Diskriminante (Algebraische Zahlentheorie)

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In der Algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring, ein Unterring derart, dass ein freier -Modul vom Rang ist. Für heißt die Diskriminante von .

Wenn eine -Basis von darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von in erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit bezeichnet und heißt Diskriminante von über .

Eigenschaften und Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei ein Körper von Charakteristik , eine Körpererweiterung von vom Grad und die verschiedenen -Algebrenmonomorphismen von in den algebraischen Abschluss. Dann gilt für eine -Basis von :
  • Seien zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen . Dann gilt für ein Primideal das folgende: ist genau dann verzweigt, wenn gilt. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von , vgl. Dedekindring).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien ; bezeichne die die Äquivalenzklasse von in .

Somit , was der Diskriminante des Polynoms entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

Diskriminante eines Zahlkörpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei K ein Zahlkörper und OK sein Ganzheitsring. Sei b1, ..., bn eine Basis von OK als Z-Modul, und seien {σ1, ..., σn} die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n-mal-n-Matrix B deren (i,j)-Eintrag σi(bj) ist.


Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskriminante