Diskussion:Menge (Mathematik)

Bezüglich doppelten Elementen

Gleich am Anfang steht geschrieben, dass im Zusammenhang mit dem Mengenbegriff nicht danach gefragt wird, ob ein Element mehrfach enthalten ist. Meiner Meinung ist dies aber einer der essentiellsten Eigenschaften, welche durch die Mengendefinition vorgeschrieben ist. Wenn ich mich nicht irre, gibt es ja noch Multi-Mengen, falls man mehrfach vorkommende Elemente zulassen möchte. --Nagilumi 15:34, 4. Mai 2008 (CEST)

Ja die gibt es - und auch einen extra Artikel dazu. Multimengen sind aber keine Unterart von Mengen denke ich. Hier geht es ganz klar nur um "normale" Mengen. Es könnte vllt ein Verweis nach Multimengen drinstehn - und das tut er ja auch ! Es gibt hier also keine Widersprüche. Leute die sich auskennen, wissen um den Unterschied. Nicht-Mathematiker werden eher nichts von Multimengen wissen wollen. Gruß --WissensDürster 12:08, 26. Dez. 2008 (CET)

Hallo, heißt denn "es wird nicht dananch gefragt, ob ein element mehrfach vorkommt" tatsächlich das selbe wie "es kann ein element nicht mehrfach vorkommen"? -- Dichter Nebel 11:33, 13. Dez. 2009 (CET)

Hallo. Mich würden weitere Quellen interessieren, warum man in einer Menge ein Element mehrfach aufzählen sollte. Ich habe mich bislang immer an den Heuser Analysis Teil I gehalten, in dem steht "Schließlich verabreden wir noch, daß nur solche Objekte zu einer Menge M zusammengefaßt werden, die unter sich verschieden sind, daß also kein Element von M mehrfach in M auftritt." Will man Mehrfachnennungen erlauben, dann nennt man dies laut Heuser ein System. Irrt sich H. Heuser hier? --DJ14022012 21:20, 14. Feb. 2012 (CET)

Hmmm, im Artikel steht nun etwas anderes. Checkt das mal jemand?--92.203.16.223 21:59, 23. Feb. 2012 (CET)

Formal ist die Beschreibung ".. oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird." korrekt. Die Schwierigkeiten sind eher linguistischer Natur. Obige Formulierung und nachgenanntes Beispiel mit der doppelten "blau"-Nennung lassen meiner Meinung nach die Interpretation zu, dass die beiden Beispielmengen {blau, gelb, rot} und {blau, blau, gelb, rot} nur "gleich"(wertig) unter dem Definitionsrahmen eines Axiomensystems sind, jedoch nicht "Identisch".

Der Mengenbegriff ist in diesem Textabschnitt noch recht allgemeiner Natur. Das Thema "Extensionalität" und eine Abgrenzung zu "Klassen" noch nicht vorweggenommen (... was hier auch besser so bleiben soll).

Im Beispiel sollten deshalb die Gleichheitszeichen ("=") besser durch Identitätszeichen ("≡") ersetzt werden.

Didaktisch könnte die Formulierung so klar gestellt werden, dass eine Mehrfachnennung von Elementen nicht zur Erhöhung der Anzahl der Elemente in der Menge führt. Vorschlag für einen ergänzenden Satz in der Art: "Mehrfachnennungen von Elementen führen nicht zur Erhöhung der Anzahl der Elemente einer Menge."

P.S. ... mein allererster Wikipedia-Beitrag --Botichillo (Diskussion) 18:20, 28. Mai 2017 (CEST)

Ähm, also wir sollten glaube ich nicht die normale menschliche Logik außer Acht lassen. Entweder kann ein Element mehrfach in einer Menge vorhanden sein, dann muss das aber auch die "Anzahl der Elemente" erhöhen. Oder man muss präzisieren auf "Anzahl der unterschiedlichen Elemente", oder: mehrfache Einträge nicht zulassen.

Ich hab' in der Schule mal gelernt, dass es egal ist, ob eine Menge ein Element mehrfach enthält oder nur 1* - es ist dieselbe(!) Menge. Das heißt z.B. auch, dass man der Menge { 1 , 2 , 3 , 4 } das Element '4' hinzufügen kann, mit dem Ergebnis { 1 , 2 , 3 , 4 }. Sowie: Ob die Vereinigungsmenge zweier Mengen die Elemente der Schnittmenge dann doppelt/mehrfach enthält, ist genau gleichwertig zu "sie enthält die Schnittmengen-Elemente nicht mehrfach".

--arilou (Diskussion) 09:30, 29. Mai 2017 (CEST)

Bezüglich der intensionalen Definition

Wäre es nicht didaktisch geschickter, sich bei der intensionalen Definition von Mengen auf Teilmengen zu beschränken, um die Klassenproblematik zu umgehen?--Gunther 13:56, 23. Mär 2005 (CET)

für Herrn Rosenthal

Es gilt: $({\mathcal {A}}={\mathcal {B}})\Leftrightarrow (\forall x:x\in {\mathcal {A}}\Rightarrow x\in {\mathcal {B}}\wedge \forall x:x\in {\mathcal {B}}\Rightarrow x\in {\mathcal {A}})$

gegeben: ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}:\forall x\ x\notin {\mathcal {A}}\wedge \forall x\ x\notin {\mathcal {B}}$ (2 leere Mengen)

Annahme: ${\mathcal {A}}\not ={\mathcal {B}}$

$\Leftrightarrow (\exists x\ x\in {\mathcal {A}}\wedge x\notin {\mathcal {B}})\vee (\exists x\ x\in {\mathcal {B}}\wedge x\notin {\mathcal {A}})$

$\Rightarrow (\exists x\ x\in {\mathcal {A}})\vee (\exists x\ x\in {\mathcal {B}})$

$\Rightarrow$ Widerspruch zur Definition von ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$

$\Rightarrow$ Annahme falsch $\Rightarrow {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$

--Chef Diskussion 18:34, 7. Mai 2005 (CEST)

Extensionalität

Goldbach führt für meinen Geschmack viel zu weit vom Thema weg. Wenn überhaupt, dann kann so etwas in einem Abschnitt "Beispiele" als relativ kompliziertes Beispiel erwähnt werden.--Gunther 23:59, 13. Jun 2005 (CEST)

Ich gebe zu, dass der Verweis auf das "tertium non datur" hier zu weit führt und habe ihn gelöscht. Um den Unterschied zwischen intensionaler und extensionaler Beschreibung einer Menge zu erklären, ist Goldbach aber m.E. ausgezeichnet geeignet. Bringt man hier ein Trivialbeispiel, wo die Extension beider Mengenbeschreibungen gleich auf der Hand liegt, so fragt sich der Leser, was das soll. In der Tat kann man sehr viele mathematische Probleme auf die Frage reduzieren, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Goldbach ist hierfür ein schönes, einfach formulierbares Beispiel, und bei dem Link gibt es auch was Spannendes zu lesen, mit 1 Mio. Preisgeld und so... Das passt durchaus in die Intention dieses einführenden Artikels und sprengt auch seine Extensität nicht! ;-) -- Peter Steinberg 21:19, 14. Jun 2005 (CEST)

Das ist mir zu mengenbetont. Bei Goldbach geht es nicht um eine Gleichheit von Mengen, sondern um jede einzelne gerade Zahl.--Gunther 21:29, 14. Jun 2005 (CEST)

Kein Wunder, Goldbach lebte schließlich vor Cantor. Seine Vermutung hat ihn aber erheblich überdauert. Und du kannst einem Artikel über Megen schlecht vorwerfen, dass er zu "mengenbetont" ist. Du weißt, ich bin Konstruktivist, halte ZFC für ein Hirngespinst und Bourbaki für einen bedauerlichen Irrweg der Mathematik. Wenn wir aber nun einmal den Mengenbegriff zu Grunde legen - und in diesem Artikel müssen wir das unbedingt tun! - so lassen sich, ich kann es nur wiederholen, in der Tat sehr viele mathematische Probleme auf die Frage reduzieren, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind, nicht zuletzt auch die g.V. Das will ich mit dem Beispiel andeuten, und zwar auf einer Ebene, die dem Artikel angemessen ist. -- Peter Steinberg 22:37, 14. Jun 2005 (CEST)

Es geht mir um die Sichtweise auf das Goldbach-Problem, und die im Artikel dargestellte kommt mir etwas beliebig und damit eigentlich falsch vor. Die g.V. ist eine Aussage über jede einzelne gerade Zahl > 4, und natürlich kann man daraus eine Aussage über irgendwelche Mengen machen. Aber das ist in etwa so, wie wenn man behauptet, dass der Satz des Pythagoras besagt, dass die Mengen der (bei C) rechtwinkligen Dreiecke und die Menge der Dreiecke mit $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ gleich sind.--Gunther 23:38, 16. Jun 2005 (CEST)

Induktive Definition von Mengen

Diese Definition ist hier ganz unzureichend (und deshalb unverständlich) dargestellt. Sprengt eine einwandfreie Darstellung den Rahmen des Artikels? Sollen wir vielleicht nur schreiben: "Außerdem gibt es noch eine induktive Definition" mit einem Link auf einen noch zu schreibenden Artikel? - Wie wichtig ist diese Definition für Mengen überhaupt? Ihre Bedeutung liegt doch bei den zahlentheoretischen Funktionen.

Außerdem habe ich den Verdacht, dass für eine induktiv definierte Menge keineswegs immer eine intensionale Definition angegeben werden kann… -- Peter Steinberg 22:23, 14. Jun 2005 (CEST)

Ich glaube das auch nicht, schon bei den natürlichen Zahlen.

Was an der Formulierung "Sei M die kleinste Menge mit..." induktiv sein soll, ist mir nicht so ganz klar. Meistens heißt das in Wirklichkeit "Sei M der Schnitt aller Mengen mit...", und das ist direkt intensional.--Gunther 22:43, 14. Jun 2005 (CEST)

Man kann auch sagen: "M soll nur die Elemente enthalten, die sich durch diese Vorschrift ergeben". Einfachstes Beispiel:

1. Die Menge soll die 0 enthalten.
2. Mit jeder Zahl soll die Menge auch deren Nachfolger enthalten.
3. Andere Zahlen, als die, die sich aus 1. und 2. ergeben, soll die Menge nicht enthalten.

