Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/2009/2. Teilarchiv

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Beweisführung durch Mathematiker

Es tauchte der Hinweis auf, der verbal anschaulich beschriebene Sachverhalt bedürfe noch des mathematischen Beweises. Ist dieser mathematisch geführte Beweis im Artikel zu lesen? Dann sollte doch im Artikel einfach darauf verwiesen werden. Mein Vorschlag:

Mathematischer Beweis

Gegeben sind:

Drei Tore, ein Auto, und zwei Ziegen. Es gilt Symmetrie – kein Tor ist bevorzugt. Der Kandidat kennt die Positionen der Objekte nicht.

Wahrscheinlichkeit:

P(A=1/3)=P(A=1/3)=P(A=1/3)=1 (1 Auto, gleichverteilt)
P(Z=2/3)=P(Z=2/3)=P(Z=2/3)=2 (2 Ziegen, gleichverteilt)

Die vom Kandidaten getroffene Wahl und das Bezeichnen des von ihm gewählten Tores ist jedoch ein Ereignis, das dazu geführt hat, dass sich von nun an, bis zum Ereignis der Offenlegung der Position des Autos oder des Inhalts des gewählten Tores (beides ist jedoch gemäß Spielregel vor dem letzten Schritt untersagt) zwei isolierte, völlig unterschiedliche, voneinander getrennte, das heißt auch voneinander völlig unabhängige Mengen gegenüberstehen, deren Inhalt sich von nun an sowohl physisch als auch rechnerisch solange gegenseitig nicht beeinflussen kann und damit unveränderlich bleibt, bis die tatsächliche Position des Autos oder der tatsächliche Inhalt des gewählten Tores bekannt wird. Diese beidseitige Invarianz wird leider allzu leicht übersehen oder nicht berücksichtigt, was zum bekannten "Dilemma" führt.

Wahrscheinlichkeitsverteilung der vom Kandidaten gewählten, isolierten Menge von einem Tor:

P(A=1/3) = 1/3
P(Z=2/3) = 2/3

und weiters die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Menge der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore als isolierter Restmenge von zwei Toren:

  • P(A=2/3) = 2/3
  • P(Z=4/3) = 1 + 1/3 (die beiden nicht gewählten Tore enthalten also mit Sicherheit zumindest 1 Ziege – denn es gibt ja nur 1 Auto!)

Es sind zwei Ziegen im Spiel. Von den beiden nicht gewählten Toren wird nun ein Tor geöffnet, das eine Ziege enthält. Der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore wird somit 1 Tor mit einer ganzen Ziege entnommen. Reduktion:

-P(A=0) Das geöffnete Tor enthält kein Auto.
-P(Z=1) Das geöffnete Tor enthält eine ganze Ziege.

Damit verbleibt in der Restmenge der nicht gewählten Tore nur noch ein geschlossenes Tor mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

  • P(A=2/3) unverändert
  • P(Z=1/3) um 1 reduziert. – Ursprünglich 4/3, nun nur noch 1/3. Was nicht besagt, dass sich – trotz geringer Wahrscheinlichkeit von nur 1/3 – dennoch eine Ziege hinter dem als Alternative angebotenen Tor befinden kann. Das wird sogar immer dann der Fall sein, wenn der Kandidat von Anfang an das richtige Tor mit dem Auto gewählt hatte.

Wie oben ausgeführt, war seit der Wahl des Kandidaten der physische als auch der rechnerische Inhalt der beiden von einander getrennten Mengen von einander völlig unabhängig und unveränderlich. Insbesondere hat die "Entnahme" der einen "sicheren" Ziege (es gibt ja zwei Ziegen) aus der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore keinerlei Einfluss auf den Inhalt des gewählten Tores, und damit auch keinen Einfluss auf den Inhalt des als Alternative angebotenen zweiten geschlossenen Tores.. Das ursprünglich gewählte Tor behält damit seine Gewinnchance auf das Auto A=1/3, während das zweite noch geschlossene Tor nun eine Gewinnchance A=2/3 besitzt.

Analoges gilt aus Symmetriegründen für jede beliebige Nummerierung der Türen. (. . . ich lese hier aber keine Nummerierung! 07.04.2009/20:01h)

Der mathematische Beweis kann auf vielerlei Weise erbracht werden, führt aber immer zum gleichen Ergebnis.

LG -- Gerhardvalentin 15:07, 6. Apr. 2009 (CEST)

Tut mir Leid, aber was hier steht ist vielleicht gut gemeint, aber mathematisch gesehen, sagen wir, unhaltbar. Bei Diskussion:Ziegenproblem#Die Stufen Im Problem habe ich schon eine komplette Analyse gegeben, insgesamt erforderliche Beweise.Nijdam 16:16, 6. Apr. 2009 (CEST)

Die Realität bei geltender Spielregel:
Ohne zu wechseln gewinnt der Kandidat in genau 1/3 der Fälle, mit einem Wechsel auf das (als Alternative angebotene) andere geschlossene Tor in genau 2/3 der Fälle.

Änderung der Spielregel:
Nach dem Öffnen des einen Ziegentores sind noch zwei Tore geschlossen: Das ursprünglich gewählte Tor und das alternativ angebotene Tor. Hinter einem der beiden befand sich der Gewinn, hinter dem zweiten eine Niete. Nach dem Öffnen des einen Ziegentores werden aber nun (exakt nach Zufallsprinzip) Gewinn und Niete hinter den beiden nun noch geschlossenen Toren neu verteilt (entspricht in etwa der trügerischen 50:50 -Erwartung).

Ergebnis: Ohne zu wechseln gewinnt der Kandidat nun in 50 Prozent der Fälle, mit einem Wechseln ebenso exakt in 50 Prozent der Fälle (je größer die Zahl der Fälle, desto exakter). Und das gilt für 3 Tore ebenso wie für 330 und mehr Tore.

Die Realität ist also bekannt. Wer ist gerufen? LG -- Gerhardvalentin 22:36, 31. Mär. 2009 (CEST)

Das stimmt zwar mathematisch gesehen, aber ich habe keine Ahnung, was Du sagen willst. --Hutschi 14:01, 3. Apr. 2009 (CEST)
Ich hoffe auf plausible Beweisführung durch Mathematiker. Moral LG -- Gerhardvalentin 23:10, 3. Apr. 2009 (CEST)
Das kam und kommt dann aber irgendwie nicht rüber, denn ich muss mich da Hutschi vollinhaltlich anschließen. "Wer ist gerufen?" Bist Du Österreicher? Ich verstehe "gerufen" nicht. (Nix gegen Österreicher!) "Realität" -> "Änderung der Regeln" -> "Die Realität ist bekannt" Da verstehe ich nur Bahnhof. "Ich hoffe auf plausible Beweisführung" Von was? Ich bin allerdings kein Mathematiker. --AchimP 00:29, 4. Apr. 2009 (CEST)

@AchimP: Ja, deutsche Sprach schwere Sprach. Ich hätte gerne gewusst, wer sich endlich zur Lösung dieses unerfreulichen Diskussionsseiten-Dilemmas eingeladen oder aufgefordert oder berufen und befähigt fühlt, doch endlich die wissenschaftlich fundierte, plausible mathematisch korrekte Beweisführung zu präsentieren, deren Fehlen hier andauernd moniert wird: "...als Beweis nicht ausreichend ist ... Und auch ein unvollständiges Beweis ist falsch, denn kein Beweis ... aber ohne Beweis geht's nicht. Das braucht Beweis ... Alles was man behauptet und nicht von vornehin bekannt ist, braucht Beweis ..." – und ich hoffe, es fühlt sich bald ein kompetenter Wissenschaftler dazu gerufen und berufen, ein allgemein anzuerkennendes Theorem zu kreiren oder zumindest einen bereits bestehenden relevanten wissenschaftlichen Beleg zu liefern, der hier endlich klärt, ergo zu helfen vermag, den unerfreulichen Status zu beenden. – Du fragst, was ich mit "die Realität ist bekannt" ausdrücken will? Das meinte ich:

Die Realität ist bekannt – (Werte experimentell ermittelt) - Es waren nur je einhunderttausend Fälle, das Tausendfache hätte 'paar Sekunden länger gebraucht.
Ohne Wechseln: ( ! = der Kandidat hat das Tor mit dem Auto gewählt und verliert bei einem Wechsel)

Tür
erste Wahl
Wechsel Tür
letzte Wahl
Tür Auto offene
Tür
alternat.
Tür
Häufigkeit der
Konstellation
Häufigkeit
Gewinn
1 ! 0 1 1 ! 3 2 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
1 ! 0 1 1 ! 2 3 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
2 ! 0 2 2 ! 3 1 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
2 ! 0 2 2 ! 1 3 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
3 ! 0 3 3 ! 2 1 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
3 ! 0 3 3 ! 1 2 1/18 = 5,6 % 1/3 = 33,33 % 1/18 = 5,6 % 1/3 = 33,33 %
1 0 1 2 3 2 1/ 9 = 11,1 % 0
1 0 1 3 2 3 1/ 9 = 11,1 % 0
2 0 2 1 3 1 1/ 9 = 11,1 % 0
2 0 2 3 1 3 1/ 9 = 11,1 % 0
3 0 3 1 2 1 1/ 9 = 11,1 % 0
3 0 3 2 1 2 1/ 9 = 11,1 % 2/3 = 66,67 % 0 0/3 = 0 %

Nochmals ohne Wechseln (wunschgemäß umsortiert): ( ! = der Kandidat hat das Tor mit dem Auto gewählt und verliert bei einem Wechsel)

Tür
erste Wahl
Wechsel Tür
letzte Wahl
Tür Auto offene
Tür
alternat.
Tür
Häufigkeit der
Konstellation
Häufigkeit
Gewinn
1 ! 0 1 1 ! 3 2 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
1 0 1 2 3 2 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %
1 ! 0 1 1 ! 2 3 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
1 0 1 3 2 3 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %
2 ! 0 2 2 ! 3 1 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
2 0 2 1 3 1 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %
2 ! 0 2 2 ! 1 3 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
2 0 2 3 1 3 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %
3! 0 3 3! 2 1 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
3 0 3 1 2 1 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %
3 ! 0 3 3 ! 1 2 1/18 = 5,6 % 1/18 = 5,6 %
3 0 3 2 1 2 1/ 9 = 11,1 % 1/6 = 16,7 % 0 1/18 = 5,6 %

Und nun Mit Wechseln: ( ! = der Kandidat hat das Tor mit dem Auto gewählt und verliert bei einem Wechsel)

Tür
erste Wahl
Wechsel Tür
letzte Wahl
Tür Auto offene
Tür
alternat.
Tür
Häufigkeit der
Konstellation
Häufigkeit
Gewinn
1 ! 1 2 1 ! 3 2 1/18 = 5,6 % 0
1 ! 1 3 1 ! 2 3 1/18 = 5,6 % 0
2 ! 1 1 2 ! 3 1 1/18 = 5,6 % 0
2 ! 1 3 2 ! 1 3 1/18 = 5,6 % 0
3 ! 1 1 3 ! 2 1 1/18 = 5,6 % 0
3 ! 1 2 3 ! 1 2 1/18 = 5,6 % 1/3 = 33,33 % 0 0 %
1 1 2 2 3 2 1/ 9 = 11,1 % 1/ 9 = 11,1 %
1 1 3 3 2 3 1/ 9 = 11,1 % 1/ 9 = 11,1 %
2 1 1 1 3 1 1/ 9 = 11,1 % 1/ 9 = 11,1 %
2 1 3 3 1 3 1/ 9 = 11,1 % 1/ 9 = 11,1 %
3 1 1 1 2 1 1/ 9 = 11,1 % 1/ 9 = 11,1 %
3 1 2 2 1 2 1/ 9 = 11,1 % 2/3 = 66,6 % 1/ 9 = 11,1 % 2/3 = 66,67 %

Nochmals mit Wechseln (wunschgemäß umsortiert): ( ! = der Kandidat hat das Tor mit dem Auto gewählt und verliert bei einem Wechsel)

Tür
erste Wahl
Tür Auto offene
Tür
Häufigkeit der
Konstellation
Häufigkeit
Gewinn bei wechseln
Gewinnchance
bei wechseln
1 1 3 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
1 2 3 1/ 9 = 11,1 % 1
1 1 2 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
1 3 2 1/ 9 = 11,1 % 1
2 2 3 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
2 1 3 1/ 9 = 11,1 % 1
2 2 1 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
2 3 1 1/ 9 = 11,1 % 1
3 3 1 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
3 2 1 1/ 9 = 11,1 % 1
3 3 2 1/18 = 5,6 % 1/6 = 16,7 % 0 (1/9/(1/6) = 2/3
3 1 2 1/ 9 = 11,1 % 1
  • Ohne zu wechseln: Der Kandidat geht in 66,67 Prozent der Fälle leer aus und gewinnt das Auto in 33,33 % der Fälle.
  • Mit einem Wechsel: Der Kandidat geht in 33,33 Prozent der Fälle leer aus und gewinnt das Auto in 66,67 % der Fälle. Und das meinte ich mit "ist bekannt".

"Spielregel": Und wenn Du, nachdem ein Ziegentor geöffnet wurde, die beiden Objekte hinter den beiden jetzt noch geschlossenen Türen, also hinter der gewählten und der alternativ angebotene Türe (zweite Ziege und Auto in egal welcher Verteilung) nun nach Zufallsprinzip neu verteilst, so ergibt das nicht mehr 33:67 sondern 50:50. Selbst wenn Du das mit dem Million-Türen-Beispiel machst. Es ist dann 1:1 und nicht mehr 1/3 zu 2/3. LG -- Gerhardvalentin 02:57, 4. Apr. 2009 (CEST)

Dies alles nützt nichts. Ein mathemetisches Beweis ist sehr einfach und leicht zu geben, aber wird von nicht-Mathemetiker schwer verstanden. Und nicht wegen der Argumentierung, aber weil man das Problem nicht versteht. Das zeigt sich auch hier. Siehe oben unter "Mathe". Nijdam 13:21, 4. Apr. 2009 (CEST)
Pardonnez-moi, Nijdam, aber das ist meine Antwort auf die direkt darüberstehende Frage von AchimP: "Die Realität ist bekannt" Da verstehe ich nur Bahnhof. "Ich hoffe auf plausible Beweisführung" Von was?
Und darauf habe ich hier geantwortet. Okay? Und hoffen wir auf das baldige Gelingen des verständlichen mathematischen Beweises. LG -- Gerhardvalentin 00:18, 5. Apr. 2009 (CEST)
Für die richtige Lösung musst du in deiner Tabellen nur die Zeilen betrachten wo das Tor 1 gewählt und das Tor 3 geöffnet ist. Du berechnetst die unbedingte W'keiten. Hier zeigt sich genau wo meiner Kritik zutrifft. Nijdam 00:07, 6. Apr. 2009 (CEST)
Nun, ich weise in der Tabelle ganz schlicht sämtliche möglichen Konstellationen und deren tatsächliche Häufigkeitsverteilung nach. Jetzt zu Deiner Angsage:
In nur zwei Fällen kann die von Dir genannte Konstellation (Tor 1 ist gewählt und Tor 3 steht offen) vorkommen:
1) Wenn das Auto hinter dem gewählten Tor 1 steht. Durch ein Wechseln würde er verlieren. Hier ist aber Tor 3 nur in der Hälfte jener Fälle geöffnet, in der anderen ist nicht Tor 3, sondern Tor 2 geöffnet. Und hat er das Tor 1 mit dem Auto gewählt, gewinnt er nur, wenn er nicht wechselt, denn bei einem Wechsel hätte er eine Niete gezogen. Allerdings: Das kommt ja nur in der Hälfte der Fälle vor, in denen er Tor 1 gewählt hat und das Auto dabei hinter Tor 1 steht. Nur in der Hälfte der Fälle, in denen er Tor 1 gewählt hat und das Auto hinter Tor 1 steht, sieht er Tor 3 geöffnet! In der anderen Hälfte dieser Fälle wird nicht Tor 3 sondern Tor 2 geöffnet. Er erhält das Auto ohne Wechseln also nur halb so oft, als das Auto hinter Tor 1 steht, und durch ein Wechseln verliert er somit auch nur in der Hälfte dieser Fälle, in denen das Auto hinter dem gewählten Tor 1 steht.
2) Wenn das Auto hinter dem nicht gewählten Tor 2 steht. Das kommt aber doppelt so oft vor als Punkt 1 ! Denn wenn er Tor 1 gewählt hat und das Auto hinter Tor 2 steht, sieht er immer Tor 3 geöffnet ! – Nicht nur in der Hälfte dieser Fälle. Also geht er, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, ohne Wechsel in 2/3 der Fälle leer aus, mit einem Wechsel nur in 1/3 der Fälle. Mit einem Wechseln geht er dagegen nur in 1/3 der Fälle leer aus, während er mit einem Wechsel in 2/3 der Fälle gewinnt.
In der Wiedergabe sämtlicher möglichen Konstellationen und deren Häufigkeitsverteilung liest Du das selbe Ergebnis wie in der verbalen Problembeschreibung. Mit einem Wechseln verdoppelt der Kandidat seine Gewinn-Chance. Und zwar von 1/3 aller Fälle auf 2/3 aller Fälle. Mehr nicht. Gewinn-Garantie ist also nicht gegeben. Aber er vergrößert durch einen Wechsel seine Gewinn-Chance und er vermindert durch ein Wechseln das Risiko des Leer-Ausgehens von 2/3 (ohne zu wechseln) auf 1/3. Das Risiko kann er auf 1/3 vermindern, wie zu sehen ist. Das Rest-Risiko von 1/3 bleibt aber selbst bei einem Wechseln auf das alternativ angebotene, ursprünglich nicht gewählte Tor bestehen. Können wir mit diesem auf die Hälfte verminderten Rest-Risiko leben? Wäre schön, wenn die mathematische Herleitung diesen Sachverhalt darstellt. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 01:54, 6. Apr. 2009 (CEST)
Deine Tabelle unterstellt nicht nur eine Gleichverteilung des Autos, sondern auch des ersten Wahls. Davon ist eigentlich nichts bekannt, aber es stört die Analyse nicht wirklich. Die Tabelle gibt die Verteilung der verschiedenen Ergebnissen. Es gibt welche mit W'keit 1/18 und welche mit W'keit 1/9 (Wahl*Auto*Moderator = 1/3*1/3*1/2 oder 1/3*1/3*1). Das alles habe ich schon mehrmals in andere Formulierung geschrieben. Damit ist uns nicht geholfen. Die Spalte wo du einige W'keiten (relative Häufigkeiten) addierst, darin liegt der Fehler. Denn man muss nur die Zeilen zusammennehmen wobei der erste Wahl übereinstimmt und auch das geoffnete Tor, denn in ein solcher Lage befindet sich der Kandidat. Also z. B. die Zeilen Mit Wahl = 2 und offenes Tor = 1. Davon gibt es 6 Kombinationen. In jeder dieser Kombinationen liegen die W'keiten mit und ohne Auto hinterm gewählten Tor wie: 1/18 : 1/9. Bedingt bedeutet das: 1/3 : 2/3. Und das für jede Kombination. Zwar folgt hieraus das auch die Gesamtwahrscheinlichkeiten - die uns übrigens nicht interessieren -sich auch verhalten wie: 1/3 : 2/3, aber umgekehrt ist das nicht selbstverständlich. Nijdam 00:33, 8. Apr. 2009 (CEST)
Diese Behauptungen werden durch ständige Wiederholung weder richtiger noch relevanter. Du unterliegst dem klassichen Denkfehler, der in der Mathematik als Zirkelschluß bekannt ist: Deine Annahme ist: „Das Problem ist nur über bedingte Wahrscheinlichkeiten zu lösen.“ Die Argumente, die Du als Beleg für diese Anmnahme anführst, sind ihr aber logisch äquivalent. Du sagst letztendlich: „Es ist richtig, das Problem über bedingte Wahrscheinlichkeiten zu lösen, weil es falsch ist, es ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten zu lösen.“ Das belegt aber nur eine gewisse Festigung der Überzeugung, nicht aber die Behauptung. Diese Überzeugung alleine ändert aber nichts daran, daß die gegebene Aufgabenstellung von vornherein zu genau zwei wohlunterschiedenen und überschneidungsfreien Untermengen des in Rede stehenden Ereignisraumes führt, von denen die eine ausschließlich solche Konstellationen enthält, bei denen Wechsel zum Gewinn führt, die andere ausschließlich solche, bei denen Wechsel zum Verlust führt. Die erste enthält doppelt so viele der möglichen und gleichwahrscheinlichen Ausgangssituationen wie die zweite. Also ist bei Wechsel die Gewinnwahrscheinlichkeit doppelt so hoch wie ohne Wechsel. Beide Untermengen enthalten nur jeweils gleichartige „Abspiele“ mit jeweils gleichwahrscheinlichen alternativen Zwischenschritten. Es reicht völlig aus, die Gleichwahrscheinlichkeit der Zwischenschritte zu erkennen. Man muß sie dann eben nicht für jeden dieser Zwischenschritte neu berechnen. An der Schlüssigkeit dieser Argumentation ändert sich nichts dadurch, daß Du sie ignorierst. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 09:45, 8. Apr. 2009 (CEST)
Hallo Nijdam, nochmals danke für Deine Stellungnahme. Du schreibst oben: "Deine Tabelle unterstellt ...eine Gleichverteilung ... auch der ersten Wahl ..." (Ich verstehe: Tür-Wahl des Kandidaten). Bei großen Zahlen: Selbstverständlich Gleichverteilung. Oder nicht? Beziehst Du Dich auf die Spielregel? Es steht nichts darin, dass er bei seiner Wahl ein bestimmtes Tor präferieren soll. Bitte worauf beziehst Du dich? Und: Warum soll die Addition der Einzelwerte zur Gesamtsumme (zu 100 %) unterbleiben? Ich kann die Blickrichtung nicht sehen. – Die Reihenfolge der Tabellen-Zeilen habe ich nach Deinem Vorschlag angepasst. Kannst Du die Tabellen bitte jetzt nochmals prüfen? Danke! Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 19:08, 8. Apr. 2009 (CEST)
Du musst die Sache nicht umdrehen: die Spielregel sagen tatsächlich nichts über Verteilung der Tür-Wahl des Kandidaten, also wissen wir nichts, auch nicht ob sie gleichverteilt ist. Und dann deine Tabelle. Es ist nicht die Reihenfolge der Tabellen-Zeilen die angepasst werden muss, aber die Berechnung der "Gesamtsumme". Es gibt 6 unterschieden Gesamtsummen, entsprechend der 6 unterschiedenen Lagen in der der Kandidat sich befinden kann. Diese Gesamtsummen sind alle 1/18 + 1/9 = 1/6 (logisch es gibt ja 6 gleichwertige Fälle). Und auch 1/6 kann 100% sein? Wenn nur 1/6 da ist, ist das alles (=100%). Unter der Bedingung einer diesen Fälle ist eingetreten, gibt es nichts mehr als die 1/6, und werden sie als 100% aufgefasst, um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu bilden. Nijdam 09:33, 9. Apr. 2009 (CEST)
Nijdam: Habe ich Deinen Vorschlag nun korrekt umgesetzt? Die jeweilige Summenbildung (1/6 : 1/18 ohne Wechseln oder doppelt soviel 1/6 : 1/9 mit Wechseln genügt? Dass das jeweils 1 : 1/3 bzw. 1: 2/3 ist sieht man. Okay? Zur Gleichverteilung der Türwahl: Du hast Recht, ich habe beim experimentellen Ermitteln der Einzelwerte alle vorkommenden Tür-Wahlen ohne Einschränkung in gleicher Weise zum Zug kommen lassen. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 12:41, 9. Apr. 2009 (CEST)
Ich habe sie korrigiert. Nijdam 17:03, 9. Apr. 2009 (CEST)


Vorschlag zur Umstrukturierung / Einfache Erklärung usw.

Die "Einfache Erklärung" sollte meines Erachtens wieder auf ihre ursprüngliche Version (s.u.) reduziert werden.

Außerdem sollte der Abschnitt "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" wieder als "Detaillierte Begründung" an die zweite Stelle kommen. Gut passen würde danach übrigens der Abschnitt "Satz von Bayes". Nach den weiteren eher mathematischen Abschnitten sollten dann erst alle weiteren Erörterungen kommen.

Die "Einfache Erklärung" habe ich um einen Satz ergänzt, der den Einwänden Nijdams gerecht werden dürfte.

Sie sollte also lauten:

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen.

Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wechselstrategie in jeder Phase des Spiels genau 2/3 beträgt, wird auf verschiedene Weise in den folgenden Abschnitten gezeigt.

--Albtal 16:34, 8. Apr. 2009 (CEST)

Bezeichnung "Tor" oder "Tür":

Ich habe in meinem obigen Vorschlag (versehentlich) "Tür" statt "Tor" geschrieben. Im Artikel herrscht "Tor" vor. Viel gebräuchlicher und auch eingängiger finde ich "Tür". Auch unter der Überschrift zum Artikel wird ja auf das "Drei-Türen-Problem" hingewiesen.

Ich schlage also vor, durchgängig "Tür(en)" zu schreiben. Auf jeden Fall sollte es einheitlich sein.

--Albtal 16:47, 8. Apr. 2009 (CEST)

Mein Vorschlag:

Anfangs hat der Kandidat 1/3 Chance die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird nicht beeinflüsst durch das öffnen einer Tür durch den Moderator. Also ist nach dem öffnen die Chance auch 1/3 dass das Auto hinter der gewählten Tür ist, und 2/3 es ist hinter der nicht geöffneten Tür. Beim wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto.
Dass das Auto auch nach dem öffnen mit 1/3 Wahrscheinlichkeit hinter der gewählten Tür ist, wird auf verschiedene Weise in den folgenden Abschnitten gezeigt.

