Differentialform

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Der Begriff Differentialform (oft auch alternierende Differentialform genannt) geht auf den Mathematiker Élie Joseph Cartan zurück. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie. Sie erlauben eine koordinatenunabhängige Integration auf allgemeinen orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Kontext[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine offene Teilmenge

In jedem dieser Fälle gibt es

  • den Begriff der differenzierbaren Funktion auf der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf werde mit bezeichnet;
  • den Begriff des Tangentialraums an in einem Punkt
  • den Begriff der Richtungsableitung für einen Tangentialvektor und eine differenzierbare Funktion
  • den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf der Raum der Vektorfelder auf sei mit bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums wird als Kotangentialraum bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differentialform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Differentialform vom Grad auf oder kurz k-Form ist ein glatter Schnitt in der -ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von . In symbolischer Schreibweise bedeutet dies , wobei den Kotangentialraum von , die k-te äußere Potenz von und somit Menge der glatten Schnitte von bezeichnet.

Dies bedeutet, dass jedem Punkt eine alternierende Multilinearform auf dem Tangentialraum zugeordnet wird; und zwar so, dass für glatte Vektorfelder die Funktion

glatt, also beliebig oft differenzierbar, ist.

Alternativ dazu kann man eine -Form als eine alternierende, glatte multilineare Abbildung auffassen. Das bedeutet: ordnet Vektorfeldern eine Funktion zu, sodass

  • für

und

gilt.

Alternative unter Rückgriff auf Tensorfelder: Eine -Form ist ein alternierendes, kovariantes Tensorfeld der Stufe

Raum der Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der k-Formen auf bildet einen Vektorraum und wird mit bezeichnet. Weiterhin setzt man

Für endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ist diese Summe endlich, da für der Vektorraum der Nullvektorraum ist. Die Menge ist eine Algebra mit dem äußeren Produkt als Multiplikation und somit auch wieder ein Vektorraum. Aus topologischer Sicht ist dieser Raum auch eine Garbe.

Man kann als Element der äußeren Potenz auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d. h. das Produkt in der äußeren Algebra) Abbildungen

wobei durch

punktweise definiert ist.

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, es gilt

dabei bezeichnet   den Grad von d. h. ist eine k-Form, so ist  . Das heißt, dass das Produkt zweier Formen ungeraden Grades antikommutativ ist, in allen anderen Kombinationen ist das Produkt kommutativ.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei ein lokales Koordinatensystem (eine Karte). So ist

eine Basis von Dabei ist das totale Differential der -ten Koordinate, das heißt diejenige Linearform auf , die den -ten Basisvektor der Basis auf 1 und alle anderen auf 0 abbildet.

Jede Differentialform hat auf allen Karten eine eindeutige Darstellung

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen Auf den Kartenübergangsgebieten ist die Differentialform ebenfalls wohldefiniert. An dieser Darstellung kann man leicht ablesen, dass für die Nullform die einzige Differentialform ist.

Äußere Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung ist ein Operator, der einer -Differentialform eine -Differentialform zuordnet. Betrachtet man sie auf der Menge der -Differentialformen, also auf der Menge der glatten Funktionen, so entspricht die äußere Ableitung der üblichen Ableitung für Funktionen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Ableitung einer -Form wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

definiert; dabei ist ein Vektorfeld, die Lie-Ableitung und die Einsetzung von

Ist beispielsweise eine 1-Form, so ist

und

also

für Vektorfelder ; dabei bezeichnet die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

dabei bedeutet das Dach im Zeichen , dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

  • Die äußere Ableitung ist eine Antiderivation. Das heißt, ist -linear, und für gilt die Leibnizregel
  • Sei dann stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.
  • Die äußere Ableitung respektiert Einschränkungen. Es sei also offen und Dann gilt Man nennt die äußere Ableitung deshalb auch einen lokalen Operator.

Diese vier Eigenschaften charakterisieren die äußere Ableitung vollständig. Das heißt, man kann aus diesen Eigenschaften die obige Summenformel herleiten. Rechnet man mit der äußeren Ableitung, so bevorzugt man das Rechnen mit den Eigenschaften der Ableitung und vermeidet die obige Formel.

Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Ableitung einer Differentialform

in Koordinatendarstellung lautet

mit den totalen Differentialen der Koeffizientenfunktionen

.

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Identitäten

und

wichtig.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt

Allgemein gilt für die äußere Ableitung einer 1-Form

Für bilden also die Koeffizienten der äußeren Ableitung einer 1-Form die Rotation des aus den Koeffizienten der 1-Form gebildeten Vektors.

Weitere Operationen auf Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inneres Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein glattes Vektorfeld. Das innere Produkt ist eine lineare Abbildung

die durch

gegeben ist. Das heißt, das innere Produkt bildet eine k-Form auf eine (k-1)-Form ab, indem die Form an einem festen Vektorfeld ausgewertet wird. Diese Abbildung ist ein Analogon der Tensorverjüngung auf dem Raum der Differentialformen. Deshalb wird diese Operation im Englischen auch manchmal contraction genannt.

