Dirichlet-Randbedingung

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Als Dirichlet-Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen werden sollen. Weitere Randbedingungen sind beispielsweise Neumann-Randbedingungen oder schiefe Randbedingungen.

Gewöhnliche Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Dirichletproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervall-Ende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen sind Dirichlet-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung sinnvoll. In diesem Fall sieht ein Dirichletproblem, d. h. eine Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingung, folgendermaßen aus:

Hierbei ist eine vorgeschriebene Funktion, und sind vorgeschriebene reelle Zahlen für die Funktionswerte einer Lösung an den Intervallenden. Schließlich suchen wir eine (klassische) Lösung aus der angegebenen Regularitätsklasse.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wählen als unser Intervall und betrachten das folgende Dirichletproblem:

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine (klassische) Lösung der Differentialgleichung:

mit zwei frei wählbaren reellen Konstanten und . Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten und :

Bemerkenswerterweise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles eine Lösung gegeben durch

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Satz wird für homogene () Daten formuliert. Dies ist jedoch keine Einschränkung, denn durch eine Transformation mit

kann ein inhomogenes Problem stets in ein homogenes Problem überführt werden.

Gegeben sei die Aufgabe

Dabei sei eine stetige Funktion. Außerdem erfülle sie eine Lipschitz-Bedingung, das heißt, es gebe Zahlen , so dass für alle und für alle die Ungleichung

erfüllt sei. Weiterhin gelte

Sei eine Lösung von

verschwinde für und sei die erste eindeutige Zahl, so dass für . Dann hat die zugrunde liegende Aufgabe genau eine Lösung, falls

Gilt hingegen , so muss keine Lösung existieren oder sie muss nicht eindeutig sein. Weiterhin gilt

Einen Beweis dieses Satzes findet man in Bailey, Shampine, Waltman. Nonlinear two-point boundary value problems. Academic Press, 1968.

Ist die rechte Seite der Differentialgleichung jedoch nur stetig und beschränkt, dann garantiert der Satz von Scorza Dragoni die Existenz einer Lösung.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Dirichletproblem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist die alleinige Angabe von Dirichlet-Randbedingungen nur für elliptische Gleichungen auf einem beschränkten Gebiet sinnvoll, da die anderen Typen auch Vorgaben der Anfangswerte benötigen. Dabei werden Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes vorgeschrieben. Wir definieren hier das Dirichletproblem für eine quasilineare partielle Differentialgleichung:

Hierbei stellt die Funktion die vorgeschriebenen Funktionswerte der Lösung auf dem Rand dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problems ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung. Es ist auch sehr schwierig, eine allgemeingültige Lösungsmethode anzugeben.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet das folgende Randwertproblem:

Hierbei bezeichnet den Laplace-Operator. Zunächst stellen wir fest, dass eine Lösung des Problems ist. Wir wollen noch weitere Lösungen finden. Wir nehmen nun für an und machen den folgenden Produktansatz

Für die Funktionen leiten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet-Randbedingungen her. Es folgt

Wenn nun die dem Randwertproblem

genügen, dann ist die oben definierte Funktion eine Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die partielle Differentialgleichung. Mit dem Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten wir

und somit

als Lösung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet-Randbedingungen. Offen bleibt die Frage, ob es noch weitere Lösungen gibt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-41160-7.