Das ist m.E. schon eine einwandfreie induktive Definition.

Naja, der dritte Punkt ist schon ziemlich schwammig. Wie willst Du das formal aufschreiben (ohne Verwendung einer Folge von Mengen, die ja die natürlichen Zahlen als Indexmenge benötigt)?--Gunther 00:12, 15. Jun 2005 (CEST)

@"Wie willst Du das formal aufschreiben…" - gar nicht. Jedenfalls nicht formaler, als es schon ist.

@"ziemlich schwammig": Das ist für mich nicht nachvollziehbar. Wo liegt das Problem?

"die sich aus 1. und 2. ergeben": mir ist nicht klar, was damit genau gemeint sein soll. Die zwei mir bekannten Interpretationen stehen schon oben (Schnitt aller solchen, oder mit einer Folge von Mengen). Was anderes meinst Du also?--Gunther 23:57, 16. Jun 2005 (CEST)

Wieso redest du die ganze Zeit von Mengen? - Es ist doch nur von einer einzigen die Rede, und 1. bis 3. legen fest, wie man ihre Elemente nach und nach herstellen kann. 3. sagt, dass nichts zu der Menge gehört, was man auf diese Art nicht erhält. Da ist nichts Unklares bei. -- Peter Steinberg 18:07, 17. Jun 2005 (CEST)

Genau die Formulierungen "nach und nach herstellen" und "auf diese Art erhält" sind unklar. Meinetwegen geht das auch ohne Mengen, indem man sagt, dass das genau die Elemente $x$ sind, so dass es eine endliche Folge $x_{0}=0,x_{1},\ldots ,x_{n}=x$, so dass $x_{i+1}$ der Nachfolger von $x_{i}$ ist, aber ohne natürliche Zahlen kommt man da offenbar auch nicht aus.--Gunther 18:17, 17. Jun 2005 (CEST)

Was heißt hier eigentlich "natürliche Zahlen"? - Das ist doch ein sehr schwammiger Begriff, solange keine induktive Definition dafür vorliegt! ;-)

Ich finde, wir sollten die Frozzelei an dieser Stelle beenden. Schließlich beruht die ganze Beweistheorie im Wesentlichen auf induktiven Definitionen, und niemand benutzt dabei Konstrukte wie "der Schnitt aller(!) Mengen mit..." Du solltest also zugeben, dass es diese Art der Definition im Rahmen der exakten Mathematik gibt. Dafür gebe ich auch gerne zu, dass es sehr wichtige Mengen gibt (zum Besipiel die Menge der reellen Zahlen), die sich nicht auf diese Art definieren lassen.

Darüber, dass Wuzel sich irrt sind wir uns doch nach wie vor einig? -- Peter Steinberg 00:14, 19. Jun 2005 (CEST)

Was Du mit Beweistheorie meinst, ist mir nicht klar, aber die übliche Definition der Menge der natürlichen Zahlen (siehe ZFC) ist der Schnitt aller Mengen, die 1. und 2. oben erfüllen. Und jede andere mir bekannte Präzisierung der "schrittweisen Konstruktion" einer Menge benötigt den Begriff der natürlichen Zahl, ist also zur Definition der Menge der natürlichen Zahlen ungeeignet. Das hat mit Frotzeleien nichts zu tun.--Gunther 00:32, 19. Jun 2005 (CEST)

Mit Beweistheorie meine ich Beweistheorie, habe aber die Links in diesem Lemma noch nicht auf ihre Sinnhaftigkeit überprüfen können. -- Peter Steinberg 02:31, 19. Jun 2005 (CEST)

Induktive Definition und intensionale Schreibweise

@Wuzel: Woher nimmst du die Behauptung, dass eine induktive Definition sich immer in eine intentionale Beschreibungen übersetzen lässt? - Mir scheint es eher charakteristisch für diese Art der Definition zu sein, dass eine "geschlossene Darstellung" mitunter nicht gelingt. Schließlich habe ich gelernt, dass nicht jede abzählbare Menge auch aufzählbar ist. -- Peter Steinberg 00:14, 19. Jun 2005 (CEST)

Wuzel antwortet: Bevor ich einen formalen Beweis loslasse, den ohnehin keiner lesen will, gebe ich zwei Beispiele:

1. Die Menge N der natürlichen Zahlen kann man induktiv definieren, man kann aber auch sagen, dass N die Menge aller jenen x sind, die in jeder induktiven Menge liegen. Dies ist eine intentionale Definition (also von der Form {x: x hat Eigenschaft E}), wenn auch keine praktische. (Eine "induktive" Menge ist hier definiert als eine Menge, die 0 enthält, und mit jeder Zahl n auch n+1.)
2. Die Menge der Terme lässt sich als die Menge aller jener y definieren, die als letztes Element in einer Termfolge auftreten; hier sei eine Termfolge definiert als eine endliche Folge von Objekten (also eine auf einem Anfangsabsschnitt von N definierten Funktion), in der jedes Objekt sich aus "vorigen" zusammensetzt. (Der Einfachkeit halber verzichte ich auf eine Präzisierung, kann das aber noch nachholen. Gerade sehe ich, dass Gunther vor ein paar Stunden ähnliches geschrieben hat. )

Natürlich kann man behaupten, dass diese Definitionen "in Wirklichkeit" induktive Definitionen sind; ich würde sagen, dass die hier gegebenen "intensionalen" Beschreibungen Umschreibungen von induktiven Definitionen sind, so wie {x: x=a oder x=b} eine (komplizierte) Umschreibung für die aufzählende Definition {a,b} ist. Mir geht es nur darum dass sich prinzipiell jede Mengendefinition intensional umformulieren lässt. -- Wuzel 18:44, 20. Jun 2005 (CEST)

Was ist denn genau eine induktive Definition? Was hat das mit geschlossener Darstellung und Aufzählbarkeit zu tun?--Gunther 00:35, 19. Jun 2005 (CEST)

Eine induktive Definition (oder, synonym, "rekursive Definition") ist in der Mathematik eine ziemlich gängige Methode, Begriffe zu definieren, die dafür geeignet sind: Man nennt (1.) die einfachen Beispiele für diesen Begriff und erklärt (2.) wie aus vorhandenen Beispielen weitere gebildet werden können. Wenn man gewissenhaft ist, ergänzt man noch, dass (3.) Weiteres nicht mehr hinzu kommt. Das ist aber eigentlich überflüssig, wenn man die Sachen schon als induktive Definition gekennzeichnet hat.
Beispiel: Terme: (1.) Jede Zahl ist ein Term; jede Zahlvariable ist ein Term. (2.) Sind A und B Terme, so sind auch (A+B), (A-B), (A*B) und (A:B) Terme (und viellicht noch ein paar anderen, je nachdem, was für den gegebenen Zweck gebraucht wird, z.B. (-A) oder so.) (3.) Was es sonst noch auf der Welt gibt, ist kein Term.
Das ist, wie gesagt, Standard. Ehrlich gesagt weiß ich gar nicht, wie sonst der Termbegriff mit vertretbarem Auswand zu definieren wäre.

Diese Art zu definieren, ist konstituierend, wenn es um formale Systeme geht. Sowohl der Begriff der wohlgebildeten Formel (wff) wie auch der ableitbaren Formel, wie auch der Herleitungsbegriff werden induktiv (oder rekursiv) gebildet. Es handelt sich sich eine der finiten Methoden, die von jedem Standpunkt aus als unbedenklich angesehen werden.

Selbstverständlich lassen sich auch die natürlichen Zahlen in dieser Art definieren, und das ist es, was Konstruktivisten als Grundlegung der Zahlentheorie tun. Ich habe bisher noch nie gehört, dass Bedenken geben die Stringenz einer solchen Definition geäußert werden. Die Einwände der klassischen Mathematik gegen diesen Ansatz sind folgende:

• Die angewandte Methode sei nicht leistungsfähig genug, weil wichtige Mengen, wie etwa die Menge der reellen Zahlen, sich nicht induktiv definieren lassen (was unbestreibar richtig ist).

Auf dieses Argument antworten die Konstruktivisten mit der Entwicklung einer Konstruktive Analysis, von der sie behaupten, dass sie auch alles leistet, was in der Praxis nötig oder auch nur wünschenswert sein könne.

• Dieser ganze Aufwand sei nicht nötig, weil es ja die Axiome gebe, die sich tausendfach bewährt haben.

Darauf antworten die Konstruktivisten etwas verbissen, dass, wer sich dieser Mühe nicht unterziehe, den Anspruch aufgegeben habe, zu verstehen, was er tue.

Mengen, für die es eine induktive Definition gibt, heißen aufzählbar (synonym: rekursiv aufzählbar).

Ich bin mir sicher, dass nicht alle abzählbaren Mengen auch aufzählbar sind, habe aber, außer dem bei wikipedia in Aufzählbarkeit gegebenen Hinweis, einen geeigneten Beleg dafür noch nicht gefunden.
"Geschlossen darstellbar" benutze ich synomym zu "intentional darstellbar", also etwas schwammig. Die erlaubten sprachlichen Mittel müssten eigentlich benannt und eingegrenzt werden.
-- Peter Steinberg 00:48, 20. Jun 2005 (CEST)

In der klassischen Mathematik gibt es natürlich abzählbare Mengen, die nicht aufzählbar sind, man erhält sie mit Cantors Diagonalisierungsargument.  :::In der Rekursionstheorie kann man auch leicht Teilmengen der natürlichen Zahlen "explizit" angeben, die nicht rekursiv aufzählbar sind; es gibt sogar rekursiv aufzählbare Mengen, deren Komplement nicht aufzählbar ist. Zum Beispiel ist die Menge aller lösbaren diophantischen Gleichungen (mit irgend einer natürlichen Codierung) rekursiv aufzählbar, ihr Komplement aber nicht. -- Wuzel 18:44, 20. Jun 2005 (CEST)

Fragen:

• (A) Kann man nicht jede induktive Definition mithilfe der natürlichen Zahlen wie folgt in eine intensionale umwandeln?