Hier wird alles nötige gesagt. Nijdam 09:17, 9. Apr. 2009 (CEST)

ACK. Das müsste ja auch genau M.Ottenbruchs Sichtweise widerspiegeln, wenn ich sie richtig verstanden habe. (Die Disk-Historie wird leider durch die vielen, vielen Detailänderungen von Gerhardvalentin an seinen eigenen Beiträgen sehr lang und noch unübersichtlicher, deswegen hier nochmal einen IMO konsensfähigen Kompromissvorschlag betont.) --AchimP 14:28, 9. Apr. 2009 (CEST)
Ich teste mal, ob ich den Vorschlag richtig verstanden habe:
„Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird nicht dadurch beeinflußt, daß der Moderator anschließend gemäß den festgelegten Regeln eine Tür öffnet. Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, daß das Auto hinter der usrprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht, und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür. Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto.
Daß das Auto auch nach dem Öffnen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Tür ist, wird auf verschiedene Weise in den folgenden Abschnitten gezeigt.“
Wenn das gemeint ist: Damit kann ich gut leben. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:40, 9. Apr. 2009 (CEST)
Danke fürs sprachlich verbessern, du hat sie gut verstanden. Diese Formulierung kann man als "einfache Erklärung" auffassen. Nijdam 16:22, 9. Apr. 2009 (CEST)
Schreibt die neue Rechtschreibung nicht recht vor, dass das Wort daß wie dass geschrieben wird? Nijdam 13:01, 12. Apr. 2009 (CEST)
Das empfiehlt sie. Und ich nehme mir das Recht heraus, diese Empfehlung und die gesamte RSR zu ignorieren. Ich bin viel zu alt und zu stur, um so einen Quatsch mitzumachen oder auch nur darber nachzudenken. Das müßte also vor dem Einpflegen in den Artikel wohl geändert werden. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:53, 12. Apr. 2009 (CEST)
Die "amtliche Regelung der deutschen Rechtschreibung" in der Fassung vom März 2006 schreibt in §2 für die Konjunktion durchaus die Schreibweise "dass" vor und lässt auch keine Alternative zu, siehe auch §25. Ich bin auch alt und stur und halte aber diese "nach kurzem Vokal ss"-Änderung für eine durchaus sinnvolle Vereinfachung, allerdings für so ziemlich die einzige sinnvolle Änderung der RSR. ;-) Ich bemühe mich aber trotzdem, auch gemäß den anderen Änderungen zu schreiben. Klappt nicht immer. ;-))
Da sich alle einig zu sein scheinen, baue ich den Vorschlag mal ein. --AchimP 14:24, 12. Apr. 2009 (CEST)
Mit „Empfehlung“ meinte ich auch nicht, daß die RSR da Wahlmöglichkeiten ließe, sondern daß ich die gesamte RSR lediglich als Empfehlung verstehe, die ich in toto ignoriere. Man kann über die Vor- und Nachteile von Adelung vs. Heyse sicher endlos diskutieren, aber da ich kein Beamter bin, steht es mir frei, so zu schreiben wie ich will, und von diesem meiner wenigen Rechte mache ich halt Gebrauch. :-) -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 14:59, 13. Apr. 2009 (CEST)

(outindented) Mein Beifall Achim! Am nächsten bin ich der Meinung dass die Originalformulierung des Problems (Englisch mit Übersetzung), wie sie in Parade erschienen ist im Anfang des Artikels aufgenommen werden soll. Vielleicht mit eine kurze Analyse der Interpretationsschwierigkeiten und danach die genauere Version von Krauss and Wang aus 2003. Das gehört wesentlich im Artikel. Solches war vielleicht in vorherigen Versionen des Artikels der Fall, aber vermutlich von "Prezisionsritter" absolviert worden.Nijdam 20:48, 12. Apr. 2009 (CEST)

Da herrschte hier nach gründlicher Diskussion m. E. die Meinung vor, die ich auch teile, dass es besser sei, die Aufgabenstellung an den Anfang zu setzen, deren Lösung man präsentiert. Erst das Originalproblem zu bringen, um es dann zu präzisieren, um dann die Lösung des Problems ("welches eigentlich noch mal?") zu bringen, könnte zur Verwirrung des Lesers beitragen. Erst das zu lösende Problem, dann die Lösung und dann den historischen Hintergrund, so wie es jetzt ist, halte ich für verträglicher.
Wenn Du den historischen Hintergrund, an der Stelle, wo er jetzt im Artikel steht, weiter ausbauen möchtest, spricht aber IMHO nichts dagegen.--AchimP 01:54, 13. Apr. 2009 (CEST)
Dem schließe ich mich vollinhaltlich an. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 14:59, 13. Apr. 2009 (CEST)
Ist ok, aber wir müssen bedenken dass es sich um einem Artikel in einer Enzyklopädie handelt, und nicht nur um einer mathematische Aufgabe die gelöst werden muss.Nijdam 22:04, 13. Apr. 2009 (CEST)

(outindented)Nächster Vorschlag: die zwei auf der einfache Erklärung folgenden Abschnitten: "Plausiblere Erklärung der bestehenden Wahrscheinlichkeiten" und "Detaillierte Begründung" entfernen. Nijdam 22:12, 13. Apr. 2009 (CEST)

Sie ersatzlos zu streichen halte ich für etwas übertrieben. Sie könnten aber IMHO deutlich gestrafft und zusammengefaßt werden. Die neue „einfache Erklärung“ beschränkt sich ja auf das nötigste, und eine gewisse Erläuterung der Dinge, die nicht sofort einleuchten, kann meines Erachtens nicht schaden. Bsplsw. der Hinweis, daß gemäß Aufgabenstellung von den zwei nicht gewählten Türen mindestens eine eine Ziege verbergen muß und von daher die Demonstration dieser Ziege keinen Erkenntnismehrwert bringt, ist IMHO durchaus zur Erhellung geeignet. Was aber jetzt IMHO gestrichen werden kann, ist der Abschnitt Sprachlich einfache Erklärungen, der zur „einfachen Erklärung“ nunmehr vollständig redundant ist. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:10, 14. Apr. 2009 (CEST)

@alle

Bemerkungen zur früheren "Einfachen Erklärung":

Ich hatte aus meiner Sicht ganz bewusst eine Formulierung gewählt, die ebenso korrekt wie leicht verständlich und kurz ist. Die Aussagen sind Schritt für Schritt ("operativ") nachvollziehbar:

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. (These)

Am Beispiel: (Ohne auch nur ein einziges Wort dazu erwähnen zu müssen, beinhaltet diese Formulierung die leicht nachvollziehbare These, dass die Begründung bei den anderen beiden Türen analog verläuft. Abstrakte Bemerkungen wie "aus Symmetriegründen" usw. sind überflüssig.)

Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. (These. - Übrigens habe ich hier bewusst das Wort "zeigt" gewählt als dezenten Hinweis darauf, dass diese Aktion ja nur eine Aufforderung an den Moderator ist, eine der beiden anderen Türen mit einer Ziege zu öffnen. (Und niemand kann den Aufgabenlöser ja daran hindern, eine Aufgabe besser zu verstehen als der Aufgabensteller.))

Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, (Mit den entsprechenden Spielregeln leicht nachvollziehbare Aussage. - Hier ist eine wichtige Bemerkung angebracht: Zahllose Begründungen der letzten 20 Jahre (auch in allen Wikipedia-Versionen) lassen das "muss" an dieser Stelle weg. In der Tat merkt man sofort, dass man mogelt, wenn mann diesen Satz mit dem Wörtchen "muss" bei der ursprünglichen Aufgabenformulierung ausspricht, mit der das "Ziegenproblem" um die Welt ging. Und mitdenkende Gesprächspartner fragen dann sofort: "Warum muss er das?" - Und der 2/3-Experte ist mit seinem Latein am Ende.)

und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen. (Das ist die (hoffentlich erfolgreiche) "Ernte" der Wechselstrategie. Die Ausgangsthese ist damit bewiesen.)

Wer diese nach meiner Auffassung 100%ig korrekten Aussagen einsieht (interessant wären hier Beiträge von Leuten, die das nicht tun), weiß also zumindest, dass die "Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei der "Wechselstrategie" 2/3 beträgt. Ein grundsätzliches "Zurück zu 1/2" gibt es dann nicht mehr.

Mir war klar, dass der (berechtigte) Einwand kommen könnte, dass trotz dieser 2/3-Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit (d.h. dass man bei "genügend zahlreichen" Wiederholungen des Spiels beim Wechseln in 2/3 der Fälle gewinnt) noch nicht die 2/3-Wahrscheinlichkeit vor der zweiten Wahl und in jeder konkreten Spieldurchführung bewiesen ist.

Dieser Aspekt hängt eng mit Spielregel 4 und damit auch mit dem von Nijdam vorgeschlagenen "Spielchen" zusammen. Er wurde hier schon früher diskutiert. Beispielsweise habe ich am 28. August 2008 in diesem Diskussionsforum geschrieben (da es sich sowohl um einen Beitrag zum "Spielchen" als auch zur "Einfachen Erklärung" handelt, gebe ich den entsprechenden Abschnitt hier wieder):

Dass die Aufgabe erst vollkommen korrekt gestellt ist, wenn sowohl am Anfang das Auto "per Zufall" hinter eine Tür gestellt wird, als auch der Moderator bei Wahlfreiheit nach dem Zufallsprinzip eine "nicht gewählte Ziegentür" öffnet, ist auch nach meiner Auffassung richtig.

Die Aufgabe ist dann "abgesichert" gegen Einwände der Art, dass auch dann, wenn es überhaupt keinen Grund für eine Bevorzugung gibt, eine bewusste oder unbewusste "Strategie" vorliegen könnte.

Meiner Ansicht nach ist es bei Aufgaben dieses Typs völlig "üblich", in diesen Fällen das "Zufallsprinzip" anzunehmen. (Z.B. Münzwurf: Wappen oder Zahl? Wo sind die Chancen größer? - Wenn der Werfer nun ziemlich geschickt und nicht ganz vertrauenswürdig ist, bevorzugt er womöglich Zahl ... oder auch Wappen? Vielleicht ändert er seine Strategie von Wurf zu Wurf? ...)

Die "Verletzung des Zufallsprinzips" beim Öffnen der Tür durch den Moderator kann z.B. folgende Auswirkungen auf die Lösung der Aufgabe haben:

Angenommen, der Moderator öffnet bei Wahlfreiheit, falls dies möglich ist, immer die Tür rechts von der Tür, auf die der Kandidat zunächst gezeigt hat ("rechts von Tür 3 sei wieder Tür 1"). Dann ergibt sich, wenn der Kandidat zunächst Tür 1 gewählt hat, Folgendes:

Öffnet der Moderator Tür 3, gewinnt der Kandidat bei einem Wechsel (auf Tür 2) mit Sicherheit. Das trifft auf ein Drittel der Fälle zu. Öffnet der Moderator Tür 2, gewinnt der Kandidat (bei Wechsel oder nicht) mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Das trifft auf zwei Drittel der Fälle zu.

Das hat folgende interessante Konsequenz:

Wird das Spiel "genügend oft" bei dieser Moderatorstrategie gespielt, gewinnt der Spieler in 2/3 der Fälle durch einen Wechsel.

Im konkreten Fall kann man aber nicht sagen, ob die Wahrscheinlichkeit jetzt 1/2 ist oder 1.

Wird dieses Zufallsprinzip verletzt, ist die 2/3-Lösung bei der üblichen Aufgabenstellung (auch bei der mit der zentralen Spielregel) falsch.

Die gesamte Behandlung der Fragen "Was ist aber vor der zweiten Wahl?" und "Ist die Wahrscheinlichkeit in allen Spielabläufen 2/3?" hatte ich bei der "Einfachen Erklärung" weggelassen, weil sie auf den "normalen" Leser wieder vernebelnd wirken würde. Auch Formulierungen wie die folgende kamen mir aus der Sicht dieser Leser zu unverständlich vor (und bedürfen selbst weiterer Begründungen usw.):

Wenn die "Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" 2/3 beträgt, kann sie sich weder von Fall zu Fall noch von Spielphase zu Spielphase ändern, da die Spielregeln dem Moderator keinerlei Handlungsspielraum lassen.

Lange Rede, kurzer Sinn:

Schon als ich die "Einfache Erklärung" in den Artikel eingefügt hatte, dachte ich, die beste Lösung wäre, die Überschrift zu ändern, da jeder weitere Zusatz den Zweck nur verwässern würde.

"Plausibilitätsbetrachtung" wäre einigermaßen korrekt, aber für das Lesepublikum etwas seltsam.

Wie wäre es mit "Erste Überlegung"?

Falls die jetzige Überschrift bleiben soll, würde ich den von mir vorgeschlagenen Zusatz um "in jedem konkreten Fall" ergänzen:

Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Wechselstrategie in jedem konkreten Fall und in jeder Phase des Spiels genau 2/3 beträgt, wird auf verschiedene Weise in den folgenden Abschnitten gezeigt.

Unschön bleibt aber eine "Einfache Erklärung" in jedem Fall. Denn es stellt sich sofort die Frage: Warum eigentlich noch lange und komplizierte Erklärungen, wenn es auch einfache und kurze gibt?

Mein Vorschlag ist also, den Abschnitt "Einfache Erklärung" so zu lassen, wie er sich bis vor kurzem längere Zeit im Artikel befand, und die Überschrift in "Erste Überlegung" (oder eine bessere ...) zu ändern.

Die aktuelle "Einfache Erklärung" ist ohne Begründung in den Artikel gekommen. Sie enthält nur Behauptungen und eine indirekte Schlussfolgerung, und nur der Zusatz "gemäß den festgelegten Regeln", die aber nicht näher benannt werden, verhindert, dass der Hokuspokus wiederholt wird, der jetzt schon seit 20 Jahren durch die Medien geistert.

(Der exzellent zusammengestocherte Ziegenproblem-Artikel sollte wenigstens im Kern der Sache so korrekt, klar und einfach wie möglich sein. An dieser Stelle möchte ich auch noch einmal darauf hinweisen, dass meine Verbesserungsvorschläge nach wie vor stehen, zu denen ich mit meinem "Essay" "Ziegenproblem 1990 - 2008" und meinen zahlreichen Folgebeiträgen Stoff geliefert habe. Das würde allerdings eine komplette Neuausrichtung bedeuten und sicher nur mit Leuten machbar sein, die nicht das siebenpunktige Ungetüm, das uns jetzt als "Das Ziegenproblem" vorgesetzt wird und das doch nur als grimmige, pedantische Antwort auf wesentliche Kritik an der 2/3-Fraktion entstanden ist, als das "eigentliche" Ziegenproblem in den Vordergrund stellen.)

--Albtal 12:21, 20. Apr. 2009 (CEST)

Wie ist das Dilemma vermeidbar ?

Worauf beruht der fatale "Denkfehler", der bei oberflächlicher Betrachtung auf den ersten Blick hin nicht intuitiv zu durchschauen ist und der zum 50:50 -Trugschluss führen kann? Durch die Spielregel wird ein relativ schlichter Sachverhalt eindeutig und zweifelsfrei festgelegt. Dieser gegebene Sachverhalt wird jedoch meist nicht in vollem Umfang, also nicht konsequent genug beachtet, nicht "gesehen". Es kommt beim "Ziegenproblem" lediglich darauf an, die gegebenen Informationen und deren zwangsläufige Folgerungen (sie stellen die einzige Beweisgrundlage dar) exakt anzuerkennen und konsequent zu benützen, andererseits aber alle noch so naheliegenden, jedoch ungesicherten und damit nicht zulässigen "hypothetischen" Annahmen und Spekulationen, denen jede Grundlage fehlt zu vermeiden, denen man bei nur oberflächlicher Betrachtung leider allzu leicht erliegt.

Welche primären Informationen stehen durch die Aufgabenstellung zur Verfügung, was kann Beweis-Grundlage sein:

Einem Kandidaten wird bei einer Spielshow angeboten, eines von drei Toren auszuwählen, und er wird vom Moderator informiert: Hinter einem der Tore befindet ein Auto, hinter den beiden anderen Toren nur Ziegen. Nachdem der Kandidat das von ihm gewählte Tor bezeichnet hat, öffnet der Moderator eines der beiden anderen, vom Kandidaten nicht gewählten "Zwillings-Tore," hinter dem eine Ziege zum Vorschein kommt. Daraufhin fragt der Moderator den Kandidaten: "Wollen Sie Ihre Wahl auf das andere noch verschlossene Tor wechseln?" Eine Gleichverteilung der Objekte hinter den drei Toren und die reine "Zufälligkeit" der Torwahl durch den Kandidaten kann vorausgesetzt werden und widerspricht nicht der Spielregel. - Ist es nun ein Vorteil für den Kandidaten, das Angebot zum Wechseln des Tores anzunehmen und seine Wahl wie angeboten zu ändern?

Drei Tore, ein Auto und zwei Ziegen (Nieten). Der Kandidat kennt die Positionen der Objekte nicht und es gilt Symmetrie – kein Tor ist bevorzugt. Bis zuletzt zeigt der Moderator den Inhalt des vom Kandidaten gewählten Tores nicht, und von den beiden nicht gewählten Toren öffnet er stets nur "ein" Ziegentor, das andere Zwillingstor bleibt verschlossen.
Dieser gegebene Sachverhalt bildet die einzige Beweisgrundlage.


Wahrscheinlichkeit:

P(A=1/3)=P(A=1/3)=P(A=1/3)=1 (1 Auto, gleichverteilt)
P(Z=2/3)=P(Z=2/3)=P(Z=2/3)=2 (2 Ziegen, gleichverteilt)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der vom Kandidaten gewählten, isolierten Menge von einem Tor:

P(A=1/3) = 1/3
P(Z=2/3) = 2/3

und weiters die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Menge der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore als isolierter Restmenge von zwei Toren:

  • P(A=2/3) = 2/3
  • P(Z=4/3) = 1 + 1/3 (die beiden nicht gewählten Tore enthalten also mit Sicherheit zumindest 1 Ziege – denn es gibt ja nur 1 Auto ! ) (siehe Beweisgrundlage)

Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore muss ebenso die Spielregel beachtet werden (es sind 2 Tore, es gibt nur 1 Auto):

Eines der beiden nicht gewählten Tore besitzt somit von vornherein, von Anfang an eine Gewinnchance=0 und ein Ziegen-Risiko=1, dessen Position ist dem Kandidaten allerdings noch nicht bekannt.
Das andere der beiden nicht gewählten Tore besitzt somit ebenso von vornherein, von Anfang an eine Gewinnchance=2/3 und ein Ziegen-Risiko von 1/3, auch dessen Position ist dem Kandidaten allerdings noch nicht bekannt.

Welche beweislosen, daher unzulässigen hypothetischen, ja prophetischen Fehlschlüsse sind zu vermeiden?

Die beiden Zwillings-Tore der Restmenge (es sind und bleiben 2 Tore!) besitzen zusammen eine 4/3-Wahrscheinlichkeit "Ziege" und eine 2/3-Wahrscheinlichkeit "Auto". Sie können niemals zwei Autos enthalten. (siehe Beweisgrundlage). Wohl aber enthalten sie - exakt in jenem einem Drittel aller Fälle, in denen der Kandidat zufällig das Gewinn-Tor mit dem Auto gewählt hat, zwangsläufig zwei Ziegen (siehe Beweisgrundlage).

Das Öffnen des einen durch die Spielregel (Wahrscheinlichkeit > 1. Und: Es gibt nur 1 Auto !) garantierten Zwillingstores mit Ziege aus der Restmenge von zwei Toren (Verminderung der Anzahl der geschlossenen Zwillings-Tore von 2 auf 1) wird der bestehenden 4/3-Ziegen-Wahrscheinlichkeit gerecht und reduziert die Rest-Wahrscheinlichkeit "Ziege(n)" von 4/3 auf nun nur noch 1/3. Darüber hinaus aber ist über den Inhalt des zweiten, weiterhin bis zum Schluss verschlossenen bleibenden Zwillings-Tores der Restmenge nichts, aber auch gar nichts ausgesagt, das von Anfang an eine Gewinnchance von 2/3 besaß und weiterhin besitzt. Nur dessen Position ist jetzt dem Kandidaten bekannt geworden (siehe Beweis-Grundlage). Über den tatsächlichen Inhalt dieses Tores bedeutet dies allerdings keine zusätzliche Information. Das anzunehmen, wäre unzulässige pure Spekulation und durch keinerlei Beweisgrundlage gedeckt. Die Gesamt-Wahrscheinlichkeit der beiden Zwillingstore wird dadurch nicht tangiert. Das zweite Zwillingstor kann das Auto enthalten (Wahrscheinlichkeit ja nun, nach Entnahme des Ziegentores: 2/3), es kann aber auch ebenfalls eine Ziege enthalten (Wahrscheinlichkeit bekanntlich nur noch 1/3). Wie gesagt enthält es sogar eine Ziege immer dann, wenn der Kandidat von Anfang an das Gewinn-Tor mit dem Auto gewählt hat, also in exakt einem Drittel aller Fälle (siehe Beweisgrundlage). Nochmals: Die Gesamt-Wahrscheinlichkeit der beiden Zwillingstore bleibt auch nach dem Öffnen des sicheren Ziegentores unverändert 4/3 Ziege, 2/3 Auto.

Damit ist auch die Frage eindeutig beantwortet, ob sich die Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores (1/3 Auto, 2/3 Ziege) verändert haben könnte. Da das Öffnen des in der Restmenge "garantierten Ziegentores" keine Information über den Inhalt des zweiten geschlossenen Zwillingtores bringen kann (es stellt für eine solche Aussage kein relevantes "Ereignis" dar, seine Existenz war von Anfang an bekannt, siehe Beweisgrundlage), darf auch nicht darüber spekuliert werden, ob es irgendeinen Einfluss hinsichtlich des Inhaltes des vom Kandidaten gewählten Tores haben "könnte". Einem solchen hypothetischen Fehlschluss braucht nicht nachgegangen zu werden, denn er widerspricht der Beweislage und ist aus diesem Grund nicht zulässig. Dieser garantierte Sachverhalt stellt absolut kein "rechnerisches" Problem dar, dieser Sachverhalt liegt klar und unveränderlich fest (siehe Beweisgrundlage). Jede Spekulation oder Prophetie, die diesen Sachverhalt ignoriert, ist von vornherein nicht zulässig und führt unweigerlich in die Irre. Ebenso ist es sinnfrei darüber zu spekulieren, ob die vorgezeigte, dort "garantiert vorhandene" Ziege nun tatsächlich und wirklich die "garantierte" Ziege oder allenfalls die zweite, "eventuell zusätzlich" vorhandene Ziege war. Oder ob das geöffnete Ziegentor heller oder dunkler, höher oder breiter, weiter rechts oder etwas weiter links war, etc. etc. Auch dies sind sinnfreie Fragestellungen. Wie gesagt besteht für das zweite, weiterhin ungeöffnete Zwillingstor der nicht gewählten Restmenge nun eine 1/3-"Chance", ebenfalls eine Ziege zu enthalten, seine Gewinnchance auf das Auto liegt nun eben bei 2/3. Für dieses Tor gilt also nun eine Chancenverteilung von 2/3 Auto, 1/3 Ziege. Darüber hinausgehende Spekulationen und Fragen nach "Sicherheiten" sind sinnfrei.

Nun zum wesentlichen Punkt: Jeder, der sich an die Beweis-Grundlage hält kann erkennen, dass das Öffnen des einen in der nicht gewählten Restmenge vorhandenen garantierten Ziegentores, das ja keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten der anderen beiden Objekte (zweite Ziege und Auto) ausüben kann, dass dieses Öffnen also nur einen einzigen isolierten und von allen anderen Wahrscheinlichkeiten vollkommen unabhängigen Sachverhalt gezeigt hat: Dass sich hinter dem geöffneten Ziegentor eben kein Auto befindet. Punktum. Das ist alles! Leider wird dieser Sachverhalt oft bei oberflächlicher Betrachtung übersehen und es wird unzulässigerweise und sinnfrei "hypothetisch hin- und herspekuliert", es könnte darüberhinaus "vielleicht eventuell doch noch von irgendwoher irgendeine bisher unbekannte zusätzliche Bedeutung" zum Vorschein kommen. Das ist aber nicht der Fall. Eine solche weitere Bedeutung besteht nicht. Siehe Beweisgrundlage. Das Öffnen hat einzig und allein die Tatsache bestätigt, dass sich hinter den beiden Zwillingstoren der nicht gewählten Restmenge mit Sicherheit zumindest eine Ziege befindet, und dass sich hinter dem geöffneten Tor, das nun offensichtlich eine Ziege enthält, kein Auto steht (siehe Beweisgrundlage). That's all. Mehr nicht. Wiederhole: Alle darüber hinausgehenden Wahrscheinlichkeits-Deutungen sind der Beweisgrundlage von vornherein widersprechende, sinnfreie hypothetische Spekulation. Das Öffnen des zwangsläufig selbstverständlichen Ziegentores war in dieser Hinsicht ein unabhängiges Ereignis, denn es hat nur für das Zwillingstor eine genau definierte Bedeutung, dessen "Nieten-Wahrscheinlichkeit" nun von 4/3 auf 1/3 reduziert worden ist. Für die "Gewinn-Wahrscheinlichkeit" der beiden anderen Tore und für die Position der beiden restlichen Objekte (zweite Ziege und Auto) hat das keinerlei Informationsgewinn gebracht.

Kurz: Das Öffnen des einen "sicheren" Nietentores aus der Menge der beiden (bisher spiegelbildlich gleichen) nicht gewählten Zwillingstore (es muss zumindest eine Ziege dort sein, denn es gibt nur ein einziges Auto) bringt keinerlei "neue" Erkenntnis hinsichtlich der Gesamtwahrscheinlichkeit der beiden Zwillingstore, sie sagt darüber nichts aus. Sie ordnet lediglich die Einzel-Wahrscheinlichkeiten innerhalb der beiden nicht gewählten Zwillingstore, indem sie nachweist, welches der beiden Zwillingstore eine Ziege und damit kein Auto ist. Die Gesamtwahrscheinlichkeit der beiden Zwillingstore ist damit unverändert geblieben. Eine darüber hinausgehende Erkenntnis zu vermuten ist nicht zulässig.

Das Ziegendilemma stellt also kein komplexes mathematisches oder gar "nur rechnerisch lösbares" Problem dar. Es ist mit klarem Blick einfach zu durchschauen und zu lösen, wenn nur konsequent die Spielregel und die daraus klar resultierenden Folgerungen als einzige Beweisgrundlage beachtet und nicht (auch nicht teilweise) ignoriert werden. LG -- Gerhardvalentin 16:51, 8. Apr. 2009 (CEST)

Fazit: Ein korrektes Herangehen an die Lösung des Ziegenproblems muss alle Informationen der Problemstellung und deren implizite zwangsläufige Folgerungen von vornherein berücksichtigen und darf nicht Teile davon ignorieren. Das kam in der Artikeldiskussion von allen Teilnehmern dankenswerter Weise bereits wiederholt zum Ausdruck. Zum Beispiel schrieb Nijdam am 7. April 2009 unter "Mathe": Gilt gleichfalls für mich. Ich möchte sicher sein alle Info zu benutzen. In ein solcher Problem ist das sogar notwendig. Nur wenn ich alles was bis dem Moment der Entscheidung bekannt ist, benutze, bin ich sicher der richtige Entscheidung. Also berechne ich, genau wie der Kandidat im Problem, für gegeben k: P(A=K|K=k,M=2) Nijdam 18:09, 7. Apr. 2009 (CEST). Genau das ist wichtig und zeigt für die Lösung in die richtige Richtung. Genau das ist anzustreben. Es wird sicher schwierig, in einer mathematischen Formulierung die gesamte gegebene Beweisgrundlage von Anfang an korrekt zu formulieren. Ein Theorem zu finden, das die Ausgangslage voll berücksichtigt. Die deutsche Wikipedia ist hier also auf dem richtigen Weg. Es wäre zu begrüßen, wenn hier Fortschritte in dieser Richtung kommen und wir uns der ersten "sinnvollen" mathematisch von Anfang an korrekt formulierten Lösung annähern könnten. Und ein Theorem gefunden werken kann, das alle grundlegenden Aspekte der Ausgangslage / der von Anfang an gegebenen Beweislage berücksichtigt. Nur das wäre dann eine wirklich elegante Lösung. Wir sind auf dem richtigen Weg! Viel Glück und: Bitte macht alle in diese Richtung weiter. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 07:43, 9. Apr. 2009 (CEST)
Ach, betrachte es so: eine elegante Argumentierung die zwar elegant ist, aber keine Lösung, möchtest du doch nicht bevorzügen, oder?Nijdam 12:59, 12. Apr. 2009 (CEST)
Argumentieren ist allerdings dort unverzichtbar und sinnvoll, wo die Ausgangslage – egal von wem – infolge "verführerisch naheliegender logischer Täuschung" wiederholt völlig falsch "gesehen" und das Pferd unsinnigerweise nachweislich vom Schwanz her aufgezäumt wird. Ein schlichtes mathematisches Theorem, das die gegebene Ausgangslage vollinhaltlich korrekt umfasst und damit in die sinnvolle Richtung blickt, liegt bislang nicht vor. Hoffe, Du arbeitest daran. LG -- Gerhardvalentin 22:57, 14. Apr. 2009 (CEST)
Hast du dies schon gelesen: Diskussion:Ziegenproblem#Die Stufen Im Problem?Nijdam 08:06, 15. Apr. 2009 (CEST)

Wird hier vielleicht um des Kaiser Bart gestritten? Die "einfache" Erklärung ist meines Erachtens völlig ausreichend und vor allem: erschöpfend. Jegliches "Mehr" sollte nur wegen der Illustration zugefügt werden. Insbesondere halte ich die Erklärungen mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten für äußerst bedenklich. Man läuft damit Gefahr, "beweisen" zu wollen, dass 2x2=4 ist, weil 1+1+1+1=4 ist. "P(M3 | A2) = P(M2 | A3) = 1" in der Erklärung mit der Formel von Bayes ist meiner Meinung nach falsch, denn das gilt nur, wenn zuvor Tor 1 gewählt wurde. Das steht zwar im Satz davor, aber es ist nicht in der Formel berücksichtigt. Das müsste also noch etwas komplizierter geschrieben werden, aber wäre das dann immer noch ein "Beweis" - oder eher Verwirrung? Man darf nicht vergessen, dass (was man leicht abzählen kann) das Öffnen des dritten Tores allein _nicht_ die 1/3 zu 2/3-Chance verursacht. Käme _nach_ Öffnen des dritten Tores ein Wanderer des Weges, so wäre für ihn die Chance auf den Gewinn 50/50, weil er ja nicht weiß, dass die Auswahl des dritten Tores nicht zufällig erfolgt ist. Er würde sich nur wundern, dass jemand, der den Anfang mitbekommen hat, mit größerer Sicherheit das Tor mit dem Gewinn wählt (wenn er das oft genug wiederholen könnte). -- 77.130.46.29 22:42, 14. Apr. 2009 (CEST)

Bei der hier formulierten Spielregel ergibt sich tatsächlich bestenfalls eine garantierte 50%-Lösung. Sie weicht von der im Artikel genannten ab, indem nicht festgelegt wird, dass der Moderator jedesmal eine Tür öffnet. Sie entspricht eher der ursprünglichen Formulierung im Leserbrief. Man muss alle Bedingungen berücksichtigen, sonst ergeben sich andere Konstellationen. --Hutschi 10:27, 15. Apr. 2009 (CEST)

Spielregel

Die geltende Spielregel geht von einer zufälligen Gleichverteilung der drei Objekte (ein Auto und zwei Ziegen) aus, ebenso muss von der Zufälligkeit der Tür-Wahl durch den Kandidaten ausgegangen werden, gegenteilige Bestimmungen sind keine bekannt.

Die Gewinn-Chance jeder der drei einzelnen Türen beträgt je 1/3, das Nieten-Risiko jeder der drei einzelnen Türen beträgt je 2/3. Sollte der Kandidat die Gewinn-Türe gewählt haben (also in 1/3 der Fälle), so öffnet der Moderator nach Zufalls-Prinzip eine der beiden nicht gewählten Ziegen-Türen. Sollte der Kandidat eine der beiden Ziegen-Türen gewählt haben (also in 2/3 der Fälle) so befinden sich in der Restmenge der beiden nicht gewählten Türen der Gewinn und eine Ziege (Niete), die vom Moderator gezeigt wird.

Gruppenbildung – Bildung einer Gruppe von zwei Türen

Die Restmenge der beiden nicht gewählten Türen hat zwar eine Gewinn-Chance von insgesamt 2/3 und ein Nieten-Risiko von insgesamt 4/3, wobei jedoch in jedem Fall a priori zumindest eine Ziege garantiert ist (es sind zwei Türen). Es können sich dort zwar auch zwei Ziegen, maximal aber nur ein Auto befinden. Damit ist aber auch klargestellt, dass – trotz allenfalls "irrtümlich vermuteter symmetrischer Wahrscheinlichkeitsverteilung" innerhalb der beiden nicht gewählten Türen – eine solche keinesfalls möglich ist und damit niemals gegeben sein kann. Die Spielregel legt fest, dass von zwei Türen zumindest eine immer zwangsläufig eine Niete sein muss, die andere jedoch nicht. Das wird allzu leicht übersehen. Trotz der feststehenden Einzel-Chance jeder einzelnen Türe herrscht innerhalb der Gruppe von zwei Türen somit a priori zwangsläufig eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Chancenverteilung 1 gewählte Türe zur Restmenge von 2 nicht gewählten Türen somit 1/3 : 2/3, die Verteilung des Nieten-Risikos beträgt 2/3 : 4/3.
Es gibt nur ein Auto. Unabhängig davon, welche der drei Türen der Kandidat auch wählen mag, befindet sich also mit absoluter Sicherheit hinter zumindest einer der beiden jeweils nicht gewählten Türen laut Spielregel zwangsläufig zumindest eine garantierte Ziege mit einer Gewinn-Chance von 0 und einem Nieten-Risiko von 1. Welche der beiden Türen die garantierte Ziege beinhaltet, ist dem Kandidaten nicht bekannt.
Somit beträgt in jedem Fall die Gewinn-Chance der zweiten nicht gewählten (und später verschlossen bleibenden) Türe zwangsläufig 2/3 und deren verbleibendes Nieten-Risiko nur noch 1/3. Auch sie kann allerdings eine Ziege enthalten. Welche der beiden Türen dies betrifft, ist wie gesagt dem Kandidaten vor dem Öffnen der Ziegen-Türe ebenfalls nicht bekannt. Er kennt nur die durch die Spielregel festgelegte ungleiche Chancenverteilung von 0 : 2/3 innerhalb der beiden nicht gewählten Türen.

Nochmals: Die Restmenge der beiden nicht gewählten Türen hat eine Gewinn-Chance von insgesamt 2/3 und ein Nieten-Risiko von insgesamt 4/3 und enthält dabei "gleichzeitig" garantiert zumindest eine Ziegentüre (mit einer Gewinnchance von NULL und einer Nieten-Wahrscheinlichkeit von 1) – also asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb dieser beiden nicht gewählten Türen. Dies ist noch vor Spielbeginn, also von Anfang an die laut Spielregel und deren Folgerung bestehende Ausgangslage. LG -- Gerhardvalentin 17:54, 19. Apr. 2009 (CEST)

Die Ausgangslage ist klar. Aber in der Beweisführung wird die Bedingung, dass der Moderator gegebenenfalls eine Tür zufällig wählt, nicht genutzt, zumindest sehe ich es nicht. Aber hieraus ergibt sich, dass es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist und die 1/3 - 2/3 - Lösung entsteht. Diese Bedingung muss bei der Lösung mit verwendet werden. Ich habe sie aber nur in den Voraussetzungen gesehen. Aus den Bedingungen ergibt sich unzweifelhaft diese Lösung. Man muss aber alle Bedingungen in der Beweisführung verwenden. --Hutschi 21:22, 19. Apr. 2009 (CEST)


Ausgangslage gemäß Spielregel und deren Folgerungen (alles noch vor Spielbeginn):

Die gewählte Türe (gleichgültig, welche das auch sein sollte) wird eine Gewinnchance 1/3 und Nieten-Riosiko 2/3 besitzen.

Die zwei nicht gewählten Türen werden dem gegenüber insgesamt eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nieten-Risiko von 4/3 besitzen, wobei zwangsläufig von Anfang an gegeben ist, dass eine der beiden Türen (welche ist dem Kandidaten noch nicht bekannt) mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit=1) eine Ziege und kein Auto enthalten muss, die zweite jedoch nicht (Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb der Restmenge der beiden nicht gewählten Türen)! Das ist eine zwingende Bedingung der Spielregel, die besagt, dass es nur ein Auto gibt.

Somit ist ebenfalls von Anfang an ebenso zwingend gegeben, dass die zweite (andere) der beiden nicht gewählten Türen (welche ist dem Kandidaten noch nicht bekannt) von Anfang an ein Nieten-Risiko von 1/3, jedoch eine Gewinnchance von 2/3 besitzen muss (mathematische Formulierung: "wobei gegeben ist, dass ..."). Diese Bedingungen sind von Anfang an durch die Spielregel festgelegt und brauchen nicht erst mühsam "ermittelt" zu werden. Sie wollen aber adäquat wiedergegeben / formuliert sein, was ich bisher vermisse. Alles weitere ergibt sich daraus. Die exakt formulierte Spielregel lässt deren zwangsläufig implizierte Folgerungen leicht erkennen. Ja, Hutschi, Du hast Recht. Es kommt darauf an, die Aufgabenstellung / Spielregel und deren Bedingungen von vornherein exakt zu formulieren. Damit ein unnötiges "Hin- und Her-Raten" nicht provoziert wird. LG -- Gerhardvalentin 22:47, 19. Apr. 2009 (CEST)

Erwägungen zu hypothetischen Regeländerungen / zu abweichenden Aufgabenstellungen

Längst frage ich mich, welches Lemma hier behandelt wird. Es tauchen laufend neue, abweichende Aufgabenstellungen auf. -- Gerhardvalentin 21:12, 20. Apr. 2009 (CEST)


Das tatsächliche Problem besteht in Folgendem (und wenn ich Nijdam richtig verstehe, ist es auch sein Problem mit dieser Lösung. Ich habe längere Zeit benötigt, um zu sehen, was er meint.)

  • "Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird nicht dadurch beeinflusst, dass der Moderator anschließend gemäß den festgelegten Regeln eine Tür öffnet. "

Das stimmt zunächst, ist aber keinesfalls offensichtlich.

  • Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht,

Das stimmt im konkreten Fall, ist aber nicht offensichtlich (anfangs erschien es mir offensichtlich, aber ich habe es weiter durchdacht.) Es stimmt nur, wenn der Moderator die Türen im Falle, dass der Teilnehmer die richtige Tür wählt, eine der beiden verbliebenen Türen mit gleicher Wahrscheinlichkeit öffnet. (Eventuell gibt es noch andere Möglichkeiten, die ich nicht überblicke.) Es ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die nicht unabhängig von den Regeln erklärt werden kann. Im Mittel stimmt es auch, wenn der Moderator die Türen nicht gleichwahrscheinlich, sondern beliebig wählt. Im konkreten Fall stimmt es aber dann nicht. Das zeigt, dass diese Erklärung nicht ausreicht und nicht "genügend" einfach ist. Man braucht zwingend die weiteren Regeln.

  • und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür.

Dieser Schluss ist nicht offensichtlich.

  • Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto."

Das stimmt, folgt aber nicht aus der Schlussweise (die mir zunächst ebenfalls sehr einleuchtend erschien - aber ich wurde genarrt durch die Wahrscheinlichkeit.)

Wenn ich schreibe: "nicht offensichtlich", dann meine ich, es müsste selbst bewiesen werden.

Dass er nicht offensichtlich ist, folgt aus einer leichten Änderung der Regel:

  • Der Moderator öffne immer die Tür mit der höchsten möglichen Nummer. Die anderen Regeln mögen weiterhin gelten.

Wir könnten hier genauso argumentieren:

  • "Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen.

Das stimmt noch.

  • Diese Chance wird nicht dadurch beeinflusst, dass der Moderator anschließend gemäß den festgelegten Regeln eine Tür öffnet. "

Das stimmt hier offenbar nicht (zumindest nicht für die aktuelle in dem Moment vorhandene Wahrscheinlichkeit). Wenn der Moderator eine Tür öffnet, ergibt sich eine andere Wahrscheinlichkeit.

  • Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht,

Das stimmt hier ebenfalls nicht.

  • und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür.

Das stimmt hier gleichfalls nicht.

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass die Argumentation nicht reicht. --Hutschi 10:57, 20. Apr. 2009 (CEST)

@Hutschi
Du schreibst fast nebenbei: Im Mittel stimmt es auch, wenn der Moderator die Türen nicht gleichwahrscheinlich, sondern beliebig wählt.
Da haben wir's doch. Diese Aussage ist doch ein wesentliches Etappenziel zum Verständnis des Ziegenproblems: Die "Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" bei der "Wechselstrategie" ist auch ohne die 4. Spielregel 2/3. Und wie ich auch gerade heute im obigen Abschnitt dargelegt habe, ist die genaue Begründung dafür Inhalt der bisherigen "Einfachen Erklärung" gewesen.
Mein Vorschlag ist also, nur die Überschrift der früheren "Einfachen Erklärung" zu ändern in "Erste Überlegung" oder vielleicht besser "Vorüberlegung" o.ä..
Dann haben wir als ersten Abschnitt eine wasserdichte, leicht verständliche und kurze Begründung für die 2/3-(Durchschnitts)Wahrscheinlichkeit (s.o.).
Wenn die Leser dann fragen, wo da überhaupt das große Problem liegen soll, ist es ja auch nicht schlecht ...
Wie siehst Du das?
--Albtal 21:08, 20. Apr. 2009 (CEST)


Nur zur Info (es wurde viel geschrieben hier in letzter Zeit): Die momentane "einfache Erklärung", die Du hier zitierst ("Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird nicht dadurch beeinflusst, dass der Moderator anschließend gemäß den festgelegten Regeln eine Tür öffnet. […] ") wurde auf Nijdams Vorschlag hin eingebaut. [1] Sie genügt insoweit seinen Anforderungen. --AchimP 12:17, 20. Apr. 2009 (CEST)
Dieses „Gegenbeispiel“ zeigt nur, daß die Erklärung dieses Spiels nur mit den Regeln dieses Spiels funktioniert. Wie oben bereits mehrfach erläutert, führen andere Regeln zu anderen Ergebnissen. Dieser Einwand wird durch permanentes Ignorieren nicht falscher. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:12, 20. Apr. 2009 (CEST)
Das Gegenbeispiel ist kein Gegenbeispiel zu dem Spiel sondern zur Beweismethodik. Es zeigt lediglich, dass es nicht ausreicht, nur die Verteilung am Anfang zu beachten. Ich habe selber mit an der einfachen Erklärung gebaut, habe aber zunächst nicht gesehen, dass man mit der unbedingten Wahrscheinlichkeit nicht ans Ziel kommt. Mein Gegenbeispiel ist lediglich ein Beispiel zur Beweismethodik, nicht zum Spiel selbst. Die "einfache" Lösung scheint sehr einleuchtend zu sein. Aber sie reicht nicht. (Natürlich haben wir "geschummelt", indem als Randbemerkung mit drin steht, dass die Spielregeln zu beachten sind. Allerdings werden sie für den Beweis nicht verwendet. Der erste Schritt gilt sowohl für das Ziegenproblem, als auch für das abgewandelte Ziegenproblem. Trotzdem haben beide unterschiedliche Lösungen.) Nijdam war nie ganz zufrieden damit - wenn ich ihn recht verstanden habe. Für mich war die einfache Lösung lange Zeit völlig einleuchtend, sowohl in der alten, als auch der neuen Form. Sie ist es nicht mehr. --Hutschi 16:28, 20. Apr. 2009 (CEST)
ich wiederhole dann nochmals meinen bisher unbeantworteten Kommentar zu dieser Theorie in Auszügen: Dieses hier in Rede stehende Problem ist mit viel Bedacht aus der ursprünglichen Leserbriefaufgabe so abgewandelt worden, daß sich eben aus der Tür, die der Moderator öffnet, nichts über die Position des Autos entnehmen läßt. Dazu muß ich zunächst einmal die Spielregeln berücksichtigen, die eben gerade nicht so sind, wie Du sie hier beispielhaft anführst.[…]
Auch bei den von Dir genannten, von den tatsächlich in Rede stehenden abweichenden Regeln ist es übrigens so, daß der Kandidat in einem Drittel der Fälle das Auto gewinnt, wenn er nicht wechselt, und in zwei Drittel der Fälle, wenn er wechselt. Es gibt aber eine Unzahl weiterer minimaler Modifikationen der Ausgangssituation, die zu völlig anderen Lösungen führen, selbst wenn der Moderator die nicht gewählten Tore gleichwahrscheinlich öffnet: Ersetzt man beispielsweise in der ursprünglichen Aufstellung nur ein einziges Auto durch eine weitere Ziege, hat der Kandidat ebenfalls keinerlei Chance, ein Auto zu gewinnen. Um derartige Problemstellungen geht es beim Ziegenproblem in der hier in Rede stehenden Form aber nicht.“
Der Unterschied, den Deine hypothetische Regeländerung ausmacht, ist nicht der, daß sich auf einmal die Wahrscheinlichkeit änderte, daß der Kandidat vor vornherein die Tür mit dem Auto gewählt hat, sondern darin, daß im Öffnen der Tür durch den Moderator eine Information darüber liegt, wo sich das Auto befindet. Natürlich beeinflußt eine Information dazu die optimale Strategie des Kandidaten. Darum geht es aber im Ziegenproblem in seiner vorliegenden Form nicht. Wenn der Moderator als „zusätzliche Regel“ vor dem Öffnen einer Tür, hinter der sich das Auto nicht verbirgt, dasjenige Tor, hinter dem es sich verbirgt, rot anstreicht (oder beide, hinter denen es sich nicht verbirgt, grün), ist das sicherlich auch nur eine minimale Änderung am Regelwerk, die jedoch eine Strategie eröffnet, mit der der Kandidat sicher gewinnen kann. Der Witz beim Ziegenproblem besteht jedoch gerade darin, daß die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Wechsel oder nicht Wechsel sich unterscheidet, obwohl aus dem Öffnen der Tür gerade nicht abzulesen ist, hinter welchem der beiden nicht geöffneten Tore sich das Auto verbirgt. Deswegen ist in den Regeln ausdrücklich vermerkt, daß der Moderator auf jeden Fall eine Türe öffnen muß und daß unabhängig davon, ob der Kandidat sich ursprünglich für das Gewinn-Tor entschieden hat, jedes der beiden anderen Tore mit 50%iger Wahrscheinlichkeit geöffnet wird (unter der — weder explizit vorgegebenen noch bewiesenen — Prämisse, daß die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Auto hinter einem bestimmten Tor befindet, für alle drei Tore gleich ist). -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 17:01, 20. Apr. 2009 (CEST)
Die letzte Bemerkung habe ich in verschiedener Form an einigen Stellen gemacht. Sie ist jedoch falsch, da es in Regel 1 ausdrücklich heißt „Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.“ -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 11:02, 23. Apr. 2009 (CEST)
Es geht eigentlich nur darum, dass man die Regel zum Öffnen bei der Lösung mit verwenden muss. Es geht nicht um beliebige Regeln. Wenn ich die Regel zur Zufallsverteilung bei der Türauswahl durch den Moderator nicht mit verwende, ist die Lösung nicht vollständig. Das habe ich durch die Modifikation gezeigt, die dann möglich ist, wenn diese Regel nicht verwendet wird. --Hutschi 21:22, 20. Apr. 2009 (CEST)
Liest Du eigentlich, was ich schreibe? Nochmal: Dazu muß ich zunächst einmal die Spielregeln berücksichtigen, die eben gerade nicht so sind, wie Du sie hier beispielhaft anführst. Die Tatsache, daß der Moderator die beiden nicht gewählten Tore gleichwahrscheinlich öffnet, wird also sehr wohl in der einfachen Erklärung verwendet, und zwar an ganz zentraler Stelle. Deswegen ist in den Regeln ausdrücklich vermerkt, daß der Moderator auf jeden Fall eine Türe öffnen muß und daß unabhängig davon, ob der Kandidat sich ursprünglich für das Gewinn-Tor entschieden hat, jedes der beiden anderen Tore mit 50%iger Wahrscheinlichkeit geöffnet wird (unter der — weder explizit vorgegebenen noch bewiesenen — Prämisse, daß die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Auto hinter einem bestimmten Tor befindet, für alle drei Tore gleich ist). Das alles muß man nicht beweisen, weil es Bestandteil der Aufgabe ist. Zu — dann allerdings: hochgradig! — verwirrenden Komplikationen und beliebigen Ergebnissen kommt man nur dann, wenn man diese vorgegebenen Fakten ignoriert und/oder durch andere zu ersetzen versucht. Was Du mir der wiederholten Behauptung bezweckst, „diese Regel [werde] nicht verwendet“, ist mir unklar. Nur aufgrund dieser Regeln (es sind zwei, nämlich 4. und 5.) ergibt sich die vielbeschworene Symmetrie bzw. die stochastische Unabhängigkeit der Gewinnwahrscheinlichkeit von der Frage, welche Türe geöffnet wurde. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 22:37, 20. Apr. 2009 (CEST)
Die Symmetrie ist eben gerade nicht in der einfachen Erklärung erwähnt. (Mir würde ihre Erwähnung reichen.) Gelesen habe ich es natürlich. Ich habe auch nicht gesagt oder geschrieben, dass man die Sätze der Aufgabenstellung beweisen muss. Es geht lediglich darum, ihre relevanten Bestandteile zu verwenden.
Mein Vorschlag:
"Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen. Diese Chance wird wegen der geltenden Regeln nicht beeinflusst, wenn der Moderator anschließend eine Tür öffnet. Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht, und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür. Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto.
Dass das Auto auch nach dem Öffnen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Tür ist, wird auf verschiedene Weise" in den folgenden Abschnitten gezeigt.
--Hutschi 08:45, 21. Apr. 2009 (CEST)
Der von Dir vorgeschlagene Einschub ist redundant zum jetzigen letzten Satz der einfachen Erklärung. Und der Hinweis darauf, daß das Abspiel nach den „geltenden Regeln“ erfolgt, ergibt sich bereits aus der Definition der Begriffe „Regel“ und „gelten“. Man könnte genausogut darauf hinweisen, daß das Gesagte nur gilt, sofern den Beteiligten nach dem Öffnen der Tür der Himmel nicht auf den Kopf fällt. Darüber hinaus steht der Einschub in keinem Zusammenhang zur von Dir geäußerten Kritik. Gegenstand dieser ist — soweit ich sie verstehe —, daß der Kandidat über die in den Spielregeln genannten hinausgehende Informationen über die Position des Autos bei seiner Entscheidung verwerten würde, wenn sie ihm denn zur Verfügung stünden. Im von Dir genannten Spiel ändert sich ja nichts an der Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat von vornherein die Tür mit dem Auto gewählt hat, ebensowenig daran, daß er in zwei Dritteln der Fälle durch Wechseln das Auto gewinnen würde — der Unterschied besteht darin, daß ihm in bestimmten Konstellationen durch das Öffnen einer bestimmten Tür signalisiert wird, daß das Auto hinter der anderen nicht gewählten Tür steht, er also in dieser Konstellation durch Wechseln sicher gewinnt. Das Ganze ist also logisch äquivalent einer Regeländerung, in der der Moderator nach dem Öffnen einer Türe eine Münze wirft (oder würfelt) und in einer bestimmten Anzahl der Fälle dem Kandidaten sagt, wo das Auto ist. Das hat mit der tatsächlichen Aufgabenstellung so gar nichts zu tun.
Formulierungsvorschlag: Da die beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore aus Sicht der Regeln völlig gleichwertig sind, stellt das Öffnen des Tores keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar, ändert also diese Chance nicht.-- M.ottenbruch ¿⇔! RM 10:37, 21. Apr. 2009 (CEST)
Das ist viel besser, als mein Satz. Danke. --Hutschi 11:09, 21. Apr. 2009 (CEST)
Zum Formulierungsvorschlag: Da die beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore aus Sicht der Regeln hinsichtlich ihrer Einzel-Wahrscheinlichkeit völlig gleichwertig sind, eine Gruppe von zwei Toren jedoch zwangsläufig zumindest eine Niete enthalten muss (es gibt nur ein Auto), stellt das Öffnen des Tores keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar, ändert also diese Chance nicht. -- Gerhardvalentin 11:20, 21. Apr. 2009 (CEST)
Darüber, wie ich so etwas wie „hinsichtlich ihrer Einzel-Wahrscheinlichkeit“ in die Formulierung einarbeiten könnte, habe ich auch lange nachgegrübelt. Aber — Hand aufs Herz! — versteht OMA, ohne diese Diskussion gelesen zu haben, was an dieser Stelle mit „Einzel-Wahrscheinlichkeit“ gemeint ist? Ich bin mir nicht sicher.
Die zweite Erweiterung halte ich jedoch für ausgesprochen hilfreich. Damit könnte man dann die nächsten beiden Abschnitte tatsächlich ersatzlos streichen. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 12:10, 21. Apr. 2009 (CEST)

Zum Formulierungsvorschlag:
Zwar beträgt laut Spielregel die Gewinnchance jeder einzelnen der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore völlig gleichwertig je 1/3. Da eine Gruppe von zwei Toren laut Spielregel jedoch zwangsläufig zumindest eine Niete enthalten muss (es gibt nur ein Auto), stellt das Öffnen des Tores keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar, ändert also weder die Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch die Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore insgesamt (2/3). LG -- Gerhardvalentin 14:37, 21. Apr. 2009 (CEST)

Non sequitur. Mit „Gleich-Wahrscheinlichkeit“ bzw. „gleichwertig“ meinte ich nicht nur die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Auto dahinter befindet („Gewinnchance“), sondern auch die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator sie in Schritt 4. bzw. 5. der Aufgabenstellung öffnet. Nur dann, wenn die Türen in diesen beiden Hinsichten gleichwertig oder gleich-wahrscheinlich sind, liegt im Öffnen der Türen tatsächlich keine weitere Information. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:18, 21. Apr. 2009 (CEST)
Hier steht schlussendlich, warum ich diese ganze Diskussion angefangen habe. Nicht dass 2 Türen immer eine Ziegen verbergen, sondern die Strategie des Moderators bewirkt dass keine weitere Information frei gegeben wird. Und deshalb "ändert sich die W'keit nicht", d.h. deshalb weist die bedingte W'keit derselbe Wert auf als die unbedingte. Nijdam 17:48, 21. Apr. 2009 (CEST)
Nicht seine Strategie, sondern die Tatsache, daß er keine hat und keine haben kann, ist ausschlaggebend. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 18:57, 21. Apr. 2009 (CEST)

Zum Formulierungsvorschlag:
Zwar beträgt laut Spielregel die Gewinnchance jedes einzelnen der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore (jedes für sich allein betrachtet) jeweils 1/3 (zusammen also 2/3). Ziegen-Risiko für jedes der beiden nicht gewählten Tore, jedes für sich allein betrachtet, jeweils 2/3 (zusammen also 4/3).

