle aus[1] und wird bei entsprechenden Vergleichsberechnungen gerne herangezogen.[2]:In vielen Fällen hilft auch die reine Verwendung der Spur-Norm, manchmal liefert sie aber keine zufriedenstellenden Ergebnisse, insbesondere bei der Betrachtung von Quantenkanälen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Avraham Ben-Aroya, Amnon Ta-Shma: On the complexity of approximating the diamond norm. In: Quantum Physics. 2009, arxiv:0902.3397.
  • Walter Noll: Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 94-010-9335-0, S. 168 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Andrew Childs, Michele Mosca: Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography: 4th Workshop, TQC 2009, Waterloo, Canada, May 11-13. Revised Selected Papers Springer, 10. März 2010, S. 68
  2. James M. McCracken: Negative Quantum Channels: An Introduction to Quantum Maps that are Not Completely Positive Morgan & Claypool Publishers, 2014, S. 121