Direkte Summe

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Dieser Artikel behandelt direkte Summen von Vektorräumen, zu direkten Summen von Permutationen siehe Summe von Permutationen.

Der Begriff „direkte Summe“ bezeichnet in der Mathematik die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe.

In beiden Fällen wird die direkte Summe mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben (eingekreistes Pluszeichen, Unicode: U+2295 circled plus sign, bzw. als mehrstelliger Operator analog dem Summenzeichen: U+2A01 n-ary circled plus operator).

Äußere direkte Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von abelschen Gruppen oder Moduln (und damit auch Vektorräumen). Er ist gegeben durch die Untergruppe, bzw. den Untermodul des direkten Produktes, welcher aus genau den Tupeln mit endlichem Träger besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für abelsche Gruppen und Moduln geht dies aber analog.)

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Familie von Vektorräumen. Dann heißt

für fast alle

die äußere direkte Summe der Familie , wobei das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen (hier zwei) Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen von und ist.

Innere direkte Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Familie von Untervektorräumen des Vektorraumes heißt innere direkte Summe von (auch direkte Zerlegung von ), falls jedes eindeutig aus der Summe endlich vieler gebildet werden kann, d. h.

.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

oder im endlichen Fall

Eine Summe einer Familie von Untervektorräumen ist genau dann direkt, wenn für alle gilt:

,

also wenn für jedes der Schnitt mit der Summe der übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor enthält.

Im Spezialfall nennt man und zueinander komplementär. Dabei gilt

.

Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man beachte: Die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Der Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann folgendermaßen hergestellt werden.

Betrachte für jedes die Einbettung in die äußere direkte Summe, also:

für und für

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

Direkte Summe von Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien Darstellungen von bzw. Die direkte Summe der Darstellungen wird definiert als: wobei für alle und
Auf diese Weise wird wieder zu einer linearen Darstellung.
Sind Darstellungen der gleichen Gruppe so definiert man die direkte Summe der Darstellungen der Einfachheit halber auch als Darstellung von also in dem man als die diagonale Untergruppe von auffasst.

Beispiel

Sei die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

Und sei die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

Dann ist eine lineare Darstellung von in den die für nach Definition wie folgt aussieht:

Da es reicht das Bild des Erzeugers der Gruppe anzugeben, stellen wir fest, dass gegeben ist durch:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]