Da aber eine Gruppe von zwei Toren laut Spielregel zwangsläufig jedoch zumindest eine Niete enthalten muss (es gibt nur ein Auto), besitzt somit eines dieser beiden Tore aus diesem Grund von Anfang an effektiv ein bedingungsloses Ziegenrisiko von 1 und eine Gewinnchance von NULL. Dies gilt von Anfang an zwingend hinsichtlich der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore, jedoch nur für EINES der beiden nicht gewählten Tore. (Welches der beiden Tore ist dem Kandidaten allerdings noch nicht bekannt). Das andere Tor besitzt aus diesem Grund von Anfang an zwangsläufig effektiv eine Gewinnchance von 2/3 und ein Ziegenrisiko von 1/3. (Welches der beiden Tore ist dem Kandidaten allerdings noch nicht bekannt).

Das Öffnen des Ziegentores ändert also weder die Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch die gemeinsame Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von insgesamt 2/3).

Allerdings zeigt das Öffnen des Ziegentores die erwähnte, von Anfang an bestehende Chancen-Verteilung innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore. Das noch geschlossene nicht gewählte Tor ist also jenes, das die Gewinnchance von 2/3 und das restliche Ziegen-Risiko von 1/3 besitzt.

Hinsichtlich der Position des Autos stellt das Öffnen des Ziegentores allerdings keinerlei weitergehende Information dar. LG -- Gerhardvalentin 18:34, 21. Apr. 2009 (CEST)

Der Artikel benötigt also dringend eine klare und übersichtliche Darstellung der Ausgangslage mit den daraus zwangsläufig resultierenden Konsequenzen, die also bereits von Anfang an zwangsläufig aus der gegebenen Aufgabenstellung hervorgehen. Das heißt er benötigt eine übersichtliche und klare Darstellung aller dieser Konsequenzen. Es sind nur sehr wenige. Ein nur zögerliches Nennen nur einzelner Aspekte, hier ein wenig und dort ein wenig, hilft nicht, sondern verwirrt. Nein. Die Ausgangslage klar und vollständig in übersichtlicher Form darzustellen, samt der damit gleichzeitig gegebenen klaren Folgerungen, ist unabdingbar notwendig. LG -- Gerhardvalentin 14:12, 22. Apr. 2009 (CEST)
Gegenvorschlag: „Da die beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore aus Sicht der Regeln völlig gleichwertig sind (und insbesondere gleich wahrscheinlich geöffnet werden, unabhängig davon, ob der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt hat oder nicht), stellt das Öffnen des Tores keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar, ändert also diese Chance nicht. Auch ist von vornherein bekannt, daß mindestens eines der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege verbergen muß, so daß auch die Präsentation dieser Ziege keine weitergehnde Information darstellt.“ -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 18:57, 21. Apr. 2009 (CEST)
M.ottenbruch: Ich verstehe nicht, wie "und insbesondere gleich wahrscheinlich geöffnet werden" gemeint sein könnte. Falls der Kandidat in 2/3 der Fälle ein Nieten-Tor gewählt hat, befindet sich doch in der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore der Gewinn. Das Tor mit dem Auto wird jedoch nicht geöffnet.
"...und insbesondere gleich wahrscheinlich geöffnet werden" – kann das zutreffen? Ich verstehe nicht, wie diese Formulierung gemeint sein könnte. LG -- Gerhardvalentin 19:09, 21. Apr. 2009 (CEST)


Wenn der Kandidat von vornherein das Tor mit dem Auto gewählt hat, wird jedes der beiden anderen Tore mit gleicher Wahrscheinlichkeit geöffnet (Regel 4). Wenn der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt hat, steht das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter einem der beiden anderen Tore (Regel 1) und das jeweils andere Tor wird geöffnet (Regel 5). Daraus folgt, daß auch in diesem Fall jedes der beiden anderen Tore mit gleicher Wahrscheinlichkeit geöffnet wird. Also wird sowohl wenn der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt hat, als auch wenn nicht (also er ein Tor mit einer Ziege gewählt hat), jedes der beiden anderen Tore mit gleicher Wahrscheinlichkeit geöffnet. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 23:27, 21. Apr. 2009 (CEST)

@alle:

Einfache Erklärung und Beweis in einem:

Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 beträgt, wird an dem Beispiel gezeigt, dass der Kandidat zunächst Tür 1 wählt und der Moderator die Ziegentür 3 öffnet:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tür 2 steht und der Moderator Tür 3 öffnet, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht und der Moderator Tür 3 öffnet.

Denn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Moderator Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, ist nach Spielregel 5 gleich 1, während die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 1 steht, nach Spielregel 4 gleich 1/2 ist.

(In ähnlich einfacher Weise kann man die Lösung des Bertrandschen Problems erklären und beweisen, das Gero von Randow in seinem Buch zum Ziegenproblem in folgender Variante vorstellt (S. 51):

Drei Karten sind im Spiel: eine ist beidseitig weiß, die andere beidseitig rot, und die dritte Karte hat eine rote und eine weiße Seite. Die Karten liegen verhüllt unter einem Tuch ... Jetzt dürfen Sie ... eine der Karten hervorholen und sie auf den Tisch legen. Sie sehen eine weiße Kartenseite. Wollen Sie darauf wetten, dass die andere Seite der Karte ebenfalls weiß ist?

Die Antwort lautet: Es gibt drei (gleichwahrscheinliche) Möglichkeiten. Bei zwei davon ist auch die Rückseite weiß.)

--Albtal 20:46, 21. Apr. 2009 (CEST)

Richtig, und ohne es als Solches anzudeuten, handelt es sich um bedingte W'keiten. Im letzteren Fall vorausgesetzt dass die Karte schon eine weiße Seite aufweist. Nijdam 23:17, 21. Apr. 2009 (CEST)
So wie das erste formuliert ist, handelt es sich tatsächlich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Allerdings nicht um solche, die berechnet werden müssen, sondern um solche, die in der Aufgabenstellung explizit vorgegeben sind und aus ihr zitiert werden, also gerade nicht mehr Gegenstand des Beweises sind.
Auch das zweite geht ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten: Es sind sechs Kartenflächen im Spiel, davon drei weiße. Eine von denen hat man zwingend vor sich. Zwei davon haben auf der Rückseite eine weiße Fläche, eine eine rote. q.e.d. Viel schöner finde ich das Ganze allerdings als Geschwisterproblem:
Eine Ehepaar habe zwei Kinder. (Jungen und Mädchen seien hierbei gleichwahrscheinlich.) Bekannt ist, daß eines davon ein Junge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das andere ein Mädchen ist?
-- M.ottenbruch ¿⇔! RM 23:40, 21. Apr. 2009 (CEST)
Du vergisst einiges. Zwar sieht mann eine weiße Fläche, aber dass ist die Seite einer Karte die beliebig gewählt ist. Die Karte hätte auch eine rote Seite aufweisen können. Weil die Seite anscheinend weiß ist, bildet sie die Bedingung für weitere Fragen. Ich weiss nicht wie du sonst die Frage beantworten willst. Dass kann man natürlich ohne das Wort "Bedingung" zu benutzen, aber implizit handelt es sich trotzdem darum. Nijdam 15:18, 22. Apr. 2009 (CEST)
Leider vergißt Du anzugeben, was ich vergessen haben soll. Tatsache ist, daß man nicht nur anscheinend, sondern tatsächlich eine der drei gleichwahrscheinlichen im Spiel befindlichen weißen Flächen sieht. Aus den Spielregeln geht klar hervor, wie die dazugehörigen Rückseiten aussehen: eine ist rot, die beiden anderen sind weiß. So what? Stell Dir vor, Du hättest drei Karten: eine hat vorne eine „1“, hinten eine „2“, die zweite hat vorne eine „3“, hinten eine „4“, die dritte hat vorne eine „5“, hinten eine „6“. Die Karten liegen verhüllt unter einem Tuch. Jetzt darfst Du eine der Karten hervorholen und sie auf den Tisch legen. Du siehst eine Zahl n mit 1 ≤ n ≤ 3. Willst Du darauf wetten, daß auf der anderen Seite der Karte ebenfalls eine Zahl m mit 1 ≤ m ≤ 3 ist?
Das geht durch Abzählen ohne Rechnen. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:09, 22. Apr. 2009 (CEST)
(BTW: Abzählen ist auch Rechnen.) Was hast du vergessen. Im erwähnten Spiel gibt es wieder Stufen. Die erste Stufe ist auch wichtig. Wenn ich von den drie Karten immer nur die rot/weiße oder die rot/rote wähle, entsteht eine ganz andere Situation. Also ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit die W'keit mit dem eine Karte gezogen wird. Das Ereignis dass die Karte eine weiße Seite aufweist, bildet fürs weitere eine Bedingung. Alles kann durch einfaches abzählen "berechnet" werden, das ist in der diskreten W'keitsrechnung nun mal so. Obwohl das Abzählen mal langweilig werden kann und ziemlich lange dauern. Nijdam 01:14, 23. Apr. 2009 (CEST)
Da die Karten verdeckt liegen, kannst Du Dir nicht aussuchen, welche Seite Du aufdeckst, insbesondere auch nicht, welche Karte. Daß eine Seite aufgedeckt wird, ist Teil der Aufgabenstellung und steht nicht zur Disposition. Vielmehr sind alle sechs Flächen mindestens implizit gleichwahrscheinlich. Es ist allerdings eine legitime Betrachtungsweise — ungeschickt und verkomplizierend, aber legitim! —, zunächst darauf abzustellen, welche der drei Karten gezogen wird. Diese Betrachtungsweise ist aber weder zwingend, noch notwendig, noch auch nur vorteilhaft. Es ist genauso legitim, gleich auf die sechs im Spiel befindlichen Flächen abzustellen sowie auf deren bekannte Eigenschaften, insbesondere die Eigenschaft „Farbe der gegenüberliegenden Fläche“. Ich mache Dir einen Kompromißvorschlag: ich konzediere, daß Du in der Lage bist, jede beliebige Fragestellung auf eine bedingte Wahrscheinlichkeit abzubilden („Die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß die Summe der Innenwinkel eines Polygons 180° beträgt, ist unter der Voraussetzung, daß es sich bei dem Polygon um ein Dreieck handelt, gleich 1.“), und Du hörst dafür auf, das andauernd beweisen zu wollen. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 09:00, 23. Apr. 2009 (CEST)
(BK) Das erstere wirkt korrekt, wenn auch auf den ersten Blick etwas verwirrend. (Das zweite stimmt natürlich.) Allerdings ist es auch bei dieser Erklärung notwendig, darauf hinzuweisen, daß aufgrund der Gleichwertigkeit der Türen das auch für jeden andere denkbare Kombination von ursprünglicher Wahl des Kandidaten und vom Moderator geöffneter Tür gilt. Man müßte tatsächlich mal prüfen, welche am Ende kürzer ist. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 23:27, 21. Apr. 2009 (CEST)

@Nijdam @M.ottenbruch @Hutschi @alle

In der Tat geht bei meiner "Einfachen Erklärung und Beweis in einem" leider nur "implizit" die Voraussetzung mit ein, dass die Wahrscheinlichkeit zu Beginn des Spiels laut Spielregel 1 für alle 3 Türen gleich 1/3 ist. Das ist nicht schön. Denn der Schluss vom letzten Satz meiner Begründung zur Ausgangsbehauptung setzt genau diese Spielregel voraus.

Man sollte deshalb unten einen Satz der folgenden Art hinzufügen:

Da zu Beginn des Spiels nach Spielregel 1 das Auto mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter Tür 1 oder Tür 2 steht, ergibt sich daraus die Ausgangsthese.

Nijdam hat recht damit, dass auch dieser Satz gut mit "bedingten Wahrscheinlichkeiten" zu begründen ist. Ein zusätzlicher Satz sollte also etwa so lauten (auch der "normale" Wkipedia-Leser wird es überleben ...):

Denn die beiden "bedingten Wahrscheinlichkeiten" 1 und 1/2 müssen jetzt nur noch jeweils mit dem gleichen Faktor 1/3 multipliziert werden, um das behauptete Resultat zu erhalten:

1 * (1/3) = 1/3 bzw. (1/2) * (1/3) = 1/6

Für Tür 2 ergibt sich damit die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/3) / (1/3 + 1/6) = 2/3, für Tür 1 die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/6) / (1/3 + 1/6) = 1/3.

Das wäre also mein Vorschlag, um die "Einfache Erklärung" auch streng mathematisch vollständig und "wasserdicht" zu machen. Da es ein Beweis ist, sollte die Überschrift anders lauten. Allerdings kommt diese "Einfache Erklärung" (oder welche Überschrift sie in Zukunft auch haben mag) immer mehr an den Abschnitt "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" heran, der früher "Detaillierte Begründung" hieß. Dieser sollte wohl trotzdem im Artikel bleiben (gleich im Anschluss an den hier diskutierten), da sich die Herangehensweise dort doch etwas unterscheidet und die Aussagen dort nicht ganz unter den Tisch fallen sollten. Gerade wer die erste Erklärung doch nicht ganz versteht oder einen systematischen Lösungsweg mit mehreren Einzelschritten bevorzugt usw., könnte dort zusätzliche Informationen erhalten.

Die einleitende Ausgangsthese würde ich noch um den Satz ergänzen: Für die anderen möglichen Kombinationen verläuft der Beweis völlig analog.

--Albtal 12:39, 22. Apr. 2009 (CEST)

Mit diesen Ergänzungen ist es auch deutlich umfangreicher als der jetzige Vorschlag für die einfache Erklärung. Der Charme dieser Deiner Lösung besteht allerdings IMHO darin, daß sie die Gleichwertigkeit der verschiedenen Tore gleich zweimal zur Vereinfachung der Betrachtung nutzt (einmal im expliziten Hinweis auf Regel 1, einmal im Hinweis auf das analoge Abspiel bei allen anderen denkbaren Kombinationen) und so jede Fallunterscheidung überflüssig macht. Der Eleganz gebührt Respekt. Chapeau! -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:09, 22. Apr. 2009 (CEST)
Nachtrag: Du schreibst oben: „Denn die beiden "bedingten Wahrscheinlichkeiten" 1 und 1/2 müssen jetzt nur noch jeweils mit dem gleichen Faktor 1/3 multipliziert werden, um das behauptete Resultat zu erhalten:“ Dieser "gleiche Faktor" ist AFAIU die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Auto von vornherein hinter der betreffenden Türe steht. Setzt man die Gleichwahrscheinlichkeit als gegeben voraus, ist die Multiplikation überflüssig, denn 1/2 / (1 + 1/2) = 1/3 und 1 / (1 + 1/2) = 2/3 -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:15, 22. Apr. 2009 (CEST)
Stimmt genau. Ich habe ".. gemeinsamen ..." geschrieben, um dezent anzudeuten, dass es sowieso egal ist, wie der Faktor heißt, wenn ich anschließend den Quotienten bilde. Nur gleich müssen die Faktoren eben sein. Schöner wäre es in der Tat, wenn man die letzten Sätze weglassen könnte. Aber ich denke, dass es etwas hilfreich für das Verständnis ist, wenn man genau sieht, dass die Ausgangswahrscheinlichkeit 1/3 für alle Türen hier erscheint. "Implizit" (und mathematisch präzise) ist damit auch die Definition (bzw. der Satz) für bedingte Wahrscheinlichkeiten mit allen drei Termen "gefüttert".
--Albtal 14:03, 23. Apr. 2009 (CEST)


Ich stelle den folgenden Formulierungsvorschlag als Sachverhalts-Darstellung in den Artikel und bitte um Sachlichkeit bei der Beurteilung:

Erklärung der Problemlösung

[Nijdam]Ich bin so frei mein Kommentar hinein zu fügen. (NB: du hasst oben auch noch zwei hausaufgaben. BTW: du machtst es dir und mir leichter nicht immer so viele Worte zu benutzen

Der Kandidat wählt eines von drei Toren. Hat er mit seiner Wahl Glück, so befindet sich hinter dem von ihm gewählten Tor das Auto, und hinter den zwei anderen, von ihm nicht gewählten Toren befinden sich die zwei Ziegen. Das trifft aber nur in 1/3 aller Fälle zu. In 2/3 der Fälle befindet sich hinter dem von ihm gewählten Tor jedoch leider eine der beiden Ziegen, und hinter den zwei anderen, nicht gewählten Toren befinden sich die zweite Ziege und das Auto. In 2/3 der Fälle hat er also Pech.

Doch jetzt öffnet der Moderator aus der Gruppe der beiden anderen Tore eines, das eine Ziege zeigt. Und er bietet dem Kandidaten an, er könne auf das andere, nun noch verschlossene Tor wechseln. Der Kandidat überlegt. Er verschafft sich Klarheit über die geltende Spielregel und damit über alle Aspekte der nun gegebenen Situation:

Bevor der Kandidat seine Wahl getroffen hat, gibt es gemäß der Spielregel:
1 Auto, 2 Ziegen und drei verschlossen Tore. Jedes Tor hat (am Anfang) die gleiche Wahrscheinlichkeit=1/3 das Auto zu enthalten, und jedes besitzt am Anfang ein "Ziegen-Risiko" von je 2/3.
(Wichtig für mathematische Theoreme: Die Spielregel sieht zwei ganze Ziegen vor und es gibt niemals zwei Autos, sondern nur eines).

[Nijdam] Es gibt keine Gewinnchance wenn der Kandidat nicht gewählt hat. Was bedeutet 'Ziegen-Risiko'?
Was willst Du damit ausdrücken? Der Kandidat hat Wahlfreiheit und überlegt, welches Tor er wählen wird. "Jedes Tor hat die gleiche Gewinnchance=1/3" oder "die gleiche Wahrscheinlichkeit=1/3 das Auto zu enthalten" –was ist besser? Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Also: Jedes Tor hat (am Anfang) die gleiche Wahrscheinlichkeit=1/3 das Auto zu enthalten. Das ist alles. Bleibe bei diese Bewortung. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))

Sobald der Kandidat jedoch eines der drei Tore (mit einer Einzel-Gewinnchance=1/3 und einem Einzel-Ziegen-Risiko=2/3) wählte, hatte sich ja eine neue Situation ergeben:

[Nijdam] Was meinst du mit 'Einzel-Gewinnchance' und 'Einzel-Ziegen-Risiko'?
Welche Begriffe sollen verwendet werden? Du kannst jedes einzelne Tor "als einzelnes Tor" betrachten. Du kannst – wenn es sich um eine Gruppe von Toren, beispielsweise "um die Gruppe der 2 nicht gewählten Tore" handelt, ebenfalls jedes der beiden Tore dieser Gruppe "als einzelnes Tor" mit einer Gewinnchance von je 1/3 betrachten:
Tor 1+2, auch
Tor 1+3 oder auch
Tor 2+3.
Die Chance jedes einzelnen, für sich allein betrachteten Tores, nannte ich hier die "Einzel-Gewinnchance". Bei Betrachtung als "einzelnes Tor". Du und jeder andere, ihr habt aber jederzeit auch genauso gut die Möglichkeit, die Gruppe der 2 nicht gewählten Tore als Gruppe von 2 Toren zu betrachten. Das steht Dir und jedem anderen jederzeit frei. Und siehe: Bei der Betrachtung der beiden genannten Tore "als gemeinsame Gruppe von zwei Toren" bleibt zwar die SUMME der beiden Einzel-Gewinnchance selbstredend gleich. Aber unter diesem Betrachtungswinkel, als Gruppe von 2 Toren betrachtet, kommt nun ein weiterer Aspekt hinzu. Das habe ich bereits im Februar im Artikel ausgedrückt. Der neue Aspekt lautet: Es gibt nur ein Auto, also kann sich in der Gruppe der 2 nicht gewählten Tore auch maximal nur ein einziges Auto befinden. Das bedeutet weiter, dass aus diesem neuen Aspekt heraus, bei Betrachtung der Gruppe von 2 Toren als gemeinsame Gruppe von 2 Toren plötzlich die objektive, durch die Spielregel belegte (Die Spielregel sagt ausdrücklich: Es GIBT himmeldonnerwetter nur ein einziges Auto) dass also die durch die Spielregel belegte, objektive Aussage möglich ist: "Gleichzeitig ist gegeben (da diese Gruppe von 2 Toren nur MAXIMAL ein einziges Auto enthalten kann), dass zumindest eines dieser beiden Tore eine ganze Ziege enthalten muss". Allerdings ist dem Kandidaten noch nicht bekannt, welches der beiden nicht gewählten Tore das betrifft. Sicher ist nur: zumindest EINES der beiden Tore MUSS eine Ziege enthalten. Erst später zeigt der Moderator eine Ziege. Das zeigt nur deren Position an, und damit die Position des "anderen", des noch verschlossen bleibenden Tores. Nochmals: Mehr nicht! Nicht so viele Worte? Wie ist das zu formulieren, damit es endlich verstanden wird? Seit meinem ersten Beitrag auf dieser Seite, seit über zwei Monaten, versuche ich vergeblich darzustellen, dass BEIDE Betrachtungsweisen möglich, gültig und zulässig sind. Und bei objektiver Beurteilung zu objektiven Feststellungen führen können. Dass somit ALLE Bedingungen der Spielregel und deren Aspekte zu berücksichtigen sind. Dass also wesentliche Aspekte nicht ignoriert werden sollen. Bitte hilf mit, das verständlich zu machen. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Lasse den Himmel aus dem Spiel. Also nochmals: Jedes Tor hat (am Anfang) die gleiche Wahrscheinlichkeit=1/3 das Auto zu enthalten. Das ist alles. Bleibe bei diese Bewortung. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))

In der Restmenge der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore muss sich nun zwangsläufig definitiv zumindest eine Ziege befinden, mit einer Gewinnchance=0 und einem Ziegen-Risiko=1, denn gemäß Spielregel gibt es nur ein Auto.

[Nijdam] Was bedeutet 'Ziege mit einer Gewinnchance=0 und einem Ziegen-Risiko=1?
Das eine Tor, hinter dem die für die Gruppe der beiden nicht gewählten Tore als "Ziegen-Minimum=1" steht. Dieses Tor (samt der garantierten Ziege) hat eine Gewinnchance=0. Es ist dem Kandidaten allerdings noch nicht, für welches der beiden nicht gewählten Tore das zutrifft. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Also: Eins der nicht gewählten Toren enthält eine Ziege. Wussten wir doch schon längst. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))

Beweis: Die gemeinsame Gewinnchance (je 1/3) der beiden nicht gewählten Tore beträgt gemäß Spielregel 2/3 (es sind 2 von 3 Toren und es gibt nur 1 Auto) und deren gemeinsames Ziegen-Risiko (je 2/3) beträgt 4/3, also 1 1/3 (es sind 2 von 3 Toren und es gibt zwei ganze Ziegen).