"Menge aller x, so dass es eine endliche Folge $x_{0},\ldots ,x_{n}=x$ gibt, so dass $x_{0}$ "einfach" ist und $x_{i+1}$ nach den zulässigen Regeln aus $x_{i}$ entsteht"

• (B) Kann man die natürlichen Zahlen induktiv innerhalb von ZFC definieren? (Also induktiver als wie in ZFC angedeutet.) Ich denke nein, also wenn ja, wie?

Noch ein kleiner technischer Punkt: Man sollte sich bei der intensionalen Schreibweise vielleicht auf $\{x\in X\mid A(x)\}$ statt $\{x\mid A(x)\}$ beschränken.--Gunther 01:26, 20. Jun 2005 (CEST)

@(A). Ja, ich gebe zu, man kann. Da wir hier seitenlang über "intensionale Darstellung" reden, ohne und darüber zu verständigt zu haben, was das genau bedeutet, kann man natürlich alles. Ich habe gemeint, "intensional" habe etwas mit "Intention" zu tun, sei also eine Darstellung, die die Absicht des Schreibers erkennen lässt. Das lässt sich offensichtlich nicht hinreichend präzisieren. ("Geschlossene Darstellung" und "Aufzählbarkeit" waren Sackgassen.) Wenn "intensional" nur bedeutet, dass die Form $\{x\mid A(x)\}$ gegeben ist, ohne irgendwelche Einschränkungen für die Ausdruckmöglichkeiten der Sprache, in der A formuliert ist, dann ist natürlich alles intensional, und Wuzels Umformulierung ist berechtigt.

@(B). Nein, warum sollte man auch? ZFC enthält eine Definition der natürlichen Zahlen, wozu innerhalb von ZFC noch eine andere? Aber man braucht kein ZFC, um über natürliche Zahlen zu reden. Das wäre in der Regel mit Kanonen auf Spatzen geschossen.

@ "kleiner technischer Punkt": Das große X mach m.E. die Sache nicht lesbarer und auch nicht wirklich präziser. Im Einzelfall sollte man, bevor man eine Variable verwendet, geklärt haben, wofür sie steht. In den Beispielen des Artikels ist diese Klärung in die Aussage A(x) "hineinformuliert". Wenn wir hier statt "{ x | …" immer "{ x ∈ N | …" schreiben, verwirrt das nur.

-- Peter Steinberg 21:27, 20. Jun 2005 (CEST)

(B) Das ist unser altes Problem. Ich rede nicht über absolute ideale natürliche Zahlen ;-), sondern nur über natürliche Zahlen in ZFC.

Technischer Punkt: ZFC erlaubt nur die Form $\{x\in X\mid A(x)\}$ (Aussonderungsaxiom), und jede andere Mengenlehre muss auch irgendwelche Vorkehrungen treffen, um die Bildung der Menge $\{x\mid x\notin x\}$ zu verbieten.--Gunther 21:33, 20. Jun 2005 (CEST)

(B): Natürlich ist das unser altes Problem; irgendwann werde ich dir mal nachweisen, dass du Aussagen über ZFC machst, und dich durchaus nicht in ZFC bewegst. Wie kannst du dann aber überhaupt reden, ohne natürliche Zahlen? (Sie müssen ja nicht "absolut ideal" sein, sondern einfach rekursiv erklärt...)

"techn.Pkt.": Zweifellos muss sie das jede Mengenlehre (außer der "naiven"), aber nicht in diesem harmlosen einführenden Artikel.

Ich möchte die Diskussion hier eigentlich gerne beenden und mich einer Überarbeitung von Mengenlehre zuwenden. Der Formelfriedhof dort ist erschreckend, die Strukturierung fragwürdig, und zur Geschichte lassen sich auch noch ein paar Worte mehr sagen. Sicher wirst du diese Arbeit kritisch begleiten. - Schön wäre es übrigens auch, wenn der Link auf Kategorientheorie, der dort sicher unverzichtbar ist, etwas Erhellendes zu Tage brächte... -- Peter Steinberg 22:34, 20. Jun 2005 (CEST)

Aus meiner Sicht spricht auch nichts gegen ein Ende der Diskussion. Gleich eine Vorbemerkung zu Mengenlehre: Ich fände es extrem wünschenswert, wenn die Lemmata tatsächlich zu den Artikel passen würden, d.h. dass Mengenlehre tatsächlich das Gebiet behandelt und nicht den Formelwust, den man ja z.B. nach Konstruktionen der Mengenlehre oder so ähnlich auslagern könnte. Ich habe das Gefühl, das sei schonmal irgendwo diskutiert worden, finde aber gerade nichts.--Gunther 22:50, 20. Jun 2005 (CEST)

Für und an Gunther -- In Betreff: Definition von Mengen

"Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht "nichts", sondern ein Behältnis, das nichts enthält." Eine andere Veranschaulichung: Eine leere Kreislinie umschließt nichts. Damit sie aber eine leere Kreislinie genannt werden kann, muß ihr Äußeres und ihr Inneres unterschieden werden. Eine leere Kreislinie beschreibt also ihr Inneres und ihr Äußeres. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Das hast Du leichtsinnigerweise gelöscht.

Ich habe das gelöscht, weil es absolut unverständlich ist. Eine Kreislinie ist die Menge aller Punkte der/einer Ebene, die von einem gewählten Punkt einen gewählten (positiven) Abstand haben. Die einzige mir bekannte Bedeutung von "leer", die ich darauf anwenden könnte, wäre die, dass sie als Menge leer ist, z.B. $\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=3\}\subseteq \mathbb {Q} ^{2}$. Diese "leere Kreislinie" hat aber auch kein Inneres und Äußeres in einem mir bekannten Sinn. (Sie ist ja sogar gleich jeder anderen "leeren Kreislinie".) Wie man "Inneres" und "von der Kreislinie umschlossen" definieren will, so dass sich für eine Kreislinie unterschiedliche Mengen ergeben, ist mir ohnehin unklar.--Gunther 13:07, 14. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht wird mein Vergleich klarer, wenn Du Dir den leeren Dedekindschen Sack als Kugelsphäre vorstellst und diese Kugelsphäre in den 2D projizierst, dann kommt genau meine Aussage dabei heraus. Kürzer: Die Null umschließt nichts, damit sie aber als solche erkannt werden kann, muß etwas Größeres und etwas Kleineres von Null unterschieden werden können. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) PS: Also läuft alles offenkundig auf den "Unterschied" (die "Unterscheidbarkeit") von Wahrnehmungen hinaus (ganz unabhängig vom Begriff der "Zahl"), wie ich an anderer Stelle zu erklären versucht habe.

Antwort: Ich sehe nicht, in welcher Weise das Beispiel mit der leeren Kreislinie zum Verständnis des Konzeptes Menge beiträgt. Deshalb bin ich dafür, dass es nicht in den Artikel aufgenommen wird. --Squizzz 19:42, 19. Sep 2005 (CEST)

Jedes Auge hat seinen blinden Fleck. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Goldbachsche Vermutung

Derzeit steht im Artikel:

Es ist teilweise schwer festzustellen, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Beispielsweise ist Goldbachsche Vermutung weder bewiesen noch wiederlegt. Es wird vermutet, dass die Mengen

G := { x | x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2}

G* := { x | x lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen}

gleich sind.

So kann man das nicht stehen lassen, denn aus $5\notin G$ und $2+3=5\in G^{*}$ folgt $G\neq G^{*}$. --Fomafix 09:41, 10. Mär 2006 (CET)

Antwort: Du hast recht. Ich werden dann allerdings den Hinweis auf die Vermutung komplett entfernen, da sie dann kein Beipiel für das geschilderte Problem ist. --Squizzz 11:06, 10. Mär 2006 (CET)

Veranschaulichung falsch?

"Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht "nichts", sondern ein Behältnis, das nichts enthält."

Afaik ist das falsch.

Die "leere Menge" ist tatsächlich "nichts", die "Menge mit der leeren Menge" ein "leerer Sack".

Es gibt ja den Scherz: "Was ist besser: Ein belegtes Brötchen oder ewige Glückseeligkeit? Ein belegtes Brötchen, denn: Nichts ist besser als ewige Glückseeligkeit, aber ein belegtes Brötchen ist besser als nichts". Hier wird die "leere Menge", nämlich "ein belegtes Brötchen ist besser als nichts" mit der "Menge mit der leeren Menge" d. h. "nichts ist besser als ewige Glückseeligkeit" vertauscht.

Hab' aber erstmal nichts am Artikel geändert, bin nur Erstsemestler Mathe. Bitte aber um Feedback!

Antwort: Die Veranschaulichung widerspricht nicht dem Verständnis der leeren Menge. Da es nur eine Veranschaulichung (Modell) :ist, kann sie nicht richtig oder falsch sein. Aber vielleicht hilft dir folgende Klarstellung weiter:

Ein leerer Sack : $\{\}=\varnothing$

Ein Sack mit der leeren Menge = Menge mit der leeren Menge: $\{\{\}\}=\{\varnothing \}\neq \varnothing$

--Squizzz 15:30, 10. Apr 2006 (CEST)

Englisch: Set

Wieso wird eigentlich auf die [Menge] verwiesen und nicht erwähnt, dass es englisch Set heisst?

