Disjunkte Vereinigung

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Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Definition[Bearbeiten]

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe.

Erste Variante: Vereinigung disjunkter Mengen[Bearbeiten]

Eine Menge X ist die disjunkte Vereinigung eines Systems (X_i)_{i\in I} von Teilmengen X_i\subseteq X, geschrieben

 X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i,

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Zweite Variante: Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen[Bearbeiten]

Sind Mengen X_i für i\in I gegeben, so heißt die Menge

\bigsqcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{i \in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}

die disjunkte Vereinigung der Mengen X_i. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Für die Mächtigkeiten gilt: \left|\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i \right|= \sum_{i\in I} |X_i|.
  • Die disjunkte Vereinigung \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen f \colon \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i\to Y entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen (f_i)_{i\in I} mit f_i\colon X_i\to Y.
  • Sind die Mengen X_i disjunkt, so ist die kanonische Abbildung \bigsqcup\limits_{i\in I}X_i\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i bijektiv.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel nach der ersten Definition[Bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von A = \{1, 2, 3\} und B = \{4, 5, 6\}.

  • A\cap B=\varnothing Beide Mengen sind disjunkt
  • A\;\dot{\cup}\; B=C
  • C ist die disjunkte Vereinigung der Mengen A und BC = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
  • Die Mengen A und B bilden hierbei eine Partition der Menge C

Beispiel nach der zweiten Definition[Bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von X_1 = \{1,2,3\} und X_2 = \{1,2,3,4\}.

  • I = \{1,2\}
  • \textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}