[Nijdam] Ich verstehe nichts. Was meinst du mit 'gemeinsame Gewinnchance'? Vermutlich nur dass das Auto mit 2/3 Chance sich in der Restmenge befindet. Aber es betrifft dann Anfangschancen, bevor ein Tor geöffnet ist. Und 'Ziegen-Risiko 4/3' ist mir komplett unverständlich.
Nein. Nicht nur um die Anfangschancen. Da das Öffnen des Ziegentores für einen objektiven Betrachter keinerlei Relevanz hinsichtlich der Gesamt-Gewinnchance der Gruppe der 2 nicht gewählten Tore haben kann, da es keinerlei neue Informationen hiezu lieferte, besteht diese Anfangschance jetzt weiterhin. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Hierum dreht sich den ganzen Kritik. Wenn du deine Aufgaben gemacht hast, müsstest du jetzt den Unterschied verstehen zwischen Chancen bevor und nach dem Öffnen. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))

Nochmals zur Verdeutlichung:
Die gemeinsame Gewinnchance der zwei nicht gewählten Tore (je 1/3) beträgt 2/3,

[Nijdam] Du meinst: die Chance dass das Auto am Anfang hinter eins der zwei nicht gewählten Tore ist.
Genau. Besser formuliert: Dass das Auto in der gemeinsamen Gruppe der beiden nicht gewählten Tore ist. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Bevor dem Öffnen. (14:28, 28. Apr. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

wobei jetzt, da zwei Tore ja ohne weiteres jederzeit auch als Gruppe von zwei Toren betrachtet werden können gegeben ist, dass höchstens eines dieser beiden Tore das einzige im Spiel befindliche Auto enthalten kann. Das andere nicht gewählte Tor muss somit "garantiert" ein Ziegentor sein. Welches der beiden Tore "das eine" und welches der beiden Tore "das andere" sein könnte, war nach der Wahl des Kandidaten allerdings noch unbekannt. Fest stand seit der Wahl nur, dass eines davon zwangsläufig ein Ziegentor mit einer Gewinnchance=0 sein muss. Die gemeinsame Gewinnchance der beiden Tore von insgesamt 2/3 bleibt jedoch von diesem möglichen Betrachtungswinkel völlig unberührt, und trotz dieser Gewinnchance könnten allerdings auch beides Ziegentore sein, denn eine Gewinnchance von 2/3 führt nur in 2/3 aller Fälle zum Gewinn.

[Nijdam] Hier liegt immer wieder deinen Gedankenfehler. Am Anfang haben die zwei nicht gewählten Tore zwar eine Chance 2/3 dass das Auto sich hinter eins dessen befindet. Nach dem Öffnen aber wissen wir das nicht mehr.
Das ist eine unbewiesene und unzutreffende Behauptung. Das macht diese Diskussion ja leider so fruchtlos. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Das ist keine Behauptung, aber Tatsache. Wenn ein Tor geöffnet wird tritt eine neue Situation ein. Das benutzt du auch selbst, denn sonst wäre die W'keit aufs Auto hinterm geöffneten Tor noch immer 1/3. Am Anfang war sie 1/3, nach dem öffnen 0. Siehst du dass sich die Situation geändert hat? In dieser Situation gibt es neue W'keiten für alles. Alle müssen aufs neue bestimmt werden. Nur hierauf musst du dich konzentrieren. Der Rest ist Nebensache. (nicht signierter Beitrag von Nijdam (Diskussion | Beiträge) 14:28, 28. Apr. 2009 (CEST))
Es ist eine unbewiesene und unzutreffende Behauptung, wie Gerhardvalentin ganz richtig festgestellt hat. Im Gegensatz zu Dir ist er sehr wohl in der Lage, zu erkennen, welche Wahrscheinlichkeiten durch das regelkonforme Öffnen einer Türe beeinflußt werden können und welche nicht. Für Deine Behauptung, daß sich alle Wahrscheinlichkeiten ändern müssen, bist Du nach wie vor jeden Beleg schuldig, obwohl Du oft genug danach gefragt worden bist. Ich bewundere allerdings Gerhardvalentins Geduld, immer weiter zu versuchen, sich mit Dir auseinanderzusetzen, obwohl Du selbst zwar gerne bereit bist, anderen Hausaufgaben aufzudrücken und ultimativ Erklärungen einzufordern, Deinerseits auf Rückfragen zu Deinen verworrenen Theorien aber eher selten reagierst. Ich kann zwar durchaus nachvollziehen, daß Du die Frage nicht beantworten kannst, warum sich die Wahrscheinlichkeit, daß der Kandidat vor vornherein die Türe mit dem Auto gewählt hat, nachträglich durch das regelkonforme Öffnen einer Türe ändern sollte. Du solltest dann aber auch aufhören, solchen Unsinn zu behaupten. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:13, 28. Apr. 2009 (CEST)

Ausschließlich unter Zugrundelegung der Bestimmungen der Spielregel ergab sich, sobald der Kandidat seine Wahl getroffen hatte, zwingend folgende "Ausgangssituation":

  • Das gewählte Tor besitzt eine Gewinnchance=1/3 und ein Nieten-Risiko=2/3 (mehr ist darüber nicht bekannt).
[Nijdam] Alles, wie gesagt, am Anfang. Der Rest hierunter stützt auf den Gedankenfehler.
Das ist eine völlig unbewiesene Behauptung. Gerhardvalentin 02:08, 28. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Siehe oben. Nijdam 14:18, 28. Apr. 2009 (CEST)
  • Eines der beiden anderen, nicht gewählten Tore besitzt zwangsläufig eine Gewinnchance=0 und ein Ziegen-Risiko=1. Welches der beiden Tore dies im Einzelfall zufällig betrifft, war vorerst noch ungewiss. Seine Position ist dem Kandidaten erst jetzt, mit dem Öffnen dieses garantierten Ziegentores, gezeigt worden. Jetzt ist seine Position bekannt, es steht offen, und eine Ziege steht dahinter.
  • Das andere, jetzt noch verschlossene zweite Tor besitzt unter Zugrundelegung der Spielregel somit zwangsläufig eine Gewinnchance=2/3 und ein restliches Ziegen-Risiko=1/3, d. h. in jenem Drittel aller Fälle, in denen der Kandidat zufällig das Tor mit dem Auto gewählt haben sollte, wird sich auch hinter diesem zweiten Tor eine (eben nicht garantierte) Ziege befinden. Dennoch ist seine Chance auf das Auto aber 2/3. Welches der beiden Tore dies im Einzelfall zufällig betrifft, war nach der Wahl des Kandidaten vorerst noch ungewiss. Erst jetzt, mit dem Öffnen des anderen, zwangsläufig vorhandenen, garantierten Ziegentores ist seine Position bekannt geworden: Es ist das jetzt noch verschlossene Tor.

Durch das Öffnen des einen (in der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore zwangsläufig enthaltenen) Ziegentores wurde nun also lediglich die Position des garantierten Ziegentores gezeigt, und damit ist nun auch die Position des anderen (jetzt noch verschlossenen) Tores mit der Gewinnchance von 2/3 und dem restlichen Ziegen-Risiko=1/3 bekannt. Mehr als diese beiden Positionen ist nicht gezeigt worden. Die Gewinnchance des zweiten, noch verschlossen gebliebenen Tores ist mit 2/3 zwar doppelt so hoch wie die Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores, dennoch besitzt es ein Rest-Risiko, ebenfalls eine Ziege zu enthalten, von 1/3.

Das Öffnen des Ziegen-Tores hat also zwar die (bereits seit der Tor-Wahl bestehende) Chancen-Verteilung innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore bestätigt und offen gelegt, mehr jedoch nicht! Es hat darüber hinaus keinerlei weitere Information gebracht. Weder hinsichtlich der Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der Gewinnchance für die Gruppe der beiden nicht gewählten Tore (von insgesamt 2/3), noch hat es irgend einen Hinweis zur tatsächlichen Position des Autos geliefert. Alle jene Wahrscheinlichkeiten sind, seitdem der Kandidat seine Wahl getroffen hat, auch durch das Öffnen des einen garantierten Ziegentores, nachweislich völlig unverändert gleich geblieben.

Dieser oben dargelegte Sachverhalt ergibt sich ausschließlich aus den bereits in der Spielregel festgelegten Bestimmungen und den sich daraus zwangsläufig ergebenden Folgen. Korrekt erstellte mathematische Berechnungen bilden diesen Sachverhalt lediglich ab und führen daher ebenfalls alle zu dem selben Ergebnis:

Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores: 1/3
Gewinnchance des anderen, nicht gewählten und noch verschlossenen Tores: 2/3
Das eigentliche Paradoxon besteht darin:
Für den oberflächlichen Beobachter ist nicht sofort, ohne weitere Analyse intuitiv einsehbar, dass für zwei Tore (die ja sogar garantiert zumindest eine Ziege enthalten), dennoch gilt, dass damit automatisch das andere dieser beiden Tore die doppelte Gewinnchance besitzt wie ein einzelnes zu wählendes Tor. Und er vermutet irrtümlich eine 1:1-Chance.

Fazit:
In jenem Drittel aller Fälle, in denen der Kandidat zufällig von Anfang an das Gewinn-Tor gewählt haben sollte, würde er durch einen Wechsel verlieren, und er gewinnt durch ein Beharren. In den anderen zwei Dritteln aller Fälle, in denen er eines der beiden Ziegentore gewählt haben sollte, gewinnt er durch einen Wechsel und verliert beim Beharren. Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat somit seine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3. LG -- Gerhardvalentin 20:18, 22. Apr. 2009 (CEST)

Das ewige "WARUM DENN NUR ?" sollte berücksichtigt und beantwortet werden. Wer stellt diese "Erklärung der Problemlösung" ganz oben in den Artikel? Wie angekündigt werde ich es sonst selbst wagen und bitte vor allem um sachliche Argumente. Grüße -- Gerhardvalentin 00:24, 23. Apr. 2009 (CEST)
[Nijdam] Du wiederholst dich, sagst in andere Bewortungen das Gleiche, usw. Betrachte nur deinen Gedankenfehler.Nijdam 23:28, 27. Apr. 2009 (CEST)

Taschenspielerei

Dieses ganze sogenannte Ziegenproblem beruht doch nur auf einem Taschenspielertrick. In Wirklichkeit werden doch zwei Spiele gespielt. Beim ersten Spiel hat der Kandidat die Aufgabe, eine von drei Türen auszuwählen, weiter nichts. Damit ist das Spiel auch schon beendet, es wird gar nicht weiter exekutiert. Es gibt nichts zu gewinnen und nichts zu verlieren, es ist reine Spiegelfechterei. Statt dessen beginnt ein völlig neues Spiel, bei dem der Kandidat die Aufgabe hat, zwischen zwei Türen zu wählen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, ganz klar, 50:50, da kann er hin- und herwechseln, sooft er will.

Der wirkliche Trugschluß liegt darin, daß man anschließend die Wahrscheinlichkeit des ersten, längst abgeschlossenen oder vielmehr gar nicht wirklich durchgeführten Spiels heranzieht und mit der Wahrscheinlichkeit des zweiten Spiels verquickt.

Selbstverständlich führen diese mathematischen Berechnungen zu mathematisch korrekten Resultaten, daran ist nicht zu rütteln. Dennoch braucht sich der Kandidat keine grauen Haare wachsen zu lassen bei dem Gedanken, er hätte durch irgendeine Entscheidung eine höhere Gewinnchance erzwingen können. Seine Chance war 50:50. Alles andere wird ihm nur durch die unzulässige rechnerische Vermischung mit der Scheinkonstruktion des ersten Spiels vorgegaukelt.

Der Fehler in den diversen "Beweisführungen" liegt wohl dementsprechend darin, daß nur immer und immer wieder die Varianten einer solchen Gewinnshow betrachtet werden. Betrachtet man aber mal eine ganze Anzahl solcher Shows, dann, da bin ich ganz fest überzeugt, wird man feststellen, daß ungefähr in 50% der Fälle der Kandidat mit einem Auto abzieht.

Unbestreitbar ist freilich der Unterhaltungswert dieses diabolischen Juxes, wie auch diese Disk zeigt. --Epipactis 23:11, 22. Apr. 2009 (CEST)

Lies bitte einfach, was oben auf der Diskussionsseite steht. Insbesondere den Teil mit der experimentellen Beweisführung. MfG--Unikram 23:46, 22. Apr. 2009 (CEST)
Danke für den berechtigten Hinweis. Du willst fragen, was mein Beitrag mit dem Artikel zu tun hat. Folgendes: Ich finde es illoyal, wenn im Artikel Tatsachenbehauptungen aufgestellt werden, und der zugrundeliegende offensichtliche und äußerst triviale Trick nicht als solcher erkennbar gemacht wird. Jedenfalls handelt es sich keinesfalls um ein mathematisches "Problem" oder einen auch nur halbwegs interessanten Fall der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das Phänomen hat wirklich ausschließlich Verblüffungs- und damit Unterhaltungswert. Das sollte man unmißverständlich vermerken, und auch die wahre Lösung offenlegen. Ich habe leider keine entsprechenden enzyklopädischen Nachweise, darum werde ich mich auch am Artikel nicht vergreifen. Vielleicht gibt es wirklich noch keine entsprechende Veröffentlichung, dann heißt es einfach abwarten. Mein Diskussionsbeitrag kann und soll dann zur Aufmerksamkeit in dieser Richtung anregen, weiter gedenke ich mich nicht zu äußern. Nur dieses sei mir noch nachgesehen und verziehen:

Im Artikel heißt es falsch:

Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter diesem Tor 1. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird entweder die Ziege von Tor 2 oder Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter Tor 2. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter Tor 3. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.


Dabei wird einfach ein Fall vermittels "entweder/oder" unterschlagen.


Richtig wäre:

Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter diesem Tor 1. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter diesem Tor 1. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter Tor 2. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
Der Kandidat wählt Tor 1 und das Auto steht hinter Tor 3. Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von vier Fällen durch einen Wechsel.

Und ciao. --Epipactis 00:50, 23. Apr. 2009 (CEST)

Wir verzeihen dir, haben deinen Einwand geprüft (er enthält den Fehler, dass bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 für jede der von dir genannten Möglichkeiten offenbar das Auto häufiger in Feld eins liegt, als in Feld zwei oder drei) und versuchen es mit einem
erledigt, --Erzbischof 01:00, 23. Apr. 2009 (CEST)

@M.ottenbruch @Nijdam @Hutschi @Epipactis @Erzbischof @alle

Gerade einige der letzten Beiträge zeigen, wie wichtig es ist, die "Einfache Erklärung und Beweis in einem" in ihrer vorgeschlagenen (und offensichtlich von denen, die ihn beachtet haben, akzeptierten) Form als ersten Abschnitt in den Artikel zu bringen. Ich werde es jetzt unter der Überschrift "Beweis" tun.

Außerdem werde ich den aktuell unter "Begründung mit Wahrscheinlichkeiten" im Artikel stehenden Abschnitt als zweiten Abschnitt unter der Überschrift "Beweis mit detaillierten Einzelschritten" einfügen, da seine etwas andere Herangehensweise für bestimmte Leser (z.B. auch für Lehrer und Schüler) hilfreich sein könnte.

Andere Abschnitte im Artikel sollten dann zumindest die Existenz dieser beiden Abschnitte (und natürlich die Spielregeln) nicht ignorieren. Das gleiche gilt natürlich für Diskussionsbeiträge in diesem Forum.

Die Beiträge von Epipactis haben durchaus Sinn, sofern man sie auf Diskussionsbeiträge der letzten Zeit (und der letzten 20 Jahre) bezieht. Denn zahlreiche dieser Beiträge beziehen sich höchstens "implizit" auf die Spielregeln, und ihre "Argumentation" unterscheidet sich kaum von der um die Welt gegangenen und in der "Literatur" vorherrschenden "Scherzaufgabe" zum Ziegenproblem.

Der Inhalt des Abschnitts "Schema für die Wechselstrategie" wird in der vorliegenden Form tatsächlich in zahlreichen Artikeln zum Ziegenproblem zur Begründung der 2/3-Lösung auf der Basis einer Aufgabenstellung herangezogen, die überhaupt keine 2/3-Lösung hat. Dass Epipactis 4 Fälle daraus macht, ist vollkommen korrekt. Falsch sind nur die Wahrscheinlichkeiten, die er den Fällen zuordnet. Denn auf Grund von Spielregel 4 sind die Wahrscheinlichkeiten für seine ersten beiden Fälle jeweils gleich 1/6, für die beiden anderen jeweils 1/3. Und durch Öffnen einer Tür fällt einer der 1/6- und einer der 1/3-Fälle weg. Die beiden übriggebliebenen Wahrscheinlichkeiten verhalten sich wie 2:1.

Auch der Abschnitt "Begründung über Wertetabelle" sollte unter diesem Aspekt überarbeitet werden.

(In diesem Zusammenhang sei auch erwähnt, dass die Episode der Veröffentlichung der beiden Artikel von Stefan Krauss und Silke Atmaka bzw. von Stafan Krauss und X.T. Wang in den Jahren 2003 bzw. 2004, gefolgt von zwei ZEIT-Artikeln im Jahr 2004, einen der Tiefpunkte der Debatte zum Ziegenproblem darstellt.)

(Zu dieser ganzen Problematik dürften mein Beitrag "Ziegenproblem 1990 - 2008" vom August 2008 sowie meine anschließenden Diskussionsbeitäge sehr aufschlussreich sein; er stellt auch für Leser und Diskussionsteilnehmer eine Unterstützung dar, die bei den Aufgabenstellungen von Marilyn vos Savant und Gero von Randow auf einer 50:50-Lösung beharrten. Wer, nachdem er die Spielregeln des Wikipedia-Artikels und die ersten beiden Abschnitte "Beweis" und "Beweis mit detaillierten Einzelschritten" gelesen hat, noch Fragen hat, kann sie auch gern auf meiner privaten Diskussionsseite stellen.)


Der Abschnitt "Satz von Bayes" enthält, wie oben in einem Beitrag schon angedeutet, tatsächlich keinen Hinweis darauf, dass das Beispiel behandelt wird, dass zunächst Tür 1 gewählt wird.

Gravierender ist aber, dass dieser Abschnitt (nach meiner Erinnerung war er schon mal besser), der ja eigentlich streng mathematisch sein sollte, aus meiner Sicht im Ergebnis nur eine Aussage über die "Durchschnittswahrscheinlichkeit" 2/3 macht, und Regel 4 wird völlig ignoriert. (Das war uns ja schon bei der "Einfachen Erklärung zu wenig.)

Wer den Abschnitt "Satz von Bayes" korrigieren und präzisieren möchte, kann sich ja beispielsweise an den Artikel von Marc Steinbach halten (S.7), der als 2. Einzelnachweis unten im Wikipedia-Artikel angegeben wird. Ich selbst würde es auch übernehmen, habe im Moment aber keine Zeit dazu.

Aus Zeitgründen muss ich meine Mitarbeit am Artikel vorübergehend einstellen. Für Antworten auf konkrete Fragen oder Hinweise auf Fehler oder Unstimmigkeiten sowie für die Beantwortung von Fragen auf meiner privaten Diskussionsseite wird es aber hoffentlich noch reichen.

Neben den einzelnen Änderungen, die ich im vorliegenden Diskussionsbeitrag erwähnt habe, bin ich natürlich nach wie vor der Auffassung, dass der Artikel insgesamt umgestaltet werden sollte. Einige Stichpunkte:

Zu dem Problem sollten möglichst korrekte, klare und verständliche Aussagen im Artikel stehen.

Der Artikel sollte möglichst "aus einem Guss" sein, d.h. u.a. einen Bogen haben, der von der Einleitung bis zum Ende erkennbar ist. Die einzelnen Abschnitte sollten nicht völlig isoliert untereinander stehen usw.

Die inzwischen 20-jährige Debatte, die Voraussetzung dafür ist, dass "Das Ziegenproblem" (zumindest in bestimmten Kreisen) so populär geworden ist, sollte einen so großen Raum einnehmen, dass sowohl diejenigen, die an der Debatte beteiligt waren, als auch alle anderen Leser, z.B. diejenigen, die nur mal nebenbei darauf gestoßen sind, klare Anknüpfungspunkte und Einordnungen sowie Klarstellungen erhalten.

Es sollte ein Zusammenhang zwischen den Literaturangaben usw. und dem Text hergestellt werden. Z.B. sollte auch die von Wikipedia gewählte Form der Aufgabenstellung im Gegensatz zu anderen Formen klar eingeordnet werden.

Ich selbst muss mich, wie gesagt, aus zeitlichen Gründen erst einmal zurückziehen. Aber wenn eines Tages diese Aufgaben mit Schwung angegangen werden sollen, bin ich vielleicht wieder dabei. Wenn sie möglichst bald ohne mich umgesetzt werden - umso besser. (Dabei können ja auch meine Vorschläge seit August 2008 verwendet werden ...)

--Albtal 14:25, 23. Apr. 2009 (CEST)

Wie weiter vorgehen?

Wir haben jetzt drei mögliche „einfache Erklärungen“ bzw. anders benannte Alternativen.

1. Die vorgeschlagenen Modifikation der bisherigen, die ich hier nochmal im Zusammenhang einfüge:

Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen.

Da die beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore aus Sicht der Regeln völlig gleichwertig sind (und insbesondere gleich wahrscheinlich geöffnet werden, unabhängig davon, ob der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt hat oder nicht), stellt das Öffnen des Tores keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar, ändert also diese Chance nicht. Auch ist von vornherein bekannt, daß mindestens eines der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege verbergen muß, so daß auch die Präsentation dieser Ziege keine weitergehnde Information darstellt.

Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht, und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür. Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto.

2. Benutzer:Gerhardvalentins Neuformulierung, die er oben unter Erklärung der Problemlösung vorgestellt hat, und die ich hier auch nochmal einfüge:

== Erklärung der Problemlösung ==

Der Kandidat wählt eines von drei Toren. Hat er mit seiner Wahl Glück, so befindet sich hinter dem von ihm gewählten Tor das Auto, und hinter den zwei anderen, von ihm nicht gewählten Toren befinden sich die zwei Ziegen. Das trifft aber nur in 1/3 aller Fälle zu. In 2/3 der Fälle befindet sich hinter dem von ihm gewählten Tor jedoch leider eine der beiden Ziegen, und hinter den zwei anderen, nicht gewählten Toren befinden sich die zweite Ziege und das Auto. In 2/3 der Fälle hat er also Pech.

Doch jetzt öffnet der Moderator aus der Gruppe der beiden anderen Tore eines, das eine Ziege zeigt. Und er bietet dem Kandidaten an, er könne auf das andere, nun noch verschlossene Tor wechseln. Der Kandidat überlegt. Er verschafft sich Klarheit über die geltende Spielregel und damit über alle Aspekte der nun gegebenen Situation:

Bevor der Kandidat seine Wahl getroffen hat, gibt es gemäß der Spielregel:
1 Auto, 2 Ziegen und drei verschlossen Tore mit einer Gewinnchance von je 1/3 und einem Ziegen-Risiko von je 2/3.
(Wichtig für mathematische Theoreme: Die Spielregel sieht zwei ganze Ziegen vor und es gibt niemals zwei Autos, sondern nur eines).

Sobald der Kandidat jedoch eines der drei Tore (mit einer Einzel-Gewinnchance=1/3 und einem Einzel-Ziegen-Risiko=2/3) wählte, hatte sich ja eine neue Situation ergeben:
In der Restmenge der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore muss sich nun zwangsläufig definitiv zumindest eine Ziege befinden, mit einer Gewinnchance=0 und einem Ziegen-Risiko=1, denn gemäß Spielregel gibt es nur ein Auto. Beweis: Die gemeinsame Gewinnchance (je 1/3) der beiden nicht gewählten Tore beträgt gemäß Spielregel 2/3 (es sind 2 von 3 Toren und es gibt nur 1 Auto) und deren gemeinsames Ziegen-Risiko (je 2/3) beträgt 4/3, also 1 1/3 (es sind 2 von 3 Toren und es gibt zwei ganze Ziegen).

Nochmals zur Verdeutlichung:
Die gemeinsame Gewinnchance der zwei nicht gewählten Tore (je 1/3) beträgt 2/3, wobei jetzt, da zwei Tore ja ohne weiteres jederzeit auch als Gruppe von zwei Toren betrachtet werden können gegeben ist, dass höchstens eines dieser beiden Tore das einzige im Spiel befindliche Auto enthalten kann. Das andere nicht gewählte Tor muss somit "garantiert" ein Ziegentor sein. Welches der beiden Tore "das eine" und welches der beiden Tore "das andere" sein könnte, war nach der Wahl des Kandidaten allerdings noch unbekannt. Fest stand seit der Wahl nur, dass eines davon zwangsläufig ein Ziegentor mit einer Gewinnchance=0 sein muss. Die gemeinsame Gewinnchance der beiden Tore von insgesamt 2/3 bleibt jedoch von diesem möglichen Betrachtungswinkel völlig unberührt, und trotz dieser Gewinnchance könnten allerdings auch beides Ziegentore sein, denn eine Gewinnchance von 2/3 führt nur in 2/3 aller Fälle zum Gewinn.