(nicht signierter Beitrag von 82.135.30.10 (Diskussion) 06:20, 20. Mai 2006)

Weil die Wikipedia eine Enzyklopädie und kein Wörterbuch ist. Ansonsten befinden sich links Links zu anderssprachigen Seiten die dann auch die entsprechenden Übersetzungen des Wortes Menge beinhalten. --Squizzz 09:25, 20. Mai 2006 (CEST)

Tatsächlich handelt es sich allerdings um einen der gar nicht einmal so vielen Begriffe in der Mathematik, bei denen das unintuitiv ist. Allerdings waren Cantor, Klein, Hilbert, Zermelo und, bis man ihn vertrieben hat, auch Fraenkel sämtlich Deutsche sowie Gödel Österreicher. Historisch ist "Menge" also ganz objektiv wichtiger als das englische "set".--2001:A61:20C6:901:5033:6B41:6DF1:35AC 22:53, 12. Okt. 2016 (CEST)

Überschneidung mit Artikel Mengenlehre

Mir ist gerade aufgefallen, dass sich der Artikel Menge (Mathematik) bei den Operationen mit dem Artikel Mengenlehre überschneidet. Wäre es nciht besser das sauber in einem Artikel darzustellen und im Anderen nur zu verweisen? --Cepheiden 22:44, 29. Mai 2006 (CEST)

1. Alle Begriffe der Mengenlehre unter dem Lemma Mengenlehre zu vereinigen, hieße die Wikipedia von einer alphabetischen in eine systematische Enzyklopädie umzuwandeln (alle Tiere zu Biologie). In einer alphabetischen Enzyklopädie ist weitgehende Redundanz zwischen dem zentralen Begriff Menge der Mengenlehre und dem Lemma Mengenlehre unvermeidbar. 2. Mengen sind aber auch ein zentraler Begriff in der Statistik (z.B. Der Median ist der Wert (die Größe) des Elements der Gesamtmenge, das die Menge nach Größe des verglichenen Wertes in zwei geich große Hälften teilt. Also vom Median aus betrachtet ist der verglichene Wert (z.B. Nettovermögen von Personen) der einen Hälfte der Menge größer, die andere Hälfte der Menge kleiner als der Median). 3. Auch weite Teile der traditionellen und modernen Logik beschäftigen sich mit Mengen und deren Bildung, Definition und Eigenschaften (Allquantor, Existenzquantor, etc. Aussagen wie: Es existiert ein Elementarteilen mit der Eigenschaft X und Y. Alle Schwäne sind weiß. Alle Kreter ....) Claus Ableiter (Diskussion) 16:01, 21. Apr. 2013 (CEST)

Eigener Artikel: Teilmenge

Es existiert ein gesonderter, ausführlicher Artikel Teilmenge, aber wie verlinkt man den hier am sinnvollsten? Ich habe ihn erst Mal unter "Siehe auch" gesetzt, denke aber, der Link sollte im passenden Abschnitt auftauchen und auch nicht lediglich durch Verlinkung des ersten Auftretens von "Teilmenge". ardik 00:07, 21. Okt. 2006 (CEST)

Habe mir jetzt andere Fälle zum Vorbild genommen und stattdessen einen Hauptartikel...-Verweis unter die Zwischenüberschrift gesetzt. ardik 02:54, 21. Okt. 2006 (CEST)

Mengenbeziehungen: Es fehlt Vereinigung und Differenz

Es wäre doch sinnvoll diese beiden noch aufzunehmen.

Vereinigung:

A = { 0,1 } B = { 1,2,3 }

A u B = { 0,1,2,3 }

Differenz:

A \ B = { 0 }

k00ni 09:51, 22. Okt. 2007 (CEST)

Gerade gesehen, dass es die Vereinigung schon gibt. Aber das Komplement nicht. k00ni 09:53, 22. Okt. 2007 (CEST)

Gerade gerätzelt wie man Differenzmenge ncoh ausdrücken kann, Antwort ist: "A \ B = A genschnitten B^c". Jetzt nicht die Zeit, von daher als Notiz; wenn ich dran denke mach ichs selbst, sonst auch gern wer Anders. --Wasp-edia 22:59, 23. Jul. 2009 (CEST)

Formulierung von Cantor selbst

Wäre es nicht besser, die Formulierung von Cantor selbst einzubauen -
"Unter einer Mannigfaltigkeit oder Menge verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken läßt, d.h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem ganzen verbunden werden kann, und ich glaube hiermit etwas zu definieren, was verwandt ist mit dem Platonischen 'eidos' oder 'idea'."
wobei man z.B. den Begriff Mannigfaltigkeit "rauspunktet".
Es wäre doch sinnvoll von verschiedenen hervorragenden Mathematikern/Mathematikphilosophen knappe Definitionen, was eine Menge ausmacht, aufzunehmen. Damit wird auch klarer, dass dieser fundamentale Begriff schwerer wirklich zu fassen ist, als die darauf aufbauenden (weil man dort Mengen meistens einfach voraussetzt und so die Schwierigkeit umgeht - dann lässt es sich leicht exakt definieren). Christian Storm 16:24, 6. Okt. 2008 (CEST)

Wenndann würde ich das "Mannigfaltigkeit oder" durch "[...]" ersetzen und historischen Abhandlungen vorbehalten. Eine Mannigfaltigkeit ist heute etwas anderes.--2001:A61:20C6:901:5033:6B41:6DF1:35AC 22:54, 12. Okt. 2016 (CEST)

Teilmengen

Ich bin zwar kein Mengenfachmann, glaube aber, im Abschnitt Teilmengen einen Fehler gefunden zu haben. Es wird gesagt:
"Wenn alle Elemente in einer Menge A auch in einer zweiten Menge B enthalten sind, so nennt man Menge A eine Teilmenge von Menge B."
Gut - und weiter:
"Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A."
Hier liegt m.E. der Fehler: Die Menge B muss mindestens 1 Element mehr enthalten als die Menge A, denn andernfalls - also wenn sie gleichviel enthielte - wäre B ⊂ A und A ⊂ B, die Mengen wären identisch. Aus der Extensionalität folgt, dass es dann nur eine Menge (mit den Elementen von A oder denen von B) gibt. Lösung: "Die Menge B enthält dann mindestens ein Element mehr, als die Menge A."? -- Lypô 12:23, 17. Jan. 2010 (CET)

gudn tach!

des raetsels loesung ist ganz einfach: A ist teilmenge von A. um das auszuschliessen, spricht man von "echten" teilmengen. steht aber auch schon im artikel im abschnitt Menge_(Mathematik)#Teilmenge. -- seth 13:41, 17. Jan. 2010 (CET)

Was genau ist eine Menge? Wo stehts?!

Ich kann in dem gesamten Artikel keine klare Definition des Mengenbegriffs finden. Unter Begriff und Notation von Mengen steht bloß eine veraltete (die naive) Auffassung und eine Veranschaulichung nebst Notations-Beispiel. Da hilft mir ein Verweis auf ZFC- und NBG-Axiome auch nicht; inbesondere, wenn an der Stelle kein konzeptioneller Zusammenhang zwischen Mengenlehre und Logik hergestellt wird. -- 141.89.75.10 00:02, 15. Jul. 2010 (CEST)

Der Mengenbegriff ist in anderen Artikeln sehr viel besser erarbeitet und historisch besser belegt mit Zitaten und Referenzen. Auch Cantors Standpunkt, der hier im Artikel als "naiv" bezeichnet wird, ist in Wirklichkeit nicht naiv. Man beachte die Artikel Mengenlehre und Cantorsche Antinomie und naive Mengenlehre, die das zur Sprache bringen. Es ist daher unbedingt eine Abstimmung auf diese besseren Artikel nötig.--Wilfried Neumaier 11:11, 29. Jul. 2010 (CEST)

gelöschter Abschnitt

Für die Nachwelt hierhin verschoben, kann vielleicht sonstwo eingebaut werden, aber nicht so unvermittelt in einem Grundartikel über Mengen im Allgemeinen:

Trennbarkeit

Mengen lassen sich nach der Stärke der Trennung einteilen Es seien $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Die Mengen $A\$ und $B\$ heißen

trennbar,

wenn $\exists 0\neq a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} :\forall x\in A:a^{T}x\leq b\land \forall y\in B:a^{T}y\geq b$

eigentlich trennbar,

wenn $A\$ und $B\$ trennbar sind und außerdem gilt: $\exists {\tilde {x}}\in A:a^{T}{\tilde {x}}<b$

stark trennbar,

wenn $\exists 0\neq a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} :\sup _{x\in A}a^{T}x<b<\inf _{y\in B}a^{T}y$

Trennungsarten von Mengen

Nicht entscheidbare Mengen

Man teile die Mengen in zwei Gruppen: 1) Mengen, welche sich selbst enthalten. 2) Mengen, welche sich nicht selbst enthalten.

Man bilde nun eine Menge, welche alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Gehört diese Menge zur Gruppe (1) oder zur Gruppe (2) ? (nicht signierter Beitrag von 194.138.39.61 (Diskussion) 12:53, 9. Feb. 2011 (CET))

Das ist doch hier behandelt Russellsche Antinomie--92.203.16.223 22:02, 23. Feb. 2012 (CET)

Priorisierung ohne Klammern

Hallo, Ich habe hier eine Matheaufgabe: $D_{2}=(-2,2)\cup \mathbb {R} \setminus [-3,3]$. Jetzt weiss ich nicht, in welcher Reihenfolge ich die Operationen ausfuehren muesste, nach dem Motto, "Punkt vor Strich" bei Mengen. Wenn das jemand weiss, kann das jemand in den Artikel schreiben? Danke. --78.54.108.69 14:01, 5. Mär. 2011 (CET)

Intuitiv: das "ohne" zuerst. Normal setzt man aber ganz einfach die Klammern. Nur das Komplement, wenn es auch so heißt, d. h. mit dem Strich drüber, kommt immer zuerst und wird auch üblicherweise nicht geklammert.--2001:A61:20C6:901:5033:6B41:6DF1:35AC 22:57, 12. Okt. 2016 (CEST)

Überschneidung mit Mengenlehre

Aufgrund der offensichtlichen Überschneidungen habe ich den Baustein gesetzt. Vielleicht habe ich demnächst etwas Zeit, daran zu arbeiten. -- Fanofimpressionism 18:25, 13. Aug. 2011 (CEST)

Was steht denn da unter "Schnittmenge" für ein Wunderium?

Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von U ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von U enthalten sind.

Wer zeichnet für diesen Schwachfug verantwortlich?

Ich lass das so stehen, weil das hier eh niemand übernimmt, was ich korrigieren würde. (nicht signierter Beitrag von 88.69.147.146 (Diskussion) 19:43, 21. Feb. 2013 (CET))

Bei vorhandener oder vermeintlicher Kompetenz machen Sie doch mal einen Vorschlag. Leider sind (nicht nur) Mathematiker, aber die im Besonderen, oft sprachlich unterbelichtet. Wenn sich zwei Mengen überschneiden, nennt man das im Deutschen eine Überschneidungemenge. Hierfür den gleichen Begriff wie Normaldeutsch "Durchschnitt" zu verwenden, was etwas völlig anderes ist und jeder Muttersprachler deswegen missversteht, ist schon bemerkenswert. HJJHolm (Diskussion) 09:46, 5. Jan. 2014 (CET)

„Überschneidungsmenge“ ist sehr ungebräuchlich. Die „richtige“, am häufigsten verwendete Bezeichnung „Schnittmenge“ wird inzwischen auch in der Umgangssprache verwendet (z.B. Politik). Mitunter wird auch „Durchschnitt“ verwendet, aber dabei besteht die Gefahr, es mit dem arithmetischen Mittel zu verwechseln. -- HilberTraum (Diskussion) 10:13, 5. Jan. 2014 (CET)

Bitte lesen Sie noch einmal meine Argumente. Niemand bestreitet, dass "Schnittmenge" "gebräuchlich" ist, aber da sträuben sich einem kompetenten deutschen Muttersprachler die Haare, eben genau wegen der Überschneidung (das ist übrigens auch die korrekte Übersetzung von engl. overlapping, fachsprachlich tt. intersection) mit dem arithmetischen Mittel (engl. average, fachsprachlich arithmetic mean), das ist bekanntermaßen ein gewisser Unterschied, den man im Deutschen so ausdrückt, wie ich es beschrieben habe. Und im Deutschen unterbelichteten Mathematikprofs muss man nicht alles nachplappern, von Journalisten ganz zu schweigen. HJJHolm (Diskussion) 16:25, 7. Jan. 2014 (CET)

In welcher Sprachsituation sollten denn „Schnittmenge“ und „arithmetisches Mittel“ miteinander verwechselt werden können? Davon abgesehen ist die Sprache, auch in der Mathematik, voller Begriffe, die je nach Zusammenhang unterschiedliche Bedeutung haben. In eigenen Publikationen kann man sicherlich eigene Begriffe einführen, aber das hier ist ja eine Enzyklopädie, das heißt, wir müssen so schreiben, wie alle unterbelichteten Professoren es tun. -- HilberTraum (Diskussion) 18:06, 7. Jan. 2014 (CET)

Wir "müssen" überhaupt nicht. Gerade in einer Enzyklopädie haben wir uns so auszudrücken, dass es ein nicht fachlich vorbelasteter Leser nach Möglichkeit sofort richtig versteht, der fach-(ggf. fremd-)sprachliche Ausdruck gehört nach wiki-Regeln in Klammern dahinter. Ähnlich verfahren wir z.B. bei der La-Tène-Zeit (Duden), fachsprachlich (falsch) Latènezeit. Man muss sprachliche Inkompetenz nicht durch Ausschalten des eigenen Denkvermögens zementieren. HJJHolm (Diskussion) 18:10, 10. Jan. 2014 (CET)

Extensionalität, Intensionalität

Kann es sein, dass die Abschnitte "Gleichheit" und "Extensionalität" das Gleiche beschreiben? Das sollte man irgendwie zusammenführen. Außerdem wird die intensionale Schreibweise benutzt, bevor sie erklärt wird. -- HilberTraum (Diskussion) 20:47, 22. Apr. 2013 (CEST)

Graphiken

Da es sich bei A und B um VERSCHIEDENE Mengen handelt, MÜSSEN sie auch verschieden Farben erhalten. Bei einer gemeinsamen Farbe, wie derzeit rot, wird nicht klar, ob der Überschneidungsanteil doppelt gezählt ( A+B) wird oder eben nur A + B ohne A. Oder hat sich der Bearbeiter das nicht getraut, WEIL ihm das nicht klar war?? Nachtrag: Ein gutes Beispiel findet sich in der pl.wikipedia für B\A. So ist es richtig! 195.4.79.160 15:27, 14. Jan. 2014 (CET)

Hmm, ich weiß nicht so recht, ob nicht mehr Farben auch mehr Verwirrung bedeuten könnten. Momentan sind ja die Mengen A und B ja gar nicht farblich gekennzeichnet und nur das Ergebnis der Operation ist rot hervorgehoben. Ich wüsste bei Vereinigung und Schnittmenge auch gar nicht recht, wie man das farblich einheitlich lösen könnte. Hast du einen Vorschlag? -- HilberTraum (Diskussion) 15:48, 14. Jan. 2014 (CET)

Die farbliche Gestaltung würde ich als OK bezeichnen, da die Elemente ja durch die Lage der Bildpunkte "wohlunterschieden" sind und der Fokus auf der Ergebnismenge der Operation bleibt. Wichtiger fände ich es jedoch, wenn die Mengenkreise unterschiedlich groß wären. Speziell die Grafik zur "Symmetrische Differenz" ist etwas zu symetrisch für meine Verhältnisse. Das könnte leicht mit der Symetrie in der Geometrie verwechselt werden.--Botichillo (Diskussion) 22:01, 28. Mai 2017 (CEST)

Beispiele und Exemple bzw. 1. Bild

Das 1. Bild dieses Artikels zeigt eine Menge mit 4. verschiedene Elementen. 3 Musikinstrumente und 1 Spielkarte. Ausserhalb der Menge noch 2 andere Elemente. Das ist ein doch erheblich abstraktes und wenig anschauliches Beispiel. Sinmple und einfach nachvollziebar wäre z.B. die Elemente der Menge als alles Musikinstrumente anzugeben, oder alles als Elemente von Saiteninstrumenten der Musik. Wieso kompliziert und umständlich, wenn es auch einfach geht???? Gruss --93.184.26.78 00:27, 6. Okt. 2014 (CEST)

Was du vorschlägst, könnte dazu verleiten, es wären alle Saiteninstrumente gemeint (weltweit, in allen Zeiten, ...). Es soll hier aber nur um die Handvoll konkreter Gegenstände gehen. Das Kennzeichen "liegt innerhelb der Linie" ist schon ein sehr eindeutig kennzeichnendes und m.E. weniger abstrakt als "wenn man den Gegenstand geeignet verwendet, kommen Töne heraus, die viele Leute als angenehm empfinden"--Hagman (Diskussion) 16:26, 7. Okt. 2014 (CEST)

Definition ist natürlich axiomatisch

Im ersten Abschnitt des Artikels (Begriff und Notation) stand:

Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert.

und gleich danach

Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (oder: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen.

und man braucht kein Fachmann zu sein um zu sehen, dass das ein Widerspruch, also Unsinn ist. Ich ändere das einmal schnellstens!

--Heinrich Puschmann (Diskussion) 23:01, 15. Sep. 2017 (CEST)

Lieber @Heinrich Puschmann: ich sehe das nicht ganz so. Mit Definition ist wohl eine dem definierten Objekt (logisch) äquivalente (explizite) Formulierung gemeint. Die Vorgehensweise über Axiome beschreibt eher implizit, was man mit dem Objekt alles tun kann. Damit ist man manchmal zufrieden, insbesondere dann, wenn das Objekt etwas ganz Grundlegendes ist, wo man auf nichts zurückgreifen kann und man nicht in unendliche Rekursionen laufen möchte. Für einen Nicht-Fachmann ist das vllt Haarspalterei. --Nomen4Omen (Diskussion) 23:35, 15. Sep. 2017 (CEST)
PS: Andererseits wird der Begriff Axiom (auch von „Fachleuten“) nicht selten inflationär verwendet. Insofern ist die Kritik an dem Satz "sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert" berechtigt.

Der ganze Abschnitt ist nicht besonders gut. Allerdings ist deine Veränderung eine Verschlechterung. Es waren eher die Begründer, die so etwas wie eine Def versucht haben zu formulieren. Das, was du aus nicht-fachlicher Sicht als Widerspruch ansiehst, ist aus fachlicher Sicht keiner: Gereade weil die Mathematik auf diesen Begriffen beruht, lassen sie sich nicht definieren. Es kann eben nicht alles definiert werden, das hat wenn ich mich nicht täusche schon Aristoteles gesagt. --Frogfol (Diskussion) 16:21, 19. Sep. 2017 (CEST)

@Heinrich Puschmann:Allerdings sollte dieser Artikel so geschrieben werden, dass ihn gerade Laien verstehen können und nicht verwirrt werden. Ich versuche mich mal demnächst an einer Formulierung, die weniger vage und möglicherweise deinen Einwänden Rechnung trägt.--Frogfol (Diskussion) 17:15, 19. Sep. 2017 (CEST)

Axiome haben in der Mathematik zwei verschiedene Zwecke:

• Ursprünglich waren es Aussagen, hinter die man nicht mehr zurückkonnte, weil man irgendwo anfangen muss. Die Struktur ist bekannt (z.B. die natürlichen Zahlen), jeder kennt ihre Eigenschaften und kann mit ihnen umgehen, aber irgendwo muss man aufschreiben, welche Gesetzmäßigkeiten gelten, damit man Beweise führen kann. Die Peano-Axiome oder Axiome der Mengenlehre haben weitgehend diese Charakteristik.
• Später hat man den Spieß umgedreht: die Axiome beschreiben nicht mehr eine bestimmte Struktur, sondern alle Strukturen, die ihnen gehorchen, die Modelle der Theorie. Die Gruppenaxiome beschreiben nicht etwas Bestimmtes wie die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen (sogar kategorisch, dafür aber nicht erster Stufe), vielmehr ist alles eine Gruppe, was die Gruppenaxiome erfüllt. Im Grunde könnte man jedes widerspruchsfreie Axiomensystem zu einer Theorie ernennen – man tut es aber nur für solche, bei denen man interessante Modelle im Kopf hat.

