Disjunkte Vereinigung

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Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar, die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher muss der Begriff abhängig von seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet, meist letztere für ersteren Umstand.

Vereinigung disjunkter Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Menge ist die disjunkte Vereinigung eines Systems von Teilmengen , geschrieben

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • falls , das heißt die sind also paarweise disjunkt;
  • , das heißt ist die Vereinigung aller Mengen .

Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind Mengen für gegeben, so heißt die Menge

die disjunkte Vereinigung der Mengen . Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die Mächtigkeiten gilt: .
  • Die disjunkte Vereinigung ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen mit .
  • Sind die Mengen disjunkt, so ist die kanonische Abbildung bijektiv.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von und .

  • Beide Mengen sind disjunkt
  • ist die disjunkte Vereinigung der Mengen und
  • Die Mengen und bilden hierbei eine Partition der Menge

Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Disjunkte Vereinigung von und .