Ausschließlich unter Zugrundelegung der Bestimmungen der Spielregel ergab sich, sobald der Kandidat seine Wahl getroffen hatte, zwingend folgende "Ausgangssituation":

  • Das gewählte Tor besitzt eine Gewinnchance=1/3 und ein Nieten-Risiko=2/3 (mehr ist darüber nicht bekannt).
  • Eines der beiden anderen, nicht gewählten Tore besitzt zwangsläufig eine Gewinnchance=0 und ein Ziegen-Risiko=1. Welches der beiden Tore dies im Einzelfall zufällig betrifft, war vorerst noch ungewiss. Seine Position ist dem Kandidaten erst jetzt, mit dem Öffnen dieses garantierten Ziegentores, gezeigt worden. Jetzt ist seine Position bekannt, es steht offen, und eine Ziege steht dahinter.
  • Das andere, jetzt noch verschlossene zweite Tor besitzt unter Zugrundelegung der Spielregel somit zwangsläufig eine Gewinnchance=2/3 und ein restliches Ziegen-Risiko=1/3, d. h. in jenem Drittel aller Fälle, in denen der Kandidat zufällig das Tor mit dem Auto gewählt haben sollte, wird sich auch hinter diesem zweiten Tor eine (eben nicht garantierte) Ziege befinden. Dennoch ist seine Chance auf das Auto aber 2/3. Welches der beiden Tore dies im Einzelfall zufällig betrifft, war nach der Wahl des Kandidaten vorerst noch ungewiss. Erst jetzt, mit dem Öffnen des anderen, zwangsläufig vorhandenen, garantierten Ziegentores ist seine Position bekannt geworden: Es ist das jetzt noch verschlossene Tor.

Durch das Öffnen des einen (in der Restmenge der beiden nicht gewählten Tore zwangsläufig enthaltenen) Ziegentores wurde nun also lediglich die Position des garantierten Ziegentores gezeigt, und damit ist nun auch die Position des anderen (jetzt noch verschlossenen) Tores mit der Gewinnchance von 2/3 und dem restlichen Ziegen-Risiko=1/3 bekannt. Mehr als diese beiden Positionen ist nicht gezeigt worden. Die Gewinnchance des zweiten, noch verschlossen gebliebenen Tores ist mit 2/3 zwar doppelt so hoch wie die Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores, dennoch besitzt es ein Rest-Risiko, ebenfalls eine Ziege zu enthalten, von 1/3.

Das Öffnen des Ziegen-Tores hat also zwar die (bereits seit der Tor-Wahl bestehende) Chancen-Verteilung innerhalb der Gruppe der beiden nicht gewählten Tore bestätigt und offen gelegt, mehr jedoch nicht! Es hat darüber hinaus keinerlei weitere Information gebracht. Weder hinsichtlich der Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der Gewinnchance für die Gruppe der beiden nicht gewählten Tore (von insgesamt 2/3), noch hat es irgend einen Hinweis zur tatsächlichen Position des Autos geliefert. Alle jene Wahrscheinlichkeiten sind, seitdem der Kandidat seine Wahl getroffen hat, auch durch das Öffnen des einen garantierten Ziegentores, nachweislich völlig unverändert gleich geblieben.

Dieser oben dargelegte Sachverhalt ergibt sich ausschließlich aus den bereits in der Spielregel festgelegten Bestimmungen und den sich daraus zwangsläufig ergebenden Folgen. Korrekt erstellte mathematische Berechnungen bilden diesen Sachverhalt lediglich ab und führen daher ebenfalls alle zu dem selben Ergebnis:

Gewinnchance des ursprünglich gewählten Tores: 1/3
Gewinnchance des anderen, nicht gewählten und noch verschlossenen Tores: 2/3
Das eigentliche Paradoxon besteht darin:
Für den oberflächlichen Beobachter ist nicht sofort, ohne weitere Analyse intuitiv einsehbar, dass für zwei Tore (die ja sogar garantiert zumindest eine Ziege enthalten), dennoch gilt, dass damit automatisch das andere dieser beiden Tore die doppelte Gewinnchance besitzt wie ein einzelnes zu wählendes Tor. Und er vermutet irrtümlich eine 1:1-Chance.

Fazit:
In jenem Drittel aller Fälle, in denen der Kandidat zufällig von Anfang an das Gewinn-Tor gewählt haben sollte, würde er durch einen Wechsel verlieren, und er gewinnt durch ein Beharren. In den anderen zwei Dritteln aller Fälle, in denen er eines der beiden Ziegentore gewählt haben sollte, gewinnt er durch einen Wechsel und verliert beim Beharren. Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat somit seine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3.

3. Die von Benutzer:Albtal mittlerweile in den Artikel eingepflegte Version:

Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 beträgt, wird an dem Beispiel gezeigt, dass der Kandidat zunächst Tür 1 wählt und der Moderator die Ziegentür 3 öffnet. Für die anderen möglichen Kombinationen verläuft der Beweis völlig analog.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto hinter Tür 2 steht und der Moderator Tür 3 öffnet, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht und der Moderator Tür 3 öffnet.

Denn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Moderator Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, ist nach Spielregel 5 gleich 1, während die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er Tür 3 öffnet, wenn das Auto hinter Tür 1 steht, nach Spielregel 4 gleich 1/2 ist.

Da zu Beginn des Spiels nach Spielregel 1 das Auto mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter Tür 1 oder Tür 2 steht, ergibt sich daraus die Ausgangsthese.

Denn die beiden "bedingten Wahrscheinlichkeiten" 1 und 1/2 müssen jetzt nur noch jeweils mit dem gleichen Faktor 1/3 multipliziert werden, um das behauptete Resultat zu erhalten:

1 * (1/3) = 1/3 bzw. (1/2) * (1/3) = 1/6

Für Tür 2 ergibt sich damit die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/3) / (1/3 + 1/6) = 2/3, für Tür 1 die Gewinnwahrscheinlichkeit (1/6) / (1/3 + 1/6) = 1/3.

Mehr als eine davon braucht der Artikel IMHO nicht (er ist meines Erachtens sowieso zu lang), und ich stehe nicht an, zuzugeben, daß ich Albtals Version – obwohl sie IMHO noch nicht endgültig ausformuliert ist – vorziehe, denn sie ist nur unwesentlich länger als die bisherige, erfüllt aber auch die Anforderungen an einen formalen Beweis. Die beiden anderen Varianten finde ich aber zu gut um sie einfach wegzuwerfen. Was damit tun?
Was haltet Ihr davon, sie an den Anfang der Diskussionsseite zu plazieren, um den ja immer wieder auftauchenden Zweiflern alternative Erklärungsmodelle an die Hand zu geben, bevor sie sich hier mit der „Erkenntnis“ blamieren, tatsächlich sei die 50:50-Lösung korrekt? -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:19, 23. Apr. 2009 (CEST)

+++ Gerhardvalentin 19:49, 23. Apr. 2009 (CEST)

Meiner Meinung nach braucht der Artikel der einfache erst genannte Erklärung (sei es erheblich kürzer), und zum begründung Albtals Version, noch ergänzt mit eine Mathematische Formulierung. Hierunter die kurze, ausreichende Formulierung.
Am Anfang hat der Kandidat eine Chance von 1/3, die Tür mit dem Auto zu wählen.

Da die beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore aus Sicht der Regeln völlig gleichwertig sind (und insbesondere gleich wahrscheinlich geöffnet werden, wenn der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt), stellt das Öffnen eins der anderen Toren keine weitergehende Information bezüglich der Position des Autos dar.

Also besteht auch nach dem Öffnen der Tür die Chance von 1/3, dass das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe steht, und demzufolge steht es mit einer Chance von 2/3 hinter der anderen, nicht geöffneten Tür. Beim Wechseln gewinnt der Kandidat also in zwei Drittel der möglichen Fälle das Auto.

Dass die Chance auf das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe auch nach dem Offnen 1/3 ist, braucht an Hand der Regeln bewiesen zu werden.

Nijdam 22:24, 23. Apr. 2009 (CEST)


Ich hatte das Bausteindesign 4 gewählt, damit klar ist, was der Ausgangspunkt der Diskussion ist. Wenn wir jeden Änderungsvorschlag auch wieder so hervorheben, können wir es auch gleich bleiben lassen. Außerdem halte ich es für sinnvoller, die Änderungen an einem Vorschlag zu formulieren. Die anderen Diskussionsteilnehmer suchen zu lassen, was denn nun anders ist als vorgeschlagen, halte ich für mindestens unhöflich.
Zum Inhalt Deiner Änderungen:
Du hast einerseits „gleich wahrscheinlich geöffnet werden, unabhängig davon, ob der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt hat oder nicht“ durch „gleich wahrscheinlich geöffnet werden, wenn der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt)“ ersetzt. Falls dieser von Deinem Account aus getätigte Edit tatsächlich von Dir ist, ist Dir klar, daß die stochastische Unabhängigkeit der von vornherein zutreffenden Wahl des Kandidaten vom Öffnen des Tores essentiell für die Beweisführung ist. Eine Beschränkung auf den einen der beiden möglichen Fälle reicht nicht aus, um die Behauptung zu beweisen.
Außerdem hast Du den Hinweis auf die Irrelevanz der Präsentation der zweifelsfrei vorhandenen Ziege gestrichen. Dieser Hinweis ist IMHO ausgesprochen wichtig, da dieser Pseudoinformation am Anfang der Beschäftigung mit dem Problem meist große Bedeutung beigemessen wird.
Ferner hast Du wieder den Satz eingefügt: „Dass die Chance auf das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe auch nach dem Offnen 1/3 ist, braucht an Hand der Regeln bewiesen zu werden.“ Nach dem o.g. Edit sollte Dir klar sein, daß die Chance gleich bleiben muß, da das eine Ereignis unabhängig vom anderen ist. Auf die Unabhängigkeit ist bereits hingewiesen worden, sodaß ein weiterer Beweis überflüssig ist.
Nach all dem sehe ich in Deinem Vorschlag keine Verbesserung. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 08:51, 24. Apr. 2009 (CEST)
Nachtrag: Zur Klarstellung sollte man jedoch das Wort „unabhängig“ auf stochastische Unabhängigkeit verlinken, damit völlig klar ist, was gemeint ist. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 09:10, 24. Apr. 2009 (CEST)
Ich habe meinen Kommentar [[2]] (versehentlich leider unangemeldet!) hier [[3]] wieder gelöscht. Gruß -- Gerhardvalentin 09:15, 24. Apr. 2009 (CEST)

@Nijdam @M.ottenbruch

Zu "Beweis mit detaillierten Einzelschritten" / aktuelle Bearbeitung:

In der Formulierung, die M.ottenbruch jetzt wieder in den Artikel eingebaut hat, kommt u.a. die Invarianz der "Gewinnwahrscheinlichkeit für Tür 2 oder 3" aus meiner Sicht deutlich besser zum Ausdruck.

--Albtal 11:49, 24. Apr. 2009 (CEST)

Konnte sein, aber sie lässt sich schwieriger lesen und verstehen und zwar weil da vielfach von "Fällen" gesprochen wird, und nicht deutlich ist welche Fälle gemeint sind. Schau mal:

In 2/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 2 oder Tor 3, und zwar in der einen Hälfte dieser Fälle hinter Tor 2, in der anderen Hälfte hinter Tor 3. (1) In der einen Hälfte dieser Fälle (--gemeint sind die ursprüngliche 2/3, aber sprachlich sind es die zuletzt erwähnte--), also in einem Drittel der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet (--eigentlich wird in der Hälfte der Gesamtzahl der Fälle vom Moderator Tor 2 geöffnet--), in der anderen Hälfte Tor 3. (5) Nijdam 13:19, 24. Apr. 2009 (CEST)
Durchaus entbehrlicher "Beweis" (deutlicher Formuliert):

Das Auto wird zu je 1/3 der Fälle hinter Tor 1 oder hinter Tor 2 oder hinter Tor 3 stehen. Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 beträgt, wird an dem Beispiel gezeigt, dass der Kandidat zunächst Tür 1 wählt und der Moderator die Ziegentür 2 oder 3 öffnet. Für die anderen möglichen Kombinationen verläuft der "Beweis" völlig analog.

Kandidat wählt Tor 1, Auto hinter Tor 1: Moderator öffnet nur in der Hälfte der Fälle Tor 2
Kandidat wählt Tor 1, Auto hinter Tor 3: Moderator öffnet immer Tor 2, also doppelt so oft

Kandidat wählt Tor 1, Auto hinter Tor 1: Moderator öffnet nur in der Hälfte der Fälle Tor 3
Kandidat wählt Tor 1, Auto hinter Tor 2: Moderator öffnet immer Tor 3, also doppelt so oft

Wenn der Kandidat ein Ziegentor gewählt hat, öffnet der Moderator sowohl Tor 2 als auch Tor 3 doppelt so oft, als wenn der Kandidat das Gewinn-Tor gewählt hat.

Grund: Der Kandidat hat nur in einem Drittel der Fälle das Gewinn-Tor gewählt, in zwei Drittel der Fälle aber ein Ziegentor.

?? Soll das ein zusätzlicher Beweis sein? Es ist die blutte anschauliche Wiederholung der These, dass der Kandidat nur in einem Drittel der Fälle das Gewinn-Tor wählt!

Gerhardvalentin 15:53, 24. Apr. 2009 (CEST)

Back to the roots?

Hallo, hiermit meldet sich ein ehemaliger 50:50-Verfechter als "geheilt" zurück. Ich hoffe, daß man mir in dieser neuen Situation erlaubt, wieder mitzuspielen, damit ich meine Ignoranz, die man etwas weiter oben nachlesen kann (aber nicht muß!) evtl. durch konstruktive Mitarbeit am Artikel wettmachen kann. Denn das muß ich leider sagen: auf dem Weg zur Erkenntnis hat mir der Artikel kein bißchen helfen können. Selbst jetzt, wo ich das Problem zu durchschauen glaube, wirkt er auf mich eher verwirrend, auf jeden Fall aber überladen. Er ist von Experten für Experten geschrieben und insofern und für diese möglicherweise exzellent. Für Vertreter der omA-Fraktion (und diese Kompetenz besitze ich bestimmt!) ist er wahrscheinlich überwiegend ermüdend, vielleicht sogar ärgerlich. M.E. gibt aber der vorhandene Beleg-Apparat, zuzüglich der kürzlich hier beigesteuerten PDF-Datei, ein deutliches Entgegenkommen in diesem Sinne her. Evtl. lassen sich auch gewisse TF-Aromen vertreiben. Zudem enthalten die Belege auch zusätzliche interessante Aspekte zum Thema, die vielleicht eher einer Erwähnung wert wären als die Exkurse zu fremden Themen. - Ich habe -hier- mal etwas entworfen, das die Sache zumindest für mich hätte verständlicher erscheinen lassen. Es würde mich freuen, wenn die Experten Zeit für einen Blick darauf und einen kurzen Kommentar erübrigen: ob es überhaupt diskutabel ist, und falls ja, wo und wie eine eventuelle weitere Bearbeitung und Diskussion am günstigsten zu führen wäre. MfG --Epipactis 01:00, 27. Apr. 2009 (CEST)

In den letzten Wochen wurde offensichtlich viel an diesem Artikel geändert. Vorher schien mir das aber schlüssiger. Man sollte zwischen "Erklärung" und "Beweis" unterscheiden. Beim "Beweis" sollen sich meinetwegen die Mathematiker austoben, aber eine "Erklärung" sollte so einfach wie möglich gehalten werden. Freilich ist es verwunderlich, warum so viele Leute Probleme haben, die echten Chancen bei diesem Spiel richtig einzuschätzen, aber die vielen Erklärungen dienen doch nur als Alibi, dass man dabei selber versagt hat. Deshalb möchte man das kompliziert machen. In Wirklichkeit ist es genauso simpel wie zwei mal zwei: entsprechend der Spielregel hat man in Wirklichkeit die Wahl zwischen zwei Gruppen: eine Gruppe besteht aus einer Tür, die andere Gruppe aus zwei Türen. Die Gruppen kann man selber zusammenstellen. Wenn in der gewählten Gruppe das Auto steckt, dann hat man es gewonnen. Da sollte eigentlich jedem klar sein, dass es besser ist, die Gruppe mit den zwei Türen zu nehmen. Mehr braucht man dazu eigentlich nicht zu sagen. -- 77.130.39.232 22:03, 28. Apr. 2009 (CEST)

Der Einwand ist nicht ganz unberechtigt. Liest man einfach mal eine der Versionen, wie sie vor dieser Editier-Orgie bestanden haben (bsplsw. Version 54249981 vom 17.Dezember 2008), dann erscheinen diese deutlich übersichtlicher und straffer. Insbesondere die einfache Erklärung ist genau das, was sie sein soll, nämlich eine einfache Erklärung, wohingegen die detaillierte Begründung einem Beweis schon recht nahe kommt. Da die Diskussion ja gezeigt hat, daß beide nur dann unvollständig wären, wenn sich durch das regelkonforme Öffnen der Türe durch den Moderator die Wahrscheinlichkeit ändern würde, daß sich das Auto hinter der ursprünglich vom Kandidaten gewählten Türe befindet, hierfür aber keinerlei Anhaltspunkte genannt wurden, könnte man auf die deswegen erfolgte Aufblähung genausogut verzichten. Auch Nijdams Begründung über eine Wertetabelle (so gut sie mir persönlich gefällt) ist letztlich verzichtbar. Überdies haftet all dem, was danach gekommen ist, der Ruch von WP:TF an. Von daher ist ein Generalrevert IMHO durchaus einer Überlegung wert. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 09:18, 29. Apr. 2009 (CEST)
Zustimmung zur Wiederaufnahme des kleinen Abschnitts einfache Erklärung:
Sie ist sehr kurz und direkt mit Spielregel 5 für jedermann ("operativ") nachvollziehbar. Sie klärt damit wohl den "Kern" des Ziegenproblems.
Und sie ist korrekt. Allerdings begründet sie nur die "Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit" von 2/3. Aber diese Problematik beseitigt man in der "Einfachen Erklärung" nach meiner Auffassung am besten, wie hier schon gesagt, durch Änderung der Überschrift in "Plausible Erklärung", "Erster Schritt zum Verständnis", "Vorüberlegung" oder etwas Besseres.
Dass die Gewinnwahrscheinlichkeit auch in jedem Einzelfall bei einem Wechsel 2/3 beträgt, wird ja anschließend bewiesen (alle Beweise sollten aber, ggf. durch ergänzenden Text, an den entsprechenden Stellen genau die verwendeten Spielregeln nennen, wenn ihre Verwendung nicht wirklich offensichtlich ist). Aber auch dazu könnte "einfache Unterstützung" gegeben werden, z.B.: "Wenn die Durchschnittsgewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3 beträgt, aber in einem Teil der Fälle vor der zweiten Wahl z.B. kleiner als 2/3 ist, dann müsste sie in anderen Fällen größer als 2/3 sein; ... und wie kann das überhaupt möglich sein, da der Ablauf des Spiels doch keinerlei Handlungsspielraum lässt?" usw. usf.
Die "Einfache Erklärung" hat gegenüber den "1/3 bleibt"-Erklärungen aus meiner Sicht auch den großen Vorteil, dass sie sich nicht nur pauschal auf "die Spielregeln" bezieht, sondern elementar nachvollziehbar auf Spielregel 5 (die deshalb erst gar nicht erwähnt werden muss).
(Zahlreiche "1/3 bleibt"-Argumentationen unterscheiden sich (wenn überhaupt) in der Tat nur durch den pauschalen Zusatz "wegen der Spielregeln" o.ä. von den "Beweisen" auf der Basis der Aufgabenstellung Marilyn vos Savants bzw. Gero von Randows (siehe oben meine letzte Diskussion mit Wilbert zur "1/3 bleibt"-Argumentation). Dem Diskussionsteilnehmer oben kann ich leider nicht widersprechen, wenn er sagt: ... aber die vielen Erklärungen dienen doch nur als Alibi, dass man dabei selber versagt hat.)
--Albtal 11:25, 29. Apr. 2009 (CEST)
Zustimmung zur allgemeinen Überlegung von Benutzer M.ottenbruch. Das Lemma lautet "Ziegenproblem", nicht "Drei-Türen-Problem" und schon gar nicht "Darstellung einer ausgewählten Variante des Drei-Türen-Problems" (TF!). - Anscheinend konzentrieren sich alle Bemühungen derzeit auf den Versuch (bzw. mehrere redundante Versuche), einen Sachverhalt, der mit mathematischen Mittel einwandfrei darstellbar ist, adäquat mit den Mitteln der Sprache darzustellen. Dabei stößt man an drei Limitierungen: Die der Möglichkeiten der Sprache, der Sprachmächtigkeit des Erklärenden, und des Sprachverständnisses des Lesers. Wenn jemand einen ähnlichen Versuch mit dem Artikel "Integralrechnung" unternähme, würde man sich an den Kopf greifen. - Ich plädiere für die Wiederannäherung an das Lemma. Zum Komplex "Ziegenproblem" gehören primär: das ursprüngliche Ereignis (die Show oder der Leserbrief) und die Etablierung als Begriff (die M.v.Savant-Debatte und davon angeregte Bearbeitungen); sekundär: in den angeregten Bearbeitungen aufgeworfene weitergehende Aspekte (parameterabhängige Variantenvielfalt, standpunktabhängige Lösungsdivergenz), tertiär: Darstellung eines konkret parametrierten Falles als Beispiel (optional: Darstellung von zwei oder drei unterschiedlich parametrierten Fällen zum Lösungsvergleich). Wie sich momentan die Exzellenz-Einstufung des Artikels rechtfertigt, ist mir schleierhaft. Verdienter wäre der "Unverständlich"-Baustein. --Epipactis 12:49, 29. Apr. 2009 (CEST)
Naja, die banale Erklärung, daß Integralrechnung sich mit der Ermittlung von Flächen unter Kurven beschäftigt und eine praktische Nutzanwendung in der Analyse von Summationseffekten hat, würde ich in einem Artikel über Integralrechnung schon sehen wollen. :-)
Zur Position der Leserbriefaufgabe im Artikel möchte ich als Bekehrter (ich war ursprünglich der gleichen Meinung) von einer Abkehr vom jetzigen Aufbau abraten: Die Formulierung der Leserbriefaufgabe birgt einfach zuviele Angriffspunkte, die — wie ja historisch belegt — zu sehr dazu einladen, Nebenkriegsschauplätze zu eröffnen (die Diskussion der letzten drei Monate hier ist ein hervorragendes Beispiel, wie man auf solchen Nebenkriegsschauplätzen wertvolle Arbeitskraft und -zeit sinnfrei binden kann). Ich selbst habe anfangs diese Angriffspunkte nicht einmal verstanden (ich hielt es für wenig konstruktiv, darüber nachzudenken, wieso der Moderator etwas anders tun sollte als in der Aufgabe angegeben — aber ich bin auch Praktiker und kein Theoretiker), aber nachdem ich gesehen habe, wie ernst sie genommen werden, bin ich sehr dafür, zu Anfang eine Problemstellung zu präsentieren, die (bestimmte Anwesende ausgenommen) sich nur auf die tatsächliche Pointe beschränkt, ohne noch zusätzlichen Raum zur Suche von Ostereiversteckten Fehlern zu bieten.
Eben zur Wiederannäherung an den Status der Exzellenz schlage ich einn Rückbau vor. In der heutigen Form würde der Artikel das Bapperl auch meines Erachtens sicher nicht bekommen. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:56, 29. Apr. 2009 (CEST)
Mich stimmt vor allem die Literatur Marc. C. Steinbach optimistisch, in der das Ziegenproblem nebst seinen diversen Aspekten und Turbulenzen (zu denen eben auch die Variantenvielfalt gehört) in bestechender Klarheit und Kürze bis in die hintersten Winkel ausgeleuchtet wird. Da sollte doch im Artikel, neben der jetzigen "beschönigten" Variante, auch das Originalproblem zu stemmen sein, wenn nicht sogar das noch originalere der eigentlichen Show, in der wohl zwei Kandidaten mitspielten. - Mein Schattenentwurf zeigt, wie ich mir den Aufbau vorstelle. Auch dort steht die exakte Variante am Anfang und prominent, nur sähe ich sie (wegen TF) gern besser an die namengebenden Ereignisse angebunden, statt betont davon isoliert. Weitere Varianten müßten freilich sehr viel kürzer abgehandelt werden und sollten eigentlich nur die Tücke des Komplexes illustrieren, welche allerdings ein erwähnenswertes Charakteristikum ist und teilweise auch seinen Reiz ausmacht. Wenn man all das unter einen Hut bekäme - das wäre in meinen Augen ein Exzellenzgrund. --Epipactis 01:21, 30. Apr. 2009 (CEST)

Dass ich der Auffassung bin, dass man alle Aspekte des Ziegenproblems in klarer Weise behandeln kann, habe ich hier schon in zahlreichen Beiträgen dargelegt: "Originalproblem", "korrigierte Problemstellung", "Debatte" usw.

Auch wenn die Wikipedia-Regeln bei der Artikelgestaltung eingehalten werden, dürften sich aus meiner Sicht einige "Pointen" nicht vermeiden lassen. Z.B. dass im Lauf der Jahre eine wichtige Ergänzung der Aufgabe, deren Lösung man gerade vorstellte, erst innerhalb der Lösung selbst, in einer Fußnote, im Anhang oder weiterhin gar nicht erwähnt wurde. Auch dass ausgerechnet der Statistikprofessor Diaconis, der von der New York Times im Jahr 1991 zum Ziegenproblem gefragt wurde, sagte, dass es unmöglich ist, allein mit mathematischen Überlegungen die Zwei-Drittel-Lösung zu begründen, steht stark im Gegensatz zur Überschrift "Mathematik gegen Intuition", unter der das Ziegenproblem gern abgehandelt wurde.

Aufschlussreich könnte z.B. auch sein, genau der Frage nachzugehen, welche Aufgabenstellung dem berühmten Mathematiker Paul Erdös vorgelegt worden war, wie ihm gegenüber die 2/3-Lösung begründet wurde und warum er sich angeblich erst durch eine Computersimulation überzeugen ließ (siehe ZEIT-Artikel 2004).

