Disjunkte Vereinigung

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Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Definition[Bearbeiten]

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar, die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher muss der Begriff abhängig von seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet, meist letztere für ersteren Umstand.

Vereinigung disjunkter Mengen[Bearbeiten]

Eine Menge X ist die disjunkte Vereinigung eines Systems (X_i)_{i\in I} von Teilmengen X_i\subseteq X, geschrieben

 X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i,

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen[Bearbeiten]

Sind Mengen X_i für i\in I gegeben, so heißt die Menge

\bigsqcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{i \in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}

die disjunkte Vereinigung der Mengen X_i. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Für die Mächtigkeiten gilt: \left|\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i \right|= \sum_{i\in I} |X_i|.
  • Die disjunkte Vereinigung \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen f \colon \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i\to Y entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen (f_i)_{i\in I} mit f_i\colon X_i\to Y.
  • Sind die Mengen X_i disjunkt, so ist die kanonische Abbildung \bigsqcup\limits_{i\in I}X_i\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i bijektiv.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen[Bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von A = \{1, 2, 3\} und B = \{4, 5, 6\}.

  • A\cap B=\varnothing Beide Mengen sind disjunkt
  • A\;\dot{\cup}\; B=C
  • C ist die disjunkte Vereinigung der Mengen A und BC = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
  • Die Mengen A und B bilden hierbei eine Partition der Menge C

Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen[Bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von X_1 = \{1,2,3\} und X_2 = \{1,2,3,4\}.

  • I = \{1,2\}
  • \textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}