Das innere Produkt ist eine Antiderivation. Das heißt, für und gilt die Leibnizregel

Außerdem gilt für das innere Produkt

Rücktransport (Pullback) von Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Pullback

Ist eine glatte Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für die mittels   zurückgeholte Form wie folgt definiert:

Dabei ist die durch induzierte Abbildung der Ableitungen, auch „push-forward“ genannt. Das Zurückziehen ist mit der äußeren Ableitung und dem äußeren Produkt verträglich:

(ausführlicher geschrieben: auf der linken Seite , auf der rechten Seite dagegen ) und
für alle

Insbesondere induziert eine Abbildung zwischen den De-Rham-Kohomologie-Gruppen (siehe unten)

wobei die Umkehr der Pfeilrichtung gegenüber zu beachten ist („pull-back“, „Kohomologie“ statt „Homologie“).

Davon abgesehen können die „pull-back“-Operationen von Differentialformen aber i. W. als „trivial“ bezeichnet werden.

Duale Form und Stern-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hodge-Stern-Operator

Betrachtet werden äußere Formen in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, sodass eine orthonormale Basis des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad k in diesem n-dimensionalen Raum duale Form ist eine (n-k)-Form

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge-) *-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

mit den 1-Formen . Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier (y,z), (x,y) und (z,x) ist (zyklische Verstauschungen in (x,y,z)).

Das -Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum M gegeben ist, denn lässt sich für zwei k-Formen und als Volumenform schreiben und das Integral

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine k-Form wieder die k-Form ergibt - bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine k-Form in einem n-dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur s hat (s=+1 im euklidischen Raum, s=−1 im Minkowski-Raum):

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form die 2-Form ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diese 2-Form kann man mit Hilfe des *-Operators nun auch formal direkt als 1-Form (rot-Vektor) schreiben: . Analog wird der -Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

De-Rham-Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: De-Rham-Kohomologie

Aus der graduierten Algebra kann zusammen mit der äußeren Ableitung ein Kokettenkomplex konstruiert werden. Aus diesem wird dann mit den üblichen Methoden der homologischen Algebra eine Kohomologie definiert. Georges de Rham konnte zeigen, dass diese nach ihm benannte Kohomologietheorie mit der singulären Kohomologie übereinstimmt. Um die De-Rham-Kohomologie zu definieren, werden zuerst die Begriffe der exakten und der geschlossenen Differentialform definiert:

Exakte und geschlossene Formen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine -Form heißt geschlossen, wenn gilt; sie heißt exakt, wenn es eine -Form gibt, sodass gilt. Aufgrund der Formel ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist eine offene Überdeckung von so ist eine -Form genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von auf für jedes geschlossen ist.

Die De-Rham-Kohomologiegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Faktorraum

{geschlossene -Formen auf } {exakte -Formen auf }

heißt -te de-Rham-Kohomologiegruppe Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von

Das Lemma von Poincaré[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Poincaré-Lemma

Das Lemma von Poincaré besagt, dass für und Sterngebiete . Allgemeiner gilt die Aussage dieses Lemmas für zusammenziehbare offene Teilmengen U des Der Beweis ist konstruktiv, d. h. es werden explizite Beispiele konstruiert, was für Anwendungen sehr wichtig ist. Man beachte, dass aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also für jedes

Ist geschlossen und exakt, so folgt

Entsprechendes gilt, falls exakt und geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

Ein Beispiel aus der Elektrodynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Elektrodynamik impliziert das Lemma von Poincaré, dass zu jedem Paar elektromagnetischer Felder, die zu einer zweistufigen alternierenden Differentialform in einem vierdimensionalen Minkowskiraum zusammengefasst werden können, eine einstufige Vektorpotentialform mit existiert, ein sogenanntes „Viererpotential“, siehe auch Vierervektor. Auch Strom- und Ladungsdichten können zu einem Vierervektor bzw. zu einer entsprechenden 3-Form zusammengefasst werden.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit M (mit Metrik und Determinante der Metrik g, wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes vorliegt, etwa für entsprechend der Definition des Linienelements ) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

(die sogenannte Bianchi-Identität) und

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form

z. B. mit der z-Komponente des Vektors der magnetischen Induktion und mit dem Strom (geschrieben als 3-Form)

Hierbei ist das Antisymmetrisierungssymbol (Levi-Civita-Symbol), und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indizes summiert (Einsteinsche Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit ersetzt durch ). Durch Anwendung des *-Operators kann man den zweiten Satz der vier Maxwellgleichungen auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass und in der Elektrodynamik ganz unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen, die sich für ergeben, haben dagegen duale Symmetrie.