Überzeugend klingen für mich die vielfach gehörten Behauptungen keineswegs, man habe seinen Bekannten sowohl die korrekte Aufgabe vorgelegt als auch ihre Lösung korrekt begründet. Dagegen sprechen allzu viele Hokuspokus-Argumentationen, die auch noch als Durchbruch in der Mathematik-Didaktik gefeiert wurden.

Der Diskussionsteilnehmer oben hat recht: ...entsprechend der Spielregel hat man in Wirklichkeit die Wahl zwischen zwei Gruppen: eine Gruppe besteht aus einer Tür, die andere Gruppe aus zwei Türen. Die Gruppen kann man selber zusammenstellen. Wenn in der gewählten Gruppe das Auto steckt, dann hat man es gewonnen.

Die erste "Wahl" des Kandidaten bedeutet nichts Anderes als diese Gruppeneinteilung mit der Aufforderung an den Moderator als "ausführendes Organ", nach den Spielregeln 4 und 5 eine Ziegentür der Zweiergruppe zu öffnen.

Man bedenke dazu folgende Spielvariante ("Explizite Gruppenbildung"):

Die letzte Phase einer Spielshow läuft folgendermaßen ab: 3 Türen, 1 Auto, 2 Ziegen; wie bekannt. Kandidat K1 (Zweitplazierter nach dem bisherigen Verlauf) darf eine Tür auswählen. Kandidat K2 (Erstplazierter) gewinnt das, was hinter den beiden anderen Türen steht. Zu den Regeln der Show gehört, dass die Auflösung des Gewinnspiels nach der Zuordnung der Kandidaten zu ihren Türen damit beginnt, dass K1 eine der Türen öffnet, die K2 "gehören".

Frage: Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für die beiden Kandidaten, nachdem K1 eine Ziegentür geöffnet hat?

Übrigens:

Der Artikel von Steinbach wurde hier schon mehrmals positiv erwähnt, auch von mir. Allerdings ist seine Unterscheidung zwischen "Denksportler" und "Kandidat" weniger der Mathematik geschuldet als seinem Wunsch, "Mediator" zu spielen.

Ich selbst habe zu dieser Frage ja schon vor längerer Zeit Folgendes in den Pool geworfen:

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung.

Ich nehme an, dass das auch schon woanders klar formuliert wurde und deshalb auch für Wikipedia zitierbar ist.

--Albtal 11:04, 30. Apr. 2009 (CEST)

Ich möchte doch betonen, dass man zwar von Gruppenbildung reden kann, aber daneben noch mit W'keiten zu tun hat. Gruppen bedeuten Ereignisse, und das Problem ist dessen W'keiten zu berechnen. Und darüber bleibt ein wichtiges Missverständnis existieren, namentlich dass sich die W'keiten innerhalb eine Gruppe ändern können ohne dass damit die W'keit der Gruppe sich geändert haben muss. Nicht den Wert der W'keit ist notwendig anders, aber die Art der W'keit. Und weil der Wert sich nicht ändert, überseht man dass sich die Art geändert hat. Nijdam 12:18, 30. Apr. 2009 (CEST)

Satz von Bayes:

Oben habe ich schon auf Mängel im Abschnitt "Satz von Bayes" hingewiesen, die ich für gravierend halte.

Die jetzige Version geht offensichtlich zurück auf die Version vom 31.8.2008, 22:16 Uhr, von Stefan Birkner, gesichtet von AchimP.

Sie ersetzte damals im wesentlichen die Version vom 31.8.2008, 12:45 Uhr, von Albtal. (Ich hatte damals auf der Basis einer ansonsten korrekten Version die Voraussetzungen genauer formuliert und den Bezug zu den Spielregeln eingefügt.)

Also mein Vorschlag zur Verbesserung: Die jetzige Version durch die Version vom 31.8.2008, 12:45 Uhr, ersetzen. (Sie ist nach meiner heutigen Durchsicht im Gegensatz zur aktuellen korrekt und vollständig.)

Vielleicht können sich Stefan Birkner und AchimP der Sache annehmen. (Ein Vergleich der beiden genannten Versionen wird zahlreiche Unstimmigkeiten in der aktuellen Version aufzeigen, vielleicht sogar reine Versehen ...)

--Albtal 16:20, 29. Apr. 2009 (CEST)

Ich habe gerade mal versucht, das über den Difflink der beiden Versionen nachzuvollziehen und bin kläglich gescheitert - im Quelltext verstehe ich da gar nichts. Daher stelle ich die beiden Versionen hier mal gegenüber: ich bitte inständig darum, nicht in diesen alten Versionen zu editieren, damit man später noch nachvollziehen kann, wer wann auf welcher Basis welchen konstruktiven Vorschlag gemacht hat:
Version Albtal Version Stefan Birkner
Es sind die Ereignisse definiert:
MA: Der Moderator hat das Tor A geöffnet
GA: Der Gewinn ist im Tor A
analog für die Indizes B und C

Es liege beispielsweise folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor A gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor C ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(GC|MB), dass das Auto hinter Tor C ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor B ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung liegen folgende Voraussetzungen vor:

P(GA) = P(GB) = P(GC) = 1/3 (1)

P(MB|GA) = 1/2 (4)

P(MB|GB) = 0 (5)

P(MB|GC) = 1 (5)

Die Anwendung der Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

Der Kandidat sollte wechseln.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existiert mit dem Satz von Bayes eine Formel zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Um diese auf das Ziegenproblem anzuwenden, werden folgende Symbole für die Zufallsereignisse verwendet:

: Der Moderator hat Tor geöffnet.
: Das Auto befindet sich hinter Tor .

Aus der Aufgabenstellung lassen sich die folgenden A-priori-Wahrscheinlichkeiten ableiten.

  • Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt. (1. Regel)
  • Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht. (5. Regel)

Die Wahrscheinlichkeit, nach dem Wechseln des Tores das Tor mit dem Auto gewählt zu haben, setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Zum Einen die Wahrscheinlichkeit , dass der Moderator Tor 3 öffnet und das Auto hinter Tor 2 steht, und zum Anderen die Wahrscheinlichkeit , dass der Moderator Tor 2 öffnet und das Auto hinter Tor 3 steht. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten und lassen sich jeweils mit dem Satz von Bayes berechnen.

Auch hier ergibt sich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von beim Wechsel.

Ich halte übrigens die Version von Albtal ebenfalls für die besser nachvollziehbare, wenn ich auch ursprünglich davon ausgegangen war, meine Probleme mit der anderen lägen an einer falschen Erinnerung an den Satz von Bayes auf meiner Seite - was angesichts meines vorgerückten Alters keinesfalls auszuschließen ist. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 17:17, 29. Apr. 2009 (CEST)

Die oben genannte Formulierung der Lösung ist die richtige. Sie ist bloß die formelle Beschreibung der Lösung und wendet zwangsläufig den Bayes'schen Satz an. Sie kann aufgefunden werden in vielen Textbüchern über Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der Absatz soll eigentlich keine spezielle Platz im Artikel haben, sondern nur als formelle Beschreibung der Lösung, nach der Lösung in Worten, erwähnt werden.Nijdam 11:59, 30. Apr. 2009 (CEST)
Da „oben“ sind zwei Formulierungen aufgeführt. Die Annahme, daß mindestens eine davon „die richtige“ ist, ist naheliegend. Interessant wäre allerdings auch, welche. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:46, 30. Apr. 2009 (CEST)
Ich meinte auch Albtal's Version im Vergleich mit der Version im Artikel. Wenn du die auch oben stehende Formulierung von mir betrachten möchtest, sie ist mit Albtal's Formulierung gleichwertig. Nijdam 20:41, 1. Mai 2009 (CEST)
Man kann das Problem ja auf mehrere Weisen mit Bayes lösen, allerdings halte ich die Lösung von Albtal auf jeden Fall für verständlicher, zudem ist dieser Ansatz mit dem englischen Interwiki und den Quellen zu diesem Artikel (Matheprisma) identisch und findet sich auch häufig in anderen Fachquellen. Deswegen sprechen aus meiner Sicht mehrere Dinge dafür der Variante von Albtal den Vorzug zu geben. Ich werde sie deshalb jetzt wieder einsetzen.--Kmhkmh 01:34, 1. Mai 2009 (CEST)

Warum denn nur?

Wie die Erfahrung zeigt, ist es nicht ohne weiteres intuitiv einsehbar, dass eben weil in einer Gruppe von 2 Toren (Gewinnchance 2/3) zumindest hinter 1 Tor imperativ eine Ziege stehen muss und auch nachweislich dort steht, damit quasi automatisch "das andere" Tor die gesamte Gewinnchance dieser Gruppe von 2/3 auf sich vereinigt. Die damit von vornherein doppelt so hoch ist wie die Gewinnchance des vom Kandidaten einzeln aus drei Toren ausgewählte. Das sagt zwar schon die Logik, doch selbst Mathematikern fällt oft schwer, das intuitiv zu erkennen, und sie stellen stattdessen Berechnungen an, die aber alle dieses gleiche Ergebnis liefern.

Eine Gruppe von 2 Toren enthält zwangsläufig 1 Tor mit einer bereits durch die Spielregel garantierten Ziege, gemäß Spielregel also von vornherein ohne jegliche Gewinnchance, und diese Gruppe von 2 Toren besitzt dennoch eine Gewinnchance von 2/3 (???) – Es sind zwei Tore. Kann das Tor mit der von der Spielregel als "sicher" garantierten Ziege gleichzeitig eine Gewinnchance von 1/3 besitzen? Kaum. Eben "weil" ein Tor mit Sicherheit eine Ziege enthält, das also keine Gewinnchance besitzen kann, betrifft die Gewinnchance der Gruppe von vornherein zwangsläufig konsolidiert das "andere Tor". LG -- Gerhardvalentin 01:47, 30. Apr. 2009 (CEST)

Ja, danke, Nijdam, dass Du den betreffenden Beitrag "The key approach to comprehension of the MHP", der ein intuitives Verstehen fördern kann, in der englischen WP kalt gelöscht hast. Du bist der Ansicht, ein Verständnis des Paradoxons könne ausschließlich über Deinen mathematischen Weg erreicht werden. Schade und traurig. Gruß Gerhardvalentin 15:06, 30. Apr. 2009 (CEST)
Du sollst keine falsche Vorstellung der Sache geben. Nach mir hat auch Rick Block, nachdem du wieder deinen Beitrag eingetragen hast, sie wieder entfernt. Und du weisst genau warum. Nijdam 00:06, 2. Mai 2009 (CEST)

20jährige Rede, kurzer Sinn

1/3   1/3   1/3
1/3   1/3
1/3   1/3   1/3
1/6   1/3

--Albtal 09:35, 1. Mai 2009 (CEST)

Zuviele Köche können den Brei verderben.

Ich möchte hier einmal auf ein generelle Punkte hinweisen, die insbesondere bei einem exzellenten Artikel zu einem "umstrittenen" Thema wichtig sind.

  • Generell sollten man exzellenten soweit wie möglich nur kleine Veränderungen/Ergänzungen oder rein kosmetische Veränderung. Jede umfangreichere Ergänzung/Umarbeitung macht streng genommen eine erneute Review nötig, die (kostbare) Zeit & Mitarbeiter in Anspruch nimmt.
  • Wenn jedoch größere Erweiterungen dennoch sachlich sinnvoll und damit prinzipiell erwünscht sind, dann sollten sie vorher auf der Diskussionseite und möglich mit einen zugehörigen Fachportal besprochen werden.
  • Bei umstrittenen Themen sollte eigene "besonders klare" Ausarbeitungen auch wenn sie sachlich richtig sind, nur dann eingefügt werden, wenn sie ein OK von der Diskussionsseite oder dem Fachportal bekommen - ansonsten immer nur Darstellungen, die (genai so) in der Sekundärliteratur/Quellen gegeben sind.

Das sind natürlich keine WP-Richtlinien, aber der gesunde Menschenverstand sollte einem nahelegen, das es angebracht ist, bei umstrittenen Themen/exzellenten Artikeln eben etwas anders bzw. deutlich konservativer vorzugehen als bei der "normalen" Artikelarbeit. Tut man das nicht, besteht zum einen in Gefahr, dass der Exzellenzstatus seine Aussagekraft verliert bzw. nutzlos ist, und zum anderen, das eine erhebliche Mehrarbeit für alle entsteht und sich das Qualitätsmanagement für den Artikel sehr schwierig gestaltet.

Es wurde mehrfach eine Umstrukturierung (und bessere Überschriften) angeregt, das kann ich nur unterstützen ich finde die momentane Gliederung und auch ein Teil der Überschriften nicht besonders prickelnd. Nur wenn das in Angriff genommen wird, bitte vorher hier gemeinsam und in Kooperation mit dem Mathe-Portal das Ganze besprechen und keine individuellen Schnellschüsse. Außerdem müsste im Moment mMn auch der Exzellenzstatus neu beurteilt werden.--Kmhkmh 00:01, 2. Mai 2009 (CEST)

Zustimmung zu allem. Folgendes sollte auch bedacht werden: Der WP-Artikel ist nicht allein auf der Welt, es gibt inzwischen wohl sehr zahlreiche zum Thema. Er sollte also für seinen Exzellenzanspruch schon etwas mehr bieten als nur das Verbeißen in eine einzige, obendrein recht unscharf belegte Erscheinungsform des Problems. Mein Vorschlag zur Struktur:
  • Geschichte (historische Wurzeln, Popularisierung durch die M.v.S-Debatte, Entstehung einer ganzen Literaturgattung)
  • Aspekte (Tatsache der Variantenvielfalt und des damit verbundenen Komplikationspotentials)
  • Beispiele (zwei Varianten)
    • präzisierte Variante (Regeln, 1 mathematischer Beweis, 1 verbale Darstellung, evtl. + Millionen-Tore-Vergleich)
    • Leserbriefvariante (Regeln, Lösung und knappe Begründung ohne Beweis, Herausstellung des Unterschieds)

Man verzeihe mir, falls das Ideen sind, die hier schon 1000mal vorgetragen wurden, bzw. im Artikel früher schon mal umgesetzt waren. --Epipactis 03:09, 2. Mai 2009 (CEST)

Ich bin völlig einverstanden, habe solches zuvor auch schon vorgeschlagen. Nijdam 21:47, 2. Mai 2009 (CEST)
Üblicherweise sollte ein Artikel mit der Definition seines Gegenstandes beginnen. Und damit ist man zwanglos bei der Frage, welche Variante des Ziegenproblemes eigentlich Gegenstand des Artikels sein soll. Hier war Konsens - und in dieser Form ist der Artikel exzellent geworden! -, daß die Version von M.v.S. mindestens mißverständlich formuliert ist und daher nicht geeignet ist, Grundlage des Artikels zu sein. Ich persönlich teile diese Meinung zwar nicht vorbehaltlos, akzeptiere aber den diesbezüglichen Konsens. Mir ist in der Diskussion nichts aufgefallen, was ein Abrücken von diesem Konsens rechtfertigen würde. Insbesondere kann ich der Diskussion nicht entnehmen, daß diejenigen, die den Artikel jetzt wieder auf die Version von M.v.S. gründen wollen, die Kritik an dieser Version nicht teilen würden. Dann ist es aber widersinnig, mit der M.v.S--Variante zu beginnen. Es handelt sich hier schließlich um einen Enzyklopädie-Artikel und nicht um einen Kriminalroman, bei dem der Leser erst ganz zum Schluß mitbekommen soll, wer der eigentliche Mörder ist. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 08:44, 4. Mai 2009 (CEST)
Mit den Köchen: das stimmt. Ich selber würde einen Artikel mit dem "Originalproblem" beginnen, dann die Wirkung beschreiben und dann eine Präzisierung der Aufgabenstellung durchführen. Aber ich akzeptiere auch den anderen Weg, solange das Originalproblem im Artikel bleibt. Ich habe seit einiger Zeit keine inhaltlichen Änderungen mehr gemacht, sondern Vorschläge in der Diskussion. Insbesondere kann man sehr leicht in Fallen hineinlaufen, die sich durch sehr kleine sprachliche Änderungen ergeben. Für mich selbst ist das eigentlich interessante Problem die originale Fragestellung und deren Entwicklung. --Hutschi 09:34, 4. Mai 2009 (CEST)

Ich möchte mich nicht wiederholen. Hier also etwas Neues:

Als der Artikel zum Ziegenproblem am 5. Mai 2005 den Status "exzellent" erhielt, kam an mehreren Stellen zum Ausdruck, dass das Ziegenproblem nicht verstanden worden war.

Zwar war inzwischen bei der Aufgabenstellung folgender Zusatz "hineingerutscht": Der Spielablauf ist immer gleich. Aber unter "Literatur" und "Weblinks" wurden (wie auch heute noch) kommentarlos Quellen angegeben, die diesen Zusatz nicht enthalten oder sogar, wie im Buch Gero von Randows, den Spielablauf der spontanen Entscheidung des Moderators überlassen.

Gleich zum entscheidenden Fehler:

Der Abschnitt Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators war bei der vorgelegten Aufgabenstellung sinnlos:

Ein typischer Grund für das Finden einer falschen Antwort ist ein falsches Verständnis von der Rolle des Moderators. Es wird oft angenommen, dass dieser irgendeine der anderen beiden Türen öffnet, wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt.

Bei der formulierten Aufgabe kann es ein solches "falsches Verständnis" überhaupt nicht geben, da der Spielablauf ja "immer gleich" ist, der Moderator also nur "ausführendes Organ" ist. (Ich gehe mal davon aus, dass die damalige Aufgabenstellung unmissverständlich so gemeint war ...) Sehr wohl konnte es bei der Originalversion des Ziegenproblems solche Interpretationen geben; aber das "falsche Verständnis" lag bei den Aufgabenstellern.

Völlig danebengegangen sind folgende Aussagen:

Wäre dies so, dann wäre es zunächst tatsächlich egal, ob man wechselt. Dann würde aber auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto vom Moderator selbst gezeigt werden, und die anderen beiden Türen hätten dann jeweils eine Wahrscheinlichkeit von Null, wenn sich das Auto zeigt. In diesem Fall ist Wechseln egal. Zeigte sich die Ziege, dann wäre Wechseln wieder besser. (Unter der Voraussetzung der Aufgabe, dass genau ein Auto und zwei Ziegen vorhanden sind.)

Dass Wechseln egal sein soll, wenn der Moderator die Autotür geöffnet hat, ist eher lustig; denn wenn der Moderator nun den Wechsel anbietet, wird der Kandidat ja kaum zögern, das Auto zu wählen ...

Gravierender und auch aufschlussreich für die noch heute laufende "Debatte" ist aber die Aussage:

Zeigte sich die Ziege, dann wäre Wechseln wieder besser.

Denn diese Aussage ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen wäre dann nämlich jeweils 1/2.

--Albtal 11:30, 6. Mai 2009 (CEST)

Albtal: Dass Wechseln egal sein soll, wenn der Moderator die Autotür geöffnet hat, ist eher lustig; denn wenn der Moderator nun den Wechsel anbietet, wird der Kandidat ja kaum zögern, das Auto zu wählen ...

Das stimmt natürlich, sofern man eine geöffnete Tür wählen kann. Wenn nicht, ist es egal, weil man so oder so verliert. --Hutschi 11:46, 6. Mai 2009 (CEST)
Ja. Schade nur für den Kandidaten, wenn der Moderator jetzt sagt: "Ich habe natürlich diese andere gemeint, nicht jene andere ..." --Albtal 13:16, 6. Mai 2009 (CEST)
@albtal:
„Gleich zum entscheidenden Fehler:
Der Abschnitt
Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators war bei der vorgelegten Aufgabenstellung sinnlos:
Ein typischer Grund für das Finden einer falschen Antwort ist ein falsches Verständnis von der Rolle des Moderators. Es wird oft angenommen, dass dieser irgendeine der anderen beiden Türen öffnet, wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt.
Bei der formulierten Aufgabe kann es ein solches "falsches Verständnis" überhaupt nicht geben, da der Spielablauf ja "immer gleich" ist, der Moderator also nur "ausführendes Organ" ist. (Ich gehe mal davon aus, dass die damalige Aufgabenstellung unmissverständlich so gemeint war ...) Sehr wohl konnte es bei der Originalversion des Ziegenproblems solche Interpretationen geben; aber das "falsche Verständnis" lag bei den Aufgabenstellern.“

??? Ja, eben! Bei der Originalversion konnte es solche Interpretationen geben, bei der exakten Formulierung aber nicht. Genau das meint der Begriff „Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators“. Nur bei der exakten Formulierung ist es ein „falsches Verständnis“, ansonsten ein durchaus zulässiges. Ich verstehe insofern Deine Kritik an dieser Aussage nicht.
Um derartige Probleme zu vermeiden ist es ja IMHO so wichtig, mit einer exakten Formulierung zu beginnen und unklare Fragestellungen nur im historischen Teil abzuhandeln. Zu Beginn ein Problem mit einer Lösung zu präsentieren, die auf dieses Problem gar nicht zwingend zutrifft, halte ich für kontraproduktiv. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 09:06, 7. Mai 2009 (CEST)

Also, ich habe das Problem auch im Mathe-Portal (auf der Mathe-QS) angesprochen, da ist man im Moment auch der Meinung, dass der Artikel eine Neubewertung braucht und in diesem Zusammenhang auch überholt werden kann/sollte. Ich würde vorschlagen, dass man sich anstatt übr einzelne Formulierungen und deren echte oder vermeintliche Richtigkeit zu streiten zunächt auf ein Grundgerüst/Struktur des (neuen) Artikels einigt. Also welche Abschnitte/Punkte sollen existieren (Gliederung)? Hat mman sich gemeinsam auf eine Gliederung/Inhalte geeinigt, dann kann man um die Formulierung der einzelnen Sätze kämpfen und sich auch dort einigen. Bitte auch da keine Einzelaktionen (auch wenn man meint es besser zu wissen) und eine Kooperation/Abstimmung mit dem Portal Mathematik. Noch ein Wort zu zu Quellen/Literatur, das Buch von Randow ist natürlich trotz eventueller inhaltliche Schwächen als Quellenangabe ok, da es zum Einem eine populärwissenschaftliche "Standardquelle" (mit positiven Kritiken in der Presse) zu dem Thema ist, zum Anderen ja auch von Fachquellen (Steinbach) empfohlen. Soviel zu formalen Qualifikation als Quelle, natürlich kann man trotzdem überlegen auf eventuelle Schwächen hinzuweisen (in Form eines Kommentars).--Kmhkmh 15:44, 6. Mai 2009 (CEST)

Auch unabhängig vom "Quellen-Ranking-Algorithmus" finde ich das Buch von Gero von Randow gut, auch das Buch "The Power of Logical Thinking" von Marilyn vos Savant. Aber es kann ja nicht schaden, im Artikel zu berücksichtigen, wie dort das Ziegenproblem behandelt wird.--Albtal 20:04, 6. Mai 2009 (CEST)

Als weiteren Vorschlag und als "Fundgrube" zur Verbesserung des Artikels die folgenden beiden Artikelversionen, denen allerdings keine große Lebensdauer beschert war.

Doch Vorsicht an das "Mathe-Portal": Es könnte öde werden. Denn in den folgenden Versionen heißt es zum Beispiel: ...Das änderte sich erst, als die New York Times in ihrer Sonntagsausgabe vom 21. Juli 1991 vier Personen zu Wort kommen ließ, denen sie die endgültige Klärung des Problems zutraute[4]: Martin Gardner, den bekannten Autor mathematischer Knobelaufgaben, Persi Diaconis, Professor für Statistik, sowie Monty Hall und Marilyn vos Savant. Nach einem genauen Blick auf die Aufgabenstellung waren sich Gardner, Diaconis und Monty Hall auch unter Zustimmung Marilyn vos Savants einig, ...

Version 50005987

Version 50297265

Enzyklopädische Anpassungen sind ja das geringste, wenn Struktur, Inhalt, Argumentation und Quellen stimmen. --Albtal 01:28, 7. Mai 2009 (CEST)

Wie schon damals gilt, dass sich Essays nicht durch "Anpassungen" in enzyklopädische Artikel wandeln lassen. Anders gesagt stimmen "Struktur" und "Inhalt" nicht. --AchimP 08:51, 7. Mai 2009 (CEST)
Vorsicht: Zuviel Brei kann auch die Köche verderben. Nijdam 10:08, 7. Mai 2009 (CEST)
Soll heißen? --AchimP 12:56, 7. Mai 2009 (CEST)

Der Wirkungsgrad meiner Beiträge hier ist sehr gering. Meine Argumente, die sich auf den Kern des ganzen "Ziegenproblems" beziehen, werden völlig ignoriert oder nach primitivsten "Transformationen" in den allgemeinen Brei eingeordnet. Manche winken auch gern mit einer zwei- oder dreibuchstabigen Wikipedia-Rute.

Ich hätte vorher im Bereich der Mathematik nicht für möglich gehalten, was ich hier erlebt habe. Das Grundproblem ist natürlich, dass sich die Publizisten der Kombination aus Aufgabe und Lösung, zu denen sich letztlich auch die Wikipedianer rechnen, geirrt haben. Und niemand kann sie daran hindern, ihre Behauptungen immer aufs neue aufzustellen. Sie versuchen dadurch zu verhindern, dass das Kartenhaus, das sie um das Ziegenproblem herum aufgebaut haben, zusammenbricht.

Ich selbst habe von Anfang an zu den wenigen gehört, von denen Marilyn vos Savant sagte, dass sie mit ihrer Kritik zeigen, dass sie das Problem verstanden haben. Das heißt, ich war hier falsch.

Vor kurzem habe ich nach längerer Zeit wieder in die Diskussion und die Gestaltung des Artikels eingegriffen, nachdem ich auf meiner privaten Diskussionsseite dazu aufgefordert worden war. Ich werde es das nächste Mal nicht mehr tun.

Im Lauf der nächsten Jahrzehnte werde ich aber mal wieder vorbeischauen, um zu sehen, was hier aus dem Ziegenproblem geworden ist.

