Diskriminante (Algebraische Zahlentheorie)

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In der Algebraischen Zahlentheorie bezeichnet die Diskriminante ein Hauptideal in einem Ganzheitsring, welches eine zahlentheoretische Aussage über die Körpererweiterung zweier Zahlkörper macht.

Definition[Bearbeiten]

Sei B ein Ring, A \subseteq B ein Unterring derart, dass B ein freier A-Modul vom Rang n \; (n \in \mathbb{N}) ist. Für (x_1, x_2, \dots, x_n) \in B^n heißt D(x_1, x_2, \dots, x_n) := \det \left( \mathrm{Tr}_{B/A}(x_i \cdot x_j)_{i,j} \right) \in A die Diskriminante von (x_1, x_2, \dots, x_n).

Wenn (x_1, x_2, \dots, x_n) eine A-Basis von B darstellt, so ist die Diskriminante bis auf eine Einheit in A eindeutig bestimmt, insbesondere ist also das von D(x_1, x_2, \dots, x_n) in A erzeugte Hauptideal unabhängig von der Basiswahl. Dieses Hauptideal wird mit \mathfrak{D}_{B/A} bezeichnet und heißt Diskriminante von B über A.

Eigenschaften und Anwendung[Bearbeiten]

  • Sei K ein Körper von Charakteristik 0, L eine Körpererweiterung von K vom Grad n \; (n \in \mathbb{N}) und \sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n die n verschiedenen K-Algebrenmonomorphismen von L in den algebraischen Abschluss. Dann gilt für eine K-Basis (x_1, x_2, \dots, x_n) von L:
D(x_1, x_2, \dots, x_n) = \det\left( (\sigma_i(x_j))_{i,j} \right)^2 \neq 0
  • Seien K \subseteq L zwei Zahlkörper, mit den zugehörigen Ganzheitsringen A \subseteq B. Dann gilt für ein Primideal \mathfrak{p} \subseteq A das folgende: \mathfrak{p} \subseteq B ist genau dann verzweigt, wenn \mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{D}_{B/A} gilt. Insbesondere folgt daraus, dass es nur endlich viele verzweigte Primideale gibt (eindeutige Primzerlegung von \mathfrak{D}_{B/A}, vgl. Dedekindring).

Beispiel[Bearbeiten]

Seien  A := \mathbb{Q}, \; B := \mathbb{Q}[X]/(X^2 + bX + c), \quad b,c \in \mathbb{Q}; x bezeichne die die Äquivalenzklasse von X in B.

Somit D_{B/A}(1, x) = \det \begin{pmatrix} \mathrm{Tr}_{B/A}(1) &  \mathrm{Tr}_{B/A}(x) \\  \mathrm{Tr}_{B/A}(x) &  \mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2 & -b \\ -b & b^2-2c \end{pmatrix} = b^2 - 4c , was der Diskriminante des Polynoms X^2 + bX + c entspricht.

Zur Berechnung der dabei verwendeten Spuren:

 \mathrm{Tr}_{B/A}(1) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2
 \mathrm{Tr}_{B/A}(x) = \mathrm{Tr}_{B/A} \begin{pmatrix} 0 & -c \\ 1 & -b \end{pmatrix} = -b
 \mathrm{Tr}_{B/A}(x^2) = \mathrm{Tr}_{B/A}(-b \cdot x - c) = -b \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(x) - c \cdot \mathrm{Tr}_{B/A}(1) = b^2-2c

Diskriminante eines Zahlkörpers[Bearbeiten]

Sei K ein Zahlkörper und OK sein Ganzheitsring. Sei b1, ..., bn eine Basis von OK als Z-Modul, und seien {σ1, ..., σn} die Einbettungen von K in die komplexen Zahlen. Die Diskriminante von K ist das Quadrat der Determinante der n-mal-n-Matrix B deren (i,j)-Eintrag σi(bj) ist.

\Delta_K=\left(\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\
\sigma_2(b_1) & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\sigma_n(b_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(b_n)
\end{array}\right)\right)^2.


Siehe auch[Bearbeiten]

Diskriminante