Die Potentialform ist nur bis auf einen additiven Zusatz eindeutig: und ergeben dasselbe mit einer Eichform , die erfüllt, aber ansonsten willkürlich ist. Man kann diese zusätzliche sogenannte Eichfreiheit benutzen, um punktweise zusätzliche Nebenbedingungen zu erfüllen. In der Elektrodynamik fordert man beispielsweise, dass für überall die zusätzliche sogenannten Lorenz-Bedingung (Lorenz-Eichung) gelten soll, in den vier Komponenten lautet diese Bedingung einfach . Durch diese „Eichfixierung“ ergibt sich schließlich als eindeutige Lösung aller vier Maxwell-Gleichungen das sogenannte „retardierte Potential“:

Beim Übergang zum Dualen ist zu beachten, dass man es nicht mit dem sondern mit zu tun hat, der eine andere Metrik, nämlich die Minkowski-Metrik, trägt. Das bei Lorentztransformationen invariante Linienelement ist wobei das Differential der Eigenzeit ist und die Summenkonvention verwendet wurde. Ko- und kontravariante Vierervektorkomponenten unterscheiden sich nun. Zwar ist aber

Integrationstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Orientierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Orientierung (Mathematik)

Ist so heißt eine -Form auf die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: Eine Basis des Kotangentialraums in einem Punkt sei positiv orientiert, wenn

mit einer positiven Zahl gilt; eine Basis des Tangentialraums in einem Punkt sei positiv orientiert, wenn

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich nur um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist zusammenhängend, so gibt es entweder gar keine oder genau zwei Äquivalenzklassen.

heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von existiert.

Integration von Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei wieder und wir nehmen an, auf sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

für -Formen Ist eine offene Teilmenge, eine positiv orientierte Basis und

so gilt

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral im

Ist eine -dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, offen und eine Karte, so definiert man

als Integral der -Form über ein Kartengebiet . Die Differentialform wird also mit der Parametrisierung von auf die offene Teilmenge zurückgeholt und dann nach obiger Definition integriert. Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition invariant gegenüber Koordinatenwechsel ist.

Ist allgemeiner eine messbare Teilmenge von , so definiert man

mit der charakteristischen Funktion , d. h. wird außerhalb von null gesetzt.

Zur Definition des Integrals über ganz kann eine Zerlegung

in abzählbar viele paarweise disjunkte messbare Teilmengen gewählt werden, so dass jedes ganz in einem Kartengebiet enthalten ist. Damit setzt man

.

Für Integrale von Differentialformen gilt der folgende Transformationssatz: Ist ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, dann gilt für

mit der auf zurückgeholten Form .

Satz von Stokes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Stokes

Ist eine kompakte orientierte -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und versieht man mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede -Form

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Er enthält als Spezialfälle den gaußschen Integralsatz und den klassischen Integralsatz von Stokes.

Ist geschlossen, das heißt gilt so folgt für jede exakte -Form d. h. für die Beziehung:

Zur Verdeutlichung der genannten Eigenschaft von benutzt man oft die Formulierung mit einem Kreis-Integral:

Das Integral liefert eine Abbildung

Ist zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Man kommt damit zur De-Rham-Kohomologie zurück (s. o.).

Rechenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf mit den kartesischen Koordinaten seien die 1-Form

und die 2-Form

gegeben.

Für das äußere Produkt gilt

.

Die äußere Ableitung von ergibt

,

also . Insbesondere ist exakt und folglich geschlossen, d. h. . Das lässt sich auch durch direkte Rechnung überprüfen: .

Sei weiter gegeben durch , dann folgt mit , , und , , für die auf zurückgeholte Form:

.

Für das Integral von über die durch gegebene Kurve im ergibt sich somit

.

Ist die Einheitssphäre im , so ist der Rand der Einheitskugel , also . Nach dem Satz von Stokes gilt also wegen

.

Die 3-Form kann beispielsweise über den Einheitswürfel integriert werden. Ihr Integral stimmt mit dem Lebesgue-Integral der Koeffizientenfunktion überein:

.

Komplexe Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Komplexe Differentialform

In der Theorie der komplexen Differentialformen wird der hier eingeführte Kalkül auf komplexe Mannigfaltigkeiten übertragen. Dies funktioniert größtenteils analog zur Definition der hier beschriebenen Formen. Jedoch werden hier analog zu den komplexen Zahlen die Räume der komplexen Differentialformen in zwei Räume (reeller) Differentialformen

zerlegt. Der Raum heißt dann der Raum der (p,q)-Formen. Auf diesen Räumen kann man analog zur äußeren Ableitung zwei neue Ableitungen definieren. Diese werden Dolbeault- und Dolbeault-Quer-Operator genannt, und analog zur De-Rham-Kohomologie kann man mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators wieder eine Kohomologie bilden. Diese heißt Dolbeault-Kohomologie.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]