Direkte Summe

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Dieser Artikel behandelt direkte Summen von Vektorräumen, zu direkten Summen von Permutationen siehe Summe von Permutationen.

Der Begriff der direkten Summe in der Mathematik wird zwischen äußerer und innerer direkter Summe unterschieden.

Äußere direkte Summe[Bearbeiten]

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von Vektorräumen, abelschen Gruppen oder Moduln. Er ist gegeben durch den Unterraum, bzw. Untergruppe, bzw. Untermodul des direkten Produktes, welcher aus genau den Tupeln mit endlichem Träger besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für abelsche Gruppen und Moduln geht dies aber analog.) Die direkte Summe wird mit dem Verknüpfungszeichen \oplus geschrieben.

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

Definition[Bearbeiten]

Sei \left(V_i\right)_{i\in I} eine Familie von Vektorräumen. Dann heißt

\bigoplus_{i\in I } V_i\colon = \Big\{\left(v_i\right)_{i \in I} \in\prod_{i\in I} V_i  \Big| v_i = 0 \mbox{ für fast alle } i\in I\  \Big\}

die äußere direkte Summe der Familie (V_i)_{i \in I}, wobei \textstyle \prod_{i \in I} V_i das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel

V_1 \oplus V_2 =\left\{\left(v_1,v_2\right)\mid v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\right\} = V_1\times V_2

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen (hier zwei) Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen von V_1 und V_2 ist.

Innere direkte Summe[Bearbeiten]

Bei einer Familie von Untervektorräumen (U_i)_{i \in I} des Vektorraumes V heißt V innere direkte Summe von U_i (auch direkte Zerlegung von V), falls jedes v \in V eindeutig aus der Summe endlich vieler u_i \in U_i gebildet werden kann, d. h.

 \forall v \in V: \exists \,({\rm eindeutige})\, u_i \in U_i : v = \sum_{i \in I} u_i, \text{ fast alle } u_i = 0.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

 V = \bigoplus_{i \in I} U_i

oder im endlichen Fall

 V = U_1 \oplus \dotsb \oplus U_n

Eine Summe V = \sum_{i \in I} U_i einer Familie von Untervektorräumen ist genau dann direkt, wenn für alle j \in I gilt:

U_j \cap \sum_{i \in I \setminus\{j\}} U_i = \{0\},

also wenn für jedes U_j der Schnitt mit der Summe der übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor enthält.

Im Spezialfall  U_1 \oplus U_2 = V nennt man U_1 und U_2 zueinander komplementär. Dabei gilt

 U_1 \oplus U_2 = V \Leftrightarrow (U_1 + U_2 = V) \and (U_1 \cap U_2 = \{0\}).

Zusammenhang[Bearbeiten]

Man beachte: Die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Den Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann man durch folgenden Trick herstellen.

Man konstruiert eine Abbildung f_j: V_j \longrightarrow \oplus V_i für jedes V_j (die Summanden der äußeren Summe):

 f_j(x) = (v_i)_{i \in I}, v_i = x für i = j und v_i = 0 für i \neq j

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]