Insofern heißt "durch Axiome definiert" in beiden Fällen etwas Verschiedenes. In der Schule haben wir rund um die 8./9.Klasse Geometrie getrieben und dabei Sätze aus Axiomen hergeleitet. Die waren eher von der ersten Sorte. --Lantani (Diskussion) 20:07, 19. Sep. 2017 (CEST)

(kleine Verbesserungen direkt eingebaut) --Lantani (Diskussion) 18:07, 20. Sep. 2017 (CEST)

Löschung des Abschnittes Mengen in der Logik

Im ersten Absatz standen nur komplett falsche Dinge, bei Nachfrage gehe ich genauer drauf ein. Der zweite Absatz war im Wesentliche mit dem Buch von 1958 belegt, das Buch gibt das aber nicht her, ich habe diesen Abschnitt wg TF gelöscht. Grundsätzlich ist so ein Abschnitt über die Philosophie der mathematischen Mengenlehre sinnvoll, er müsste aber mit mehr Fachkenntnis geschrieben werden und besser belegt werden.--Frogfol (Diskussion) 16:32, 19. Sep. 2017 (CEST)

Notation mit Laufvariable

Ich habe nun schon mehrmals in wissenschaftlichen Publikationen für Mengen der Form $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{N-1},x_{N}\}$ die Notation $\{x_{i}\}_{i=1}^{N}$ gesehen – zum Beispiel hier, unter Abschnitt 3, Formulation: Zhu et al.: Unpaired Image-to-Image Translation using Cycle-Consistent Adversarial Networks (arXiv:1703.10593). Wäre es sinnvoll, dies unter dem Abschnitt Andere Schreibweisen zu ergänzen? Und kennt gegebenenfalls jemand eine "Lehrbuchreferenz" dafür?--131.152.137.48 10:00, 26. Sep. 2017 (CEST)

Ist eine Teilmenge ein Element ihrer übergeordneten Menge?

Hallo alle zusammen,

ich habe ein Verständnisproblem, was das Verhältlis der Begriffe Menge, Teilmenge und Element betrifft. Gleich im ersten Absatz des Artikels steht folgendes:

» In der Mathematik sind die Elemente einer Menge häufig Zahlen, Punkte eines Raumes oder ihrerseits Mengen.«

Die Hervorhebungen sind von mir. Eine Menge, die als solche vollständig in einer anderen Menge enthalten ist, ist eine Teilmenge dieser anderen Menge. Nun geht aus dem Satz hervor, dass Teilmengen Elemente der Mengen sind, die sie enthalten.

Die leere Menge ($\varnothing$) ist diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Gleichzeitig gilt, die leere Menge sei Teilmenge jeder Menge. Damit ist die leere Menge auch Teilmenge ihrer selbst. Wenn nun Teilmengen Elemente der Mengen sind, die sie enthalten, dann ist die leere Menge ein Element ihrer selbst, was ihrer Definition widerspricht.

Wie ist dieser Widerspruch begrifflich aufzulösen? Ist eine Teilmenge tatsächlich ein Element ihrer übergeordneten Menge, oder sind Elemente immer atomar, das heißt, können ihrerseits keine weiteren Elemente mehr enthalten? Das würde den erwähnten Widerspruch auflösen. Aber dann wäre der eingangs zitierte Satz fasch.

Was gilt denn nun?

Viele Grüße

--Jake2042 (Diskussion) 22:30, 1. Sep. 2019 (CEST)

Ob eine Menge A Element oder Teilmenge einer Menge B ist, hat zunächst nichts miteinander zu tun:

• Es kann A Element von B sein, aber nicht Teilmenge: A = {4, 7}; B = {A, {13, 17}, {22, 31}} = {{4, 7}, {13, 17}, {22, 31}}
• Es kann A Teilmenge von B sein, aber nicht Element: A = {4, 7}; B = {4, 7, {13, 17}}
• Es kann A Teilmenge von B sein und außerdem Element: A = {4, 7}; B = {4, 7, {4, 7}}

Schau dir bitte diese Beispiele an, ob du verstehst, warum A jeweils Element bzw. Teilmenge von B ist. B hat hier übrigens immer genau drei Elemente.

Okay, jetzt: „Damit ist die leere Menge auch Teilmenge ihrer selbst“. Stimmt. Sogar jede Menge ist Teilmenge ihrer selbst, denn jede Menge, ob leer oder nicht, enthält alle ihre eigenen Elemente.

Nächster Schritt: „Wenn nun Teilmengen Elemente der Mengen sind, die sie enthalten ...“. Nein, sind sie nicht. Die Tücke liegt im Wort „enthalten“: es ist nicht klar, ob „A enthält B“ heißen soll „A enthält B als Teilmenge“ oder „A enthält B als Element“. In vielen Zusammenhängen kommt nur eines von beiden in Frage und man versteht es trotzdem. Eindeutig ist es aber nur, wenn man es komplett sagt, ebenso umgekehrt „ist Element von“ oder „ist Teilmenge von“ statt mehrdeutig „ist enthalten in“.

Keine Menge enthält sich selbst als Element, vielleicht aber durchaus andere Mengen. Da viele mathematische Begriffe als Mengen definiert sind, wäre es zu restriktiv, ganz zu verbieten, dass die Elemente von Mengen selbst Elemente enthalten. --Lantani (Diskussion) 23:22, 1. Sep. 2019 (CEST)

Hallo Lantani,

ich muss gestehen, dass ich das, was Du schreibst, nicht so ganz verstehe. Was Mengenlehre betrifft: ich hatte das mal in der Grundschule und war begeistert davon. Aber das war natürlich lange nicht so formalisiert, wie das in der Mathematik mit der ZFC oder ZF betrieben wird. Außerdem habe ich an der Uni im Rahmen von formaler Logik Venn-Diagramme etwas näher kennengelernt (und begriffen, was die beiden Turnhallenreifen, die in der Grundschule auf dem Boden lagen, gewesen sind).

Also, jetzt mal ganz langsam, zum mitschreiben: Nimm an, ich habe eine Menge, die aus den Elementen $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ besteht. Diese Menge nenne ich jetzt $B$. Dann schreibe ich das so:

$B=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$

Wenn ich nun eine Menge $A$ habe, die die Elemente $x_{2}$ und $x_{3}$ enthält, dann ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$, oder nicht?

Um einmal ein ganz unmathematisches Beispiel zu nehmen: Die Menge aller Menschen ist eine Teilmenge der Menge aller Lebewesen. Aristoteles wäre ein Element der Menge aller Menschen. (Aristoteles ist aber auch – das einzige – Element der Menge, die Aristoteles enthält, weshalb der Satz »Aristoteles ist sterblich« eine Allaussage ist.)

Insofern kann ich der Unterscheidung, die Du eingeführt hast: Menge A ist Teilmenge der Menge B vs. Menge A ist Element der Menge B, bislang noch nicht so ganz folgen. Wo lässt sich denn näheres dazu nachlesen? Gerne auch in Wikipedia. ;-)

Viele Grüße

--Jake2042 (Diskussion) 01:04, 2. Sep. 2019 (CEST)

Das was du ganz oben schreibst, Jake, ist ein sehr schönes Argument dafür, dass man Teilmengen- und Elementbeziehung auseinanderhalten muss -- tut man es nicht, kann ein Widerspruch hergeleitet werden :)

Die Schwierigkeit, um die es geht, hat offenbar damit zu tun, dass Mengen aus allerlei, völlig beliebigen Arten von Objekten gebildet werden können. So dass man sogar auch eine Menge dafür hernehmen kann. Es hilft vielleicht auch, wenn man sich vergegenwärtigt dass "a" (das Objekt a) und "{a}" nicht dasselbe sind. Letzteres ist eine Menge, und ist nicht das Objekt a. Und man kann weitermachen: "{{a}}" ist eine andere Menge als "{a}" (zwei Mengen sind verschieden, genau dann wenn ihre Elemente verschieden sind)...

--Alazon (Diskussion) 06:23, 2. Sep. 2019 (CEST)

Die Beispiele in Jakes neuem Beitrag sind ja alle in Ordnung. Nochmal das Wichtigste: In allen Zweifelsfällen ist die wichtigste Frage „Was sind die Elemente einer gegebenen Menge?“ Im ersten meiner drei Beispiele hat B drei Elemente, nämlich die Menge {4, 7}, die Menge {13, 17} und die Menge {22, 31}. Die Menge A = {4, 7} ist da dabei, also ist A Element von B. Die Zahl 4 ist da nicht dabei, also kann A = {4, 7} nicht Teilmenge von B sein, weil mindestens eines der Elemente von A nicht Element von B ist. Dass 4 ein Element von einem Element von B ist, danach war nicht gefragt. Ganz einfach, wenn man stur danach fragt, was die Elemente sind.

Die Thematik ZFC würde ich ganz außen vor lassen. Die Frage, was eine Teilmenge oder ein Element ist, wird dort nicht verhandelt.

