Diskreter Bewertungsring

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist.

Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes. Man schreibt auch kurz DVR (für discrete valuation ring) oder DBR.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
  • Das Spektrum Spec eines diskreten Bewertungsringes besteht aus genau zwei Punkten:
    • Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal (wenn das uniformisierende Element ist)
    • und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt .
  • Für einen diskreten Bewertungsring wird durch eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn für in ). Diese Bewertung hat als Bewertungsring.
  • Ordnet man einem diskret bewerteten Körper seinen Bewertungsring zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen für jede Primzahl . ist dicht in .
  • Der Ring der rationalen Zahlen, die p-adisch ganz sind, für eine Primzahl
             .
    Es ist und ist dicht in .
  • Der Ring der formalen Potenzreihen in einer Unbestimmten über einem Körper .
  • Der Ring der konvergenten Potenzreihen

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 9, ISBN 0-201-00361-9