Die Relevanz hier ist, dass es da immer wieder Verwechslungen gibt, vor allem aufgrund ungenauer Sprache. Sollte im Artikel irgendwo vorkommen. --Lantani (Diskussion) 10:05, 2. Sep. 2019 (CEST)

Verständlichkeit → Beipiele verwenden

Dieser Artikel ist aufgrund der weitgehenden Formel-Schreibweise unverständlich für Menschen, die mit dem Lemma nicht vertraut sind. Aber genau dazu - um "Menge" zu verstehen - soll der Artikel ja gelesen werden. Gut finde ich das einführende Beispiel mit der Menge einzelner Poygone als Inhalt des Behältnisses (wobei da das mittlere Bild eher irritiert, und die Erklärung, "[Behältnisse] ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt", ist in dieser Kürze und ohne Beispiel unverständlich). Es wäre m.E. hilfreich, wenn man die schon in der Einleitung verwendete "Menge einzelner Poygone" durchgehend als Beispiel für jede Definition nutzen und weiterführen würde. Also zuerst (für Laien) anhand des Beispieles "Menge einzelner Poygone" die jeweils beschrieben Definition erklären - und dann (für mit dem Lemma Vertraute) das Ganze nochmal mit Formeln erklären. Das wäre didaktisch sehr viel sinnvoller und für unsere Leser hilfreicher. Gruss, --Markus (Diskussion) 07:50, 7. Nov. 2019 (CET)

Wie nennt man in der Mengenlehre den Vorgang, wenn man 2 Mengen einfach "aneinanderhängt"? Also beispielsweise den Inhalt von zwei Tabellen oder Datenbanken mit "append" zusammenfügt, wobei natürlich - falls die Tabellen nicht komplett verschieden sind - Doubletten entstehen. Vielleicht kann man das hier im Artikel noch ergänzen? Gruss, --Markus (Diskussion) 07:53, 7. Nov. 2019 (CET)

Zum zweiten Punkt s.u., hier nur zum ersten: die Polygonkiste – oder besser ihr Inhalt – ist kein gutes Beispiel, weil bei ihr praktisch alles anders ist als bei Mengen:

• Behältnisse haben Eigenschaften außer ihrem Inhalt (Form, Material, Ort zu einer gegebenen Zeit) – Mengen sind durch ihren Inhalt, also durch ihre Elemente, eindeutig festgelegt; insbesondere gibt es keine zwei verschiedenen Mengen, die genau dieselben Elemente enthalten.
• Gegenstände, seien es Behältnisse oder nicht, können in mehreren Exemplaren existieren, die dann gleich, aber nicht identisch sind – mathematische Objekte sind entweder identisch (das nennt man in der Mathematik „gleich“) oder verschieden.
• Ein Gegenstand kann in höchstens einem Behältnis sein (man kann nicht einen Apfel in zwei verschiedene Tüten stecken) – zwei verschiedene Mengen können aber gemeinsame Element enthalten.

Das Bild von den Behältnissen ist also rundherum schief und verwirrt mehr als es hilft, trotz des prominenten Erfinders. Ich habe versucht, es zu retten, aber es geht nicht: die Eigenschaften von Mengen sind nämlich im Grunde einfacher als die von Behältnissen, für die es die zusätzliche Regel gibt, dass sie entweder getrennt sein müssen (also disjunkt) oder ineinander verschachtelt (und dadurch auch disjunkt). Dazu kommt eine ungenaue Sprache: Im täglichen Leben sagt man auch, ein Rucksack enthielte einen Apfel, wenn er eine Tüte mit einem Apfel enthält. Ein Element a eines Elementes einer Menge M ist aber i.A. kein Element von M, kann es aber im Einzelfall sein, zum Beispiel: $M=\{a,\{a\}\}$. Hilft es jetzt weiter, wenn man sich M als Rucksack vorstellt, in dem erstens ein Apfel liegt und zweitens derselbe Apfel in eine Tüte verpackt? Nein, das Bild ist komplexer als die mathematische Wirklichkeit, die es veranschaulichen soll.

Es hilft nichts: Man muss sich auf das beschränken, was über Mengen ausgesagt ist, und blumige Bilder, die mehr aussagen, führen in die Irre. Ich will mich darum bemühen, das ohne abschreckenden Formelkram in Worte zu fassen, so dass man versteht, wie einfach es ist, wenn man sich darauf beschränkt. --Lantani (Diskussion) 17:01, 7. Nov. 2019 (CET)

Danke für die verständliche Erläuterung. Dann würde ich aber Verwirrung stiftende "Behältnis" löschen, und stattdessen die anderen Beipielbilder vervollständigen. Und natürlich die Texte verfeinern. Bevor dann - für die Profis und solche die es lernen müssen, die Formeln kommen (s. unten). Ziel ist: Verständlichkeit für Jedermann. Gruss, --Markus (Diskussion) 12:21, 16. Nov. 2019 (CET)

Mengen aneinanderhängen (append)

Wie nennt man in der Mengenlehre den Vorgang, wenn man 2 Mengen einfach "aneinanderhängt"? Also beispielsweise den Inhalt von zwei Tabellen oder Datenbanken mit "append" zusammenfügt, wobei natürlich - falls die Tabellen nicht komplett verschieden sind - Doubletten entstehen. Vielleicht kann man das hier im Artikel noch ergänzen? Gruss, --Markus (Diskussion) 08:01, 7. Nov. 2019 (CET)

Die Elemente einer Menge sind nicht geordnet. Daher verstehe ich nicht, welcher Unterschied zwischen der Vereinigung zweier Mengen und deinem "append" bestehen könnte -- falls man weiterhin nur auf Mengen schaut. Die Elemente in Tabellen sind geordnet, wenn man Operationen über Ordnungen veranstaltet, befindet man sich nicht mehr in der Mengenlehre, sondern in der Algebra. Da kann man natürlich Ordnungen *über die Elemente einer Menge* beschreiben. (Mir scheint, diese Abgrenzung fehlt tatsächlich im Artikel?) --Alazon (Diskussion) 10:19, 7. Nov. 2019 (CET)

Ganz richtig. Das Wichtigste dazu steht schon klar und deutlich im Einleitungsabschnitt des Artikels: nur das Ob der Elementbeziehung zählt, aber weder Vielfachheit noch Ordnung. Dort wird auch auf andere Strukturen hingewiesen, die sich gerade dadurch von Mengen unterscheiden, dass es in ihnen Vielfachheit oder Ordnung gibt.

Den letzten Satz würde ich andersherum anpacken: man kann auf Mengen relationale oder algebraische Strukturen definieren, d.h. die Struktur besteht dann aus ihrer Trägermenge und den auf dieser Menge definierten Funktionen (z.B. Addition) und Relationen (z.B. Kleiner-Relation). Mengen sind sozusagen Strukturen ohne das, was eine Struktur ausmacht. Ich habe vor, den typischen Umgang mit Mengen in der „normalen“ Mathematik (d.h. im Gegensatz zur Mengenlehre selbst oder zur Logik) im Artikel kurz darzustellen; dort könnte man das dazuschreiben. Ist aber nicht einfach, es so zu machen, dass es auf den uninitiierten Leser nicht so abstoßend wirkt wie dieser Absatz hier. --Lantani (Diskussion) 17:22, 7. Nov. 2019 (CET)

Ich denke, die obige Frage deutet darauf hin, dass es nützlich sein könnte, schon in der Zusammenfassung den Kontrast zwischen Menge und Ordnung deutlicher zu erwähnen. Die Abgrenzung gegen benachbarte Begriffe ist normalerweise eine wesentliche Hilfe für das Verständnis eines Begriffs. --Alazon (Diskussion) 21:03, 7. Nov. 2019 (CET)

Ich halte die Sätze „Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.“ in der Einleitung eigentlich schon für ziemlich eindeutig. Freilich kann man alles verbessern. Meine Prioritäten hier wären:

• genaue Spielregeln: wodurch ist eine Menge eindeutig bestimmt?
• eindeutige Sprechweisen, Bedeutung des umgangssprachlichen „enthält“, „umfasst“, „ist größer als“, ... (weitere?)
• Mengen von Mengen: dass Mengen auch Elemente von Mengen sein können, ist bisher stiefmütterlich behandelt, obwohl es sehr normal ist (dort auch kurz erwähnen, dass in der axiomatischen Mengenlehre alle Elemente von irgendwas „Mengen“ genannt werden)
• Veranschaulichung von Mengen und ihre Grenzen – auch Venn-Diagramme sind eine starke Einschränkung des Mengenbegriffs.

Vielleicht sieht man dabei auch, dass die eine oder andere Formulierung in der Einleitung verbesserungsfähig oder ergänzungsbedürftig ist. Zum Beispiel die zitierte, bei dem man das Wort „Beschreibung“ vielleicht ersetzen sollte.--Lantani (Diskussion) 11:20, 8. Nov. 2019 (CET)

Die Einleitung ist nicht schlecht, und völlig richtig. Manchmal hilft halt Redundanz dem Leser, zu sehen worauf es ankommt. --Alazon (Diskussion) 14:12, 8. Nov. 2019 (CET)

Im Artikel werden mehrere Operationen anhand zweier Kreise verdeutlicht. Wie würde denn das Bild mit den zwei Kreisen aussehen, wenn zwei verschiedene Mengen aneinandergefügt werden? Gruss, --Markus (Diskussion) 22:56, 15. Nov. 2019 (CET)

Bei einer Menge kommt es nur darauf an, welches ihre Elemente sind:

• Beispiel Durchschnitt zweier Mengen A und B: Element des Durchschnitts sind genau die Dinge, die Element von A und Element von B sind.
• Beispiel Vereinigung zweier Mengen A und B: Element der Vereinigung sind genau die Dinge, die Element von A oder Element von B sind.

Das sind die Definitionen von Durchschnitt und Vereinigung. Die Mengen werden also nicht auf mysteriöse Weise geschnitten oder vereinigt (zum Beispiel durch Ausmalen eines Bildes mit zwei Kreisen) und dann stellt man fest, dass die zwei Aussagen gelten, sondern umgekehrt: Nachdem die zwei Aussagen den Durchschnitt und die Vereinigung dadurch definiert haben, dass gesagt wurde, welche Elemente sie haben, kann man auch Kreise malen, um das zu veranschaulichen. Um deine Frage zu beantworten, musst du zuerst sagen, welches die Elemente der Aneinanderfügung sein sollen – sowas ist ja bisher nicht definiert. Danach kann man gern anfangen, Kreise zu malen. (Übrigens lassen sich mit solchen Bildchen nur wenige Beziehungen zwischen Mengen veranschaulichen.) --Lantani (Diskussion) 23:27, 15. Nov. 2019 (CET)

Ein Beispiel wäre das Zusammenfügen der Mengen "ABCDE" + "FGHIJ". Wie würde das als "Kreise" dargestellt werden?

Hilfreich sind die visuellen Beispieldarstellungen für Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Es fehlen noch die für Teilmenge, Differenzmenge, Symmetrische Differenz.

Zur Verständlichkeit sprachllicher Beschreibung:

• Durchschnitt zweier Mengen A und B: Element des Durchschnitts sind genau die Dinge, die Element von A und Element von B sind.
  Das beinhaltet auch, dass die Elemente, welche nur in in Menge A sind, oder die nur in Menge B sind, nicht zur Vereinigung gehören. Das ist zwar für Mengentheoretiker selbstredend (natürlich auch für Mathematiker) - aber nicht für Bürger mit durchschnittlicher Bildung.

Vielleicht kann man das - bevor der ganze Formel-Teil beginnt - unseren Lesern zusammen mit den Bildern, auch noch mit verständlichen Worten beschreiben? Gruss, --Markus (Diskussion) 12:14, 16. Nov. 2019 (CET)

Ich weiß nicht, was die Menge "ABCDE" sein soll. Eine Menge mit einem Element, nämlich der Zeichenkette „ABCDE“? Eine Menge mit fünf Elementen, nämlich den fünf Buchstaben A bis E (dann wäre "BADEC" eine andere Schreibweise für dieselbe Menge)? Wenn man die beiden Zeichenketten (nicht Mengen!) „ABCDE“ und „FGHIJ“ hat, kann man sie auch zusammenhängen und erhält die Zeichenkette „ABCDEFGHIJ“. Das geht deswegen, weil die in einer Zeichenkette vorkommenden Zeichen eine Reihenfolge haben (und auch mehrfach vorkommen könnten) – beides Eigenschaften, die die Elemente einer Menge nicht haben: die sind in der Menge als Elemente enthalten und andere Objekte sind es eben nicht. Mehr gibts über Mengen nicht zu sagen, als welche Elemente sie enthalten und welche nicht. Da gibts keine Reihenfolge und deswegen kann man auch eine Menge nicht vor, hinter oder inmitten einer anderen einfügen.

Oben ist auch ein Flüchtigkeitsfehler: das fettgedruckte „Vereinigung“ muss natürlich „Durchschnitt“ heißen, sonst ist der logische Zusammenhang mit dem davorstehenden Satz nicht da. Mit dieser Korrektur ist die Aussage richtig.

Ich bin nicht sicher, dass es sinnvoll ist, die Frage weiter hier zu diskutieren. --Lantani (Diskussion) 13:18, 16. Nov. 2019 (CET)

Schnittmenge als außermathematischer Begriff

Auch im nicht-mathematischen Sprachgebrauch wird mitunter der Begriff der "Schnittmenge" verwendet, nämlich im Sinne von Gemeinsamkeiten. Beispielsweise kann es in den Grundsatzprogrammen zweier politischer Parteien sog. "Schnittmengen", also Gemeinsamkeiten geben. Eine kleine Anmerkung im Artikel an geeigneter Stelle wäre vielleicht angebracht. Gruß --Mabit1 (Diskussion) 23:26, 6. Aug. 2020 (CEST)

Änderungen zu "intensionaler Definition"?

Wozu dienen die Änderungen von Benutzer:Brusinsky?

Es wird eine Aussageform $P(z)$ angegeben (mit einer Objektvariablen $z$ aus der wohlbestimmten Definitionsmenge $D$ von $P$), sodass $x\in A$ genau dann gilt, wenn $P(z)$ zutrifft.

Es reicht doch nicht, dass z auch aus D ist. Die Aussagen "P(z)=1" und "x Element von A" haben keinen Zusammenhang, weil keine Belegung und keine Bindung für die verwendeten Variablen angegeben ist. Das Prädikat P ist die charakteristische Funktion der Menge A, heißt: "x Element von A gdw. P(x)=1". Was sonst sollte man schreiben? --Alazon (Diskussion) 13:02, 8. Nov. 2020 (CET)

PS Ich versteh auch den Editkommentar nicht, der von vollfreien Variablen spricht. In dem oben eingerückten Zitat wird einmal P(z) als Aussageform benutzt, und dann wird gesagt, dass P(z) "zutrifft". Aber wenn z eine Variable ist, muss erst eine Belegung für z genannt werden, bevor etwas da ist, worauf P zutrifft. Eine Aussageform kann nicht "zutreffen", sonst wäre es keine. --Alazon (Diskussion) 13:10, 8. Nov. 2020 (CET)

Wahrscheinlich ist mir die nur die Formulierung:

$\{x\mid x\in D{\text{ und }}P(x)\}\quad {\text{oder}}\quad \{x\mid x\in D\land P(x)\}.$

vertraut. Ich muss den letzten Edit rückgängig machen.

 Danke. (nicht signierter Beitrag von Brusinsky (Diskussion | Beiträge) 13:46, 8. Nov. 2020 (CET))

Weblinks: conjunction fallacy?!???

Was hat das denn so sehr mit Mengenlehre zu tun, dass es der einzige Verweis ist? Ich nehme mir mal die Freiheit und lösche das, (nicht signierter Beitrag von Ichwerdennsonstthebest (Diskussion | Beiträge) 17:13, 18. Mär. 2021 (CET))

Bewohnte Mengen

Ich verstehe nicht, auf welche Weise der Abschnitt über bewohnte Mengen zum Verständnis des Mengenbegriffs beiträgt. Es gibt Leute, die haben ein Mathematikstudium mit Schwerpunktgebiet Logik überstanden, ohne je von bewohnten Mengen gehört zu haben – so essentiell scheint der Begriff also nicht zu sein. Mein Vorschlag: streichen. Oder einen Extra-Artikel zum Thema schreiben, auf den von hier aus gerne verwiesen werden kann.

Natürlich kann man in allen Mathematik-Artikeln an allen Stellen, wo implizit ein tertium non datur vorkommt (hier: eine Menge ist leer oder nicht leer), eine Bemerkung dazuschreiben, dass das nur in der klassischen Logik so gesagt werden kann, also nicht allgemein gilt. Aber wer von denen, die sich über Mengen, Funktionen, algebraische Strukturen oder sonstwas informieren wollen, weiß hinterher mehr als vorher? Wenns fürs Thema des Artikels wichtig ist, muss man dem eine verständliche Erklärung widmen und nicht einen unverständlichen und daher verwirrenden Satz. --Lantani (Diskussion) 13:35, 5. Aug. 2022 (CEST)

Es geht um die Vokabel. Mit ihr kann man effizient und präzise sagen, was man meint, wenn es bei Verwendung von "nichtleer" uneindeutig oder die nichtgemeinte Bedeutung ist.

Der Abschnitt entstand nicht zum Zweck der Erklärung von Mengen, sondern ist allenfalls ein Minimalersatz für einen richtigen Artikel.

Im Übrigen sinkt meiner Einschätzung nach der Anteil der Informatik-Studenten, die nie von bewohnten Mengen gehört haben, in den letzten Jahren bis Jahrzehnten merklich. Coq oder ähnliches zu benutzen, um etwa garantiert korrekte Programme zu schreiben, liegt einfach nah -- und schon sind sie mit konstruktiver Mathematik und Präzision konfrontiert. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:24, 6. Aug. 2022 (CEST)

Und noch weiter im Übrigen: "nichtleer" hätte viel eher einen eigenen Artikel verdient, denn da gäbe es zumindest nichttriviales zu sagen, was die Terminologie angeht. Laut nlab gibt's ja Autoren (mir selbst sind solche aber bisher nicht aufgefallen), die selbst im Rahmen intuitionistischer Logik damit tatsächlich "bewohnt" meinen, und dann könnte man sich über die Irreführung auslassen ($\lnot \lnot \lnot A$ ist ja immer äquivalent zu $\lnot A$, nicht nicht nichtleer wäre mit der Terminologie aber 'was anderes als nichtleer) etc. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:17, 6. Aug. 2022 (CEST)

Mathematische Notation übersetzen

Wikipedia wird auch (oder sollte ich eher sagen "gerade") von Laien zu Rate gezogen, um einen Gegenstand (hier "Menge (Mathematik)") verstehen zu lernen. Ich halte es daher für sinnvoll, mathematische Notationen generell in ihre jeweiligen schriftsprachlichen Texte zu übersetzen, statt vom ggf. uninformierten Laien vorauszusetzen, daß diese*r die Kenntnis der mathematischen Notationen bereits beherrscht. Denn Wikipedia ist gerade kein Medium von Fachleuten für Fachleute.--Wikilaser (Diskussion) 18:08, 17. Mär. 2023 (CET)

DOI in Literatur zu Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre

Die DOI zu Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre funktioniert nicht mehr. Die (aktuelle) Auflage ist noch unter https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1 zu finden.

Gruss --Axel (Diskussion) 10:39, 2. Aug. 2023 (CEST)

Bild "Spezielle Zahlenmengen"

Müsste nicht in dieser Abbildung gemäß den Definitionen der Mengen die Null in der Menge der ganzen Zahlen, aber außerhalb der natürlichen Zahlen platziert sein? --Ralf.Kube (Diskussion) 14:05, 22. Mär. 2024 (CET)

Sehe ich auch so.

Obwohl die natürlichen Zahlen nicht explizit im hiesigen Artikel definiert werden, werden sie hier so verwendet – und im (zu Recht verlinkten) definierenden Artikel so definiert. Das sollte übereinstimmen. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:15, 22. Mär. 2024 (CET)

0 ist 'ne natürliche Zahl. Das nicht so zu sehen, bezeichnet unser entsprechender Artikel als "alt" --Daniel5Ko (Diskussion) 04:43, 14. Apr. 2024 (CEST)

In der Zahlentheorie ist 0 keine natürliche Zahl. In der Mengenlehre und in der Informatik ist die 0 eine natürliche Zahl. Da es in diesem Artikel um die Mengenlehre geht, würde ich mich danach richten und die 0 als natürliche Zahl sehen. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 08:14, 15. Apr. 2024 (CEST)