--Albtal 13:02, 7. Mai 2009 (CEST)

Mir ist nicht klar, was dieses Lamento ausdrücken soll – es sei denn, es beschränkte sich inhaltlich auf die Feststellung, daß Du das Problem verstanden hast, alle anderen jedoch nicht. Diese Feststellung alleine ist aber noch nicht angetan, den Artikel signifikant zu verbessern. Dem vorgetragenen Einwand, die in der ursprünglich vorgetragenen Aufgabenstellung angegebenen Handlungen des Moderators könnten ja auch rein zufällig sein, ist jedenfalls durch die Präzisierung der Aufgabenstellung (AFAIR bereits vor Erfindung der Wikipedia) Rechnung getragen worden. Aus Deinen Vorschlägen zur Struktur des Artikels (oder denen, die Du unterstützt) würde jedoch wieder genau so eine „Kombination aus Aufgabe und Lösung“ entstehen, die Du dann bemängeln könntest. So what? -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 14:02, 7. Mai 2009 (CEST)

is doch quatsch

wenn ich einen entscheidungsbaum habe müssen alle teilbäume als eigenständige bäumedarstellbar sein, wobei, die wurzel wieder auf eins multipliziert werden muss, und alle teilwahrscheinlichkeiten proportional mit dem selben Faktor multipliziert insgesamt auch eins ergeben müsten. tun sie in diesem entscheidungsbaum aber nicht glaube ich...


richtig [falsch] wäre jedenfalls:


     1.) richtige Tür bei erster Wahl
         0.25     1.1.) richtige Tür ohne Wechsel
        /
     0.5       
    /   \
   /     0.25     1.2.) falsche Tür ohne Wechsel
  /
<1
  \  2.) falsche Tür bei erster Wahl
   \     0.25     2.1) richtige Tür mit Wechsel
    \   /
     0.5       
        \
         0.25     2.2) falsche Tür mit Wechsel

Die erste Entscheidung ist die des Moderators, welche Tür zu öffnen ist. Es ist egal was der Kandidat dabei denken könnte, denn seine erste Wahl ist beliebig vertauschbar.

Somit ist es wenigstens ein La-Place Experiment, denn wie wir wissen hat der Zufall kein Gedächtniss, alles klar?


huch, hab ich ja glatt n bischen zu spontan drauflos geschrieben..


warum eigentlich Ziegen?

Könnte hinter den Nicht-Auto-Toren eigentlich auch etwas anderes sein? Z.B. Katzen? --Duckundwech 11:31, 16. Jan. 2009 (CET)

Nein. Der wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz funktioniert nur für Ziegen, nicht für andere Tiere. Bei Tieren mit langen Haaren können Messbarkeitsprobleme auftreten, sehr große Tiere sind eventuell nicht integrierbar, und metaphysische Tiere fallen sowieso aus dem wissenschaftlichen Rahmen --Mediocrity 13:50, 16. Jan. 2009 (CET)
 :-) -- Naoag 21:13, 18. Jan. 2009 (CET)

Spielregeln und falsche Erklärung

Zwar sind die genannte Spielregeln derjenige die vermutlich im Fernsehspiel gefolgt wurden, und die zum genannten Ergebnis fuehren, aber dem Teilnehmer noch den Zuschauer war dies bekannt. Wie auch immer, die sogenannte einfache Erklärung ist falsch, obwohl sie die gleiche Zahl als Antwort gibt. Das liegt daran das die erlangte Wahrscheinlichkeit eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, und die einfache Erklärung eine unbedingte Wahrscheinlichkeit berechnet.82.75.67.221 18:20, 2. Feb. 2009 (CET)

Die obenstehende Bemerkungen sind von mir. Ich moechte noch betonen, und das auch im Artikel sehen, dass es sich bei der Antwort um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, naemlich unter der Bedingung dass der Spieler Tuer 1 gewaehlt hat und dass Tuer 3 geoeffnet ist und eine Ziege aufweist. Natuerlich koennen auch andere equivalente Kombinationen vorausgesetzt werden; sie fuehren zum gleichen Ergebnis. Der Spieler hat also nur die Wahl zwischen die Tuere 1 und 2. Daran sieht man schon dass es nicht die unbedingte Situation ist. Mit eine andere Strategie des Moderators, koennen die (bedingte) Chancen 1/2 zu 1/2 sein. Auch das zeigt dass die einfache Erklaerung keine richtige Erklaerung ist.Nijdam 19:30, 2. Feb. 2009 (CET)

Für die vorgegebene Aufgabenstellung, die heutzutage das Ziegenproblem genannt wird, ist die 1/3-Lösung richtig. Dass die Aufgabenstellung von der Spielshow abweicht, steht im Abschnitt „Leserbrief an Marilyn vos Savant“ und wird im Artikel auch nicht bestritten. -- Stefan Birkner 22:20, 2. Feb. 2009 (CET)
Dennoch ist die im Artikel stehende einfache Erklaerung falsch. Es ist nicht die richtige Zahl der wichtig ist, sondern die Weg die zur Antwort fuehrt. Man koenne eben so gut als ganz ganz einfache Erklaerung geben dat 2/6 = 1/3. Auch das bringt die richtige Zahl.Nijdam 23:04, 2. Feb. 2009 (CET)

(Entschuldige mein deutsch) Damit man die Lösung richtig versteht, ist es wichtig die Frage genau zu betrachten. Von der genannten Regeln 1 bis 6, sind die daraus folgende Schritte alle genommen. Also steht der Kandidat vor drie Türe wovon zwei geschlossen und der dritte geöffnet. Der Kandidat zeigt auf eine der geschlossenen Türen, und hinter der geöffnete Tür steht eine Ziege. Die Frage wie er entscheiden muss, bezieht sich auf die Lage in der er sich befindet. Und da liegt genau das Häckchen. Obwohl die Regeln 1 bis 7 das Problem ziemlich rigide scheinen festzulegen, ist die Frage im Regel 7 nicht eindeutig. Als Problem betrifft es nicht den einzelnen Kandidaten. Für ihm liegt alles fest, nur weisst er nicht wie. Es handelt sich um die Wiederholungen des Experiments. Trifft die Frage zu auf alle Kandidaten, oder nur auf Kandidaten die sich in der gleiche Lage befinden als der betrachtete Kandidat. Und dennoch, welche Lage des Kandidats ist gemeint? Wenn alle Kandidaten gemeint sind ist die "einfache Lösung" richtig, aber dann geht man vorbei an der Absicht des Spiels. Wenn alle Kandidaten gemeint sind denen schlussendlich eine geöffnete Tür mit eine Ziege gezeigt wird, dann betrifft es wieder alle Kandidaten. Es liegt nah zu unterstellen das es Kandidaten betrifft die anfangs den gleichen Tür gewählt haben und denen die gleiche geöffnete Tür mit Ziege gezeigt wird. Man muss also die Türen mit Nahmen nennen, und das ist auch genau die Information die dann bekannt ist. Nijdam 11:44, 5. Feb. 2009 (CET)

Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, was du sagen willst. -- Stefan Birkner 22:27, 5. Feb. 2009 (CET)

Na, nur dies: obwohl es nicht genau so in die 7 Punkten steht, wird die Frage an einem Kandidaten gestellt, der einen bestimmten Tür gewählt hat und der einen bestimmten geöffneten Tür sieht mit eine Ziege. Die Frage nach die Wahrscheinlichkeit von einem Auto hinter die von ihm gewählte Tür, bedeutet in wie viele der gleichen Situationen das der Fall ist. Die gleiche Situation bedeutet: der selbe Tür gewählt, der selbe Tür geöffnet, und auch eine Ziege dahinter.Nijdam 23:24, 5. Feb. 2009 (CET)

Unter den genannten Regeln ist die Lösung richtig. Auch die Strategie des Moderators ist festgelegt: er wählt zufällig zwischen zwei Türen. Wo liegt das Problem? -- Stefan Birkner 23:35, 5. Feb. 2009 (CET)

Nein, die Lösung ist nicht richtig. Wenn du etwas von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehst, es handelt sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetz der selbe Tür ist gewählt worden, der selbe Tür geöffnet, und auch eine Ziege dahinter. Man verwechselt es mit die unbedingte Situation, die sich beschreiben lässt wie: Du wirst angerufen und jemand schlagt die Punkte 1 bis 6 vor ohne sie auszuführen und stellt dir die Frage 7. Aber im Problem sind die Punkte ausgeführt und das bedeutet dass wenn Tür 1 gewählt ist und Tür 3 geöffnet, es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit handelt vorausgesetzt Tür 1 ist gewählt worden und Tür 3 geöffnet.Nijdam 00:19, 6. Feb. 2009 (CET)

Wenn Tür 3 geöffnet ist, ist das Spiel schon beendet. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf den Moment vor dem Öffnen der zweiten Tür. -- Stefan Birkner 00:36, 6. Feb. 2009 (CET)

Bist du ernsthaft interessiert? Schau dir das Bild an, gleich am Anfang des Kapitels. Bei Punkt 5 hat der Moderator Tür (Nummer) 3 geöffnet. Willst du es eigentlich verstehen? Nijdam 12:43, 6. Feb. 2009 (CET)

Ja, ich bin ernsthaft interssiert, doch deine Ausführungen sind leider teilweise sehr schwer nachzuvollziehen. Beim Bild weiß man nicht, ob die Tür in Schritt 4 oder Schritt 5 geöffnet worden ist. Zu unterstellen, dass es in Schritt 5 geschehen ist, führt zu einem falschen Ergebnis. -- Stefan Birkner 13:07, 6. Feb. 2009 (CET)

Alles klar. Wichtig ist ob der Moderator die Tür öffnet bevor er dem Kandidaten die Wahl gibt zu wechslen, oder erst danach. In der Problemstellung öffnet er die Tür bei Punkt 4, d.h. bevor er den Kandidaten die Wahl gibt. Und so war es auch im Fernsehen. Und so macht es eigentlich nur Sinn.Nijdam 18:46, 6. Feb. 2009 (CET)

Tut mir leid, aber so wie von Dir im Artikel geschrieben, ist es leider falsch. Die Immer-Wechsel-Strategie funktioniert sehr wohl, wenn der Kandidat wechselt, nachdem der Moderator eine der beiden nicht gewählten Türen geöffnet hat.--Unikram 17:42, 7. Feb. 2009 (CET)

@Stefan Birkner & P.Birken: lese doch auch die von mir vorgeschlagen Aenderung des Textes.Nijdam 22:25, 7. Feb. 2009 (CET)

Ich hatte mich bisher zurückgehalten, weil Stefan (und Unikram) das sehr geduldig und zutreffend gehandelt haben, aber da Du anscheinend weitere Stimmen brauchst: Du lagst mit Deinen Argumenten und Schlussfolgerungen hier und mit Deiner Änderung am Artikel leider falsch, wie die anderen bereits dargelegt haben. --AchimP 23:40, 7. Feb. 2009 (CET)

Warum zurückgehalten, beteilige dich, oder besser studiere mal Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es ist wie bei der Jahrtausendwende, nur die Wenigsten wissen wie es ist. Und Viele sind sogar empört dass jemand es wagt anders zu denken. Glaubst du einfacch die einfache Lösung oder hast du sie analysiert?Nijdam 12:02, 8. Feb. 2009 (CET)

Ich hab's analysiert. Und ich empfehle Dir, einfach mal eine Versuchsreihe zu starten und das ganze empirisch auszuwerten. Siehe auch den roten Kasten ganz oben. --AchimP 13:58, 8. Feb. 2009 (CET)

Kein problem: Ich habe die Ergebnisse umsortiert:

Wahl  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Auto  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3  
Offen 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2

6 Mal ist die gleiche Situation eingetreten wie beim Kandidaten; hier sind sie:

Wahl  1 1 1 1 1 1 
Auto  1 1 2 2 2 2   
Offen 3 3 3 3 3 3 

Die bedingte (!) Wahrscheinlichkeit das Auto zu gewinnen beim Wechslen ist (schon erraten?): 4/6. Nijdam 23:42, 8. Feb. 2009 (CET)

Im Artikel steht doch, dass die Wahrscheinlichkeit ist. Das Ziegenproblem ist detailliert analysiert worden, und der Inhalt des Artikels stimmt. (Mehrere Aufsätze und Bücher werden im Artikel genannt.) Wenn du anderer Meinung bist, dann schreibe dazu einen wissenschaftlichen Aufsatz. Wird dieser allgemein anerkannt, werden ich den Artikel entsprechend umschreiben. -- Stefan Birkner 00:05, 9. Feb. 2009 (CET)

Du siehst vorbei an warum es geht: die bedingte W. ist 4/6 and die unbedingte 12/18; numerisch gleich aber, wie du sieht, unterschieden berechnet. Entweder du kennst dich aus in Wahrscheinlichkeitsrechnung, und verstehst dann jedenfalls das von mir genannte Unterschied, oder du lasst die Finger davon. Nijdam 01:16, 9. Feb. 2009 (CET)

Sorry, statt 12/18 soll da 24/36 stehen. Ich habe die Ergebnisse verdoppelt ohne diese Zahlen anzupassen. Nijdam 02:06, 10. Feb. 2009 (CET)


Ende der Diskussion. (Wer diskutieren will, sollte zumindest seinen Gegenüber nicht beleidigen.) Ich muss erstmal den substanziellen Unterschied zwischen 4/6, 12/18 und 2/3 lernen. -- Stefan Birkner 01:39, 9. Feb. 2009 (CET)

Worin steckt die Beleidigung? Nenne es Unfreundlichkeit, aber das ist meine Antwort auf deine auch recht unfreundliche Reaktion! Und tatsächlich solltest du mal nachdenken über den Unterschied zwischen 4/6, 12/18 usw. Aber vielleicht das Jemand anders besser versteht was ich oben erklärt habe. Nijdam 18:48, 9. Feb. 2009 (CET)

Habt ihr mal die 5. Link im Artikel (nach der Uni in Wuppertal) gelesen? Vermutlich nicht.Nijdam 00:31, 10. Feb. 2009 (CET)

Verunsichert Dich nicht die Tatsache, dass sich kein einziger der vielen User, die diesen Artikel beobachten, auf Deine Seite stellt? Ich befürchte Du hast leider etwas ganz fundamental missverstanden. Leider habe ich keine klare Vorstellung davon was, sonst würde ich es Dir gerne erklären.
Aber so oder so wird Dein Tonfall zunehmend unhöflich, sodass Du nicht damit rechnen solltest, dass weiterhin höflich auf Dich eingegangen wird. MfG--Unikram 00:46, 10. Feb. 2009 (CET)

Ich fuehle mich leider auch nicht hoefflich behandelt, sehe oben. Es liegt uebrigens nicht in meiner Absicht jemand zu veraergern, aber ich moechte auch Serioes genommen werden (ist das gutes deutch?). Mich verunsichert die genannte Tatsache nicht, nein, warum sollte ich, meinen fruehere Kollegen, alle Dozent Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, sind gleicher Meinung (eigentlich kann mann hier nicht von Meinung reden). Ich muss leider ganz allgemein feststellen das nur wenig Leute das Problem ganz durchschauen. Und bis jetzt hat keiner Inhaltlich reagiert. Als Antwort auf Achim's "Vorschlag" eine Versuchsreihe zu starten, habe ich theoretisch eine solche Reihe gegeben. Eigentlich ist das (im Stil von Von Mises) eine Vorstellung des Wahrscheinlichkeitsraums. Reaktion? 2/3 = 4/6 (!?!) Serioes? Nijdam 01:34, 10. Feb. 2009 (CET)

Dann probieren wir es mal schrittweise. Sind wir uns einig, das ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit im Endeffekt genauso oft eintritt, wie ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit ? (Erstmal unabhängig davon, wie man zu dem Ergebnis kommt)--Unikram 07:47, 10. Feb. 2009 (CET)

Ok. Es kommt auch hierbei auf die genaue Bewortung an. 2/3 hat hier die Bedeutung 2 aus 3 Möglichkeiten. 4/6: 4 aus 6 Möglichkeiten. Wenn du das als "genau so oft" beschreiben willst, meinentwegen. Schau dies an: aa A (2 aus 3 klein geschrieben), xxxx XX (4 aus 6 klein geschrieben), was ist daran gleich? Es sind sogar andere Buchstaben. Aber man kann in beiden Fällen sagen: wenn ich beliebig eine Buchstabe ziehe, ist die Wahrscheinlichkeit einen Kleingeschriebene (gibt es kein anderes Wort im Deutsch) zu finden 2/3. Nijdam 11:26, 10. Feb. 2009 (CET)

Gut. Dann können wir ja den Streit, ob es nun 2/3 oder 24/36 oder eine andere Zahl mit demgleichen Wert handelt vergessen.
Als Nächstes:Wenn der Kandidat eine der 3 verschlossenen Türen öffnet, dann hat er eine Chance von 1/3, dass das Auto hinter seinen gewählten Tür steckt?--Unikram 17:57, 10. Feb. 2009 (CET)

Habe lange nachgedacht, hast recht. Aber warum muss er eine der 3 Türen öffnen, auch ohne das ist die Chance 1/3. Oder meintst du hinter den geöffnete Tur? Nijdam 00:51, 11. Feb. 2009 (CET)

Keine Hektik. Schritt für Schritt.
Dann ist, unabhängig davon welche Tür der Kandidat gewählt hat und wo das Auto steckt, eine Tür mit einer Ziege ungewählt und diese Tür kann der Moderator öffnen. Dadurch ändert sich erstmal nichts daran, dass die bis jetzt gewählte Tür eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 hat.--Unikram 00:55, 11. Feb. 2009 (CET)

Nennst du das " Schritt für Schritt"?

  1. Welchen Tür der Kandidat auch gewählt hat, der Moderator kann immer eine Tür mit einer Ziege öffnen.
  2. Die Wahrscheinlichkeit es gibt ein Auto hinter den gewählte Tür ist 1/3.

Nijdam 11:52, 11. Feb. 2009 (CET)

Ja. Das nenne ich Schritt für Schritt.
Jetzt öffnet der Moderator eine vorher verschlossene, ungewählte Tür hinter der eine Ziege ist. Der Kandidat hat immer noch seine zu Beginn gewählte Tür mit der Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3. Soweit alles gut?--Unikram 17:28, 11. Feb. 2009 (CET)

Natürlich, selbstverständlich, logisch, ... Um es genau zu formulieren: die Wahrscheinlichkeit dass hinter den gewählte Tür das Auto steht ist einfach 1/3. Das heben wir doch zuvor schon festgestellt? Und wieso wurde das ändern. Ich habe noch nie gehört das auf einmal Wahrscheinlichkeiten sich ändern. Können sie gar nicht. Und um dir ein wenig zu helfen: auch die Wahrscheinlichkeit dass hinter einen der zwei andere Türe das Auto steht ist 1/3. Kannst du ruhig experimentell nachvolziehen! Von 3000 Versuche wird 1000 Mal das Auto hinter jede der Türe stehen! Nijdam 00:37, 12. Feb. 2009 (CET)

Ich weiss.
Doch bleib bitte bei der Situation, die wir gerade haben.
Der Kandidat hat seine 1/3-Tür und der Moderator hat eine Ziegentür geöffnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Auto hinter der noch verschlossenen Tür?--Unikram 07:01, 12. Feb. 2009 (CET)

Habe ich doch gerade gesagt 1/3, und du antwortetest: "ich weiss"!! Nijdam 13:12, 12. Feb. 2009 (CET)

Bitte denk doch mal kurz nach.
Der Kandidat hat eine Tür gewählt hinter der das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 ist.
Eine Tür ist offen und zeigt eine Ziege.
Eine weitere Tür ist verschlossen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Auto hinter der verschlossenen, nichtgewählten Tür. Und bitte denk nach, bevor Du wieder 1/3 sagst.--Unikram 15:26, 12. Feb. 2009 (CET)
BK:Unikram fragt jetzt nach einer anderen Türe. Nicht nach der Tür, die der Kandidat gewählt hat (hinter der das Auto mit 1/3 steckt) und nicht nach der geöffneten (hinter der das Auto mit 0% steckt), sondern nach der dritten, noch ungeöffneten Tür. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:30, 12. Feb. 2009 (CET)

Ich weiss genau was ich sage: 1/3, hast du doch selber auch gesagt! Sag mir welcher der 3 Türe es ist, und ich versichere dir, wenn du 3000 Versuche machst, dann ist 1000 mal das Auto hinter diesen Tür. Ich weiss wo es lang geht, aber ich möchte jetzt dass du es auch entdeckst. Denk bitte gut und eventuell lange nach. Nijdam 17:52, 12. Feb. 2009 (CET)

So. Letzter Versuch.
Die Tür die der Kandidat gewählt hat: 1/3=33%
Die Tür die geöffnet wurde und hinter der die Ziege ist: 0%
Die Türe die nicht gewählt und noch verschlossen ist: Auch 1/3=33%????
Das hieße, dass nach Deiner Argumentation das Auto nur zu insgesamt 66% überhaupt da ist? Kann das wirklich sein, wenn man sich die Ausgangssituation anguckt? Oder muss man nicht vielmehr auf insgesamt 100% für das Auto kommen, weil man ja mit Sicherheit weiss, dass da ein Auto ist?--Unikram 19:01, 12. Feb. 2009 (CET)

Warum dich aufgeregt? Ich habe gefragt, nenne mir welche Tür du meinst und du gibst keine Antwort. Also mach ich deswegen eine Unterstellung. Nemen wir an es ist Tür 2. Jetzt eine Frage an dich: was ist in diesem Spiel die Wahrscheinlichkeit das hinter Tür 2 das Auto steht? Und ich meine es wirklich Ernst, es ist genau dies warum es geht! Nijdam 19:16, 12. Feb. 2009 (CET)

Ich bin Sonderschullehrer. Ich reg mich nicht auf, wenn jemand was nicht versteht. Ich wundere mich nur, dass jemand der die ganze Zeit behauptet er hätte alles voll verstanden nicht mal verstanden hat, dass das Ganze mehrstufig ist. Du kannst doch nicht ernsthaft so tun, als hätte das Türöffnen durch den Moderator nie stattgefunden. Aber wenn Du Zahlen willst:
Die Tür die der Kandidat gewählt hat(Tür 2): 1/3=33%
Die Tür die geöffnet wurde und hinter der die Ziege ist(Tür 1): 0%
Die Türe die nicht gewählt und noch verschlossen ist(Tür 3): ?
--Unikram 19:26, 12. Feb. 2009 (CET)

Ja wenn wir so anfangen, ich bin bis meine Pensionierung 35 Jahre Dozent Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik an einer Uni gewesen, und ich darf doch hoffen dass ich weiss wovon ich rede. Und um dich noch ein wenig auf dem Spur zu bringen: auch der Tür der jetzt eine Ziege zeigt hat Wahrscheinlichkeit 1/3 dass das Auto da steht. Bedenke: nicht immer ist es dieser Tür die geöffnet wird. Also beantworte meine Frage: welche Tür ist es? Nummer bitte. Nijdam 19:31, 12. Feb. 2009 (CET)

Da stehen Nummern hinter.......
Und das jetzt ist der entscheidende Punkt.--Unikram 19:33, 12. Feb. 2009 (CET)

Entschuldige, hatte ich nicht gesehen. Also: es betrifft Tür 3. Und du bist mir doch einig, die Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 3 ist 1/3. Wie ich oben mehrmals gesagt habe. Aber du hast verstanden, es liegt im jetzt! Und wie du sagtest, es gibt mehrere Stufen. Aber was bedeutet das? Erklärst du es mal. Nijdam 20:45, 12. Feb. 2009 (CET)

Nö. Ich habe keine Lust mehr. Ich muss nicht für Dich den Hampelmann spielen. Ich bin mit dem Artikel so wie er es ist zufrieden, also muss ich Dir gerade mal gar nix mehr erklären. Du musst also endlich mal klar machen was Du willst, oder einfach akzeptieren, dass da was Deiner Meinung nach falsch im Artikel steht, Du aber nichts dagegen machen kannst. Für mich ist hier EOD.--Unikram 21:29, 12. Feb. 2009 (CET)

Ich bin nicht zufrieden, weil der sogenannte 'Lösung' falsch ist. Und wir sind gerade dabei zu entdecken warum das so ist. Und ich habe dieses Spielchen nicht vorgeschlagen. Aber gut, ich erklär es dir. Ich hoffe doch du verstehst das die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 3 nichts anderes ist als 1/3. Wie wir oben feststellten, Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht. Das sagt man mal so im Umgangssprache, aber damit ist gemeint das eine bedingte Wahrscheinlichkeit anders ist als die Unbedingte! Das ist was du meinst mit Stufen, neue Situatione: sie bilden eine Bedingung. Die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 3 ist 2/3 vorausgesetzt wie du angab das Tür 1 gewählt worden ist und Tür 2 geöffnet und eine Ziege aufweist. Alles noch unter die Annahme der Moderator folgt die genannte Strategie. Auch auf Tür 1 trifft die Bedingung zu. Wenn jemand sagt die Wahrscheinlichkeit ist noch immer 1/3 auf das Auto, dann kann damit nur gemeint sein: die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 1 ist 1/3 und gleicht die Unbedingte. Nijdam 22:16, 12. Feb. 2009 (CET)

Du bist der Meinung, an einer bestimmten Stelle im Artikel stehe fälschlich das Wort "unbedingte" und Du möchtest es durch "bedingte" ersetzen? --AchimP 00:18, 13. Feb. 2009 (CET)

Es betrifft jedenfalls die

Einfache Erklärung

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore.

Sie ist nicht korrekt. Der Wechselstrategie betrifft die zwei andere ungeöffnete Türe. Aber wenn ein Tür geöffnet worden ist, ist eine neue Situation eingetreten. Und der Kandidat hat nun zu entscheiden unter der Bedingung dieser Situation. Nehmen wir an das Tür 1 gewählt worden ist und Tür 2 geöffnet und eine Ziege aufweist. Was sich oben im Dialog mit Unikram doch herausgestellt hat, ist das die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 3 ist 1/3. (Kann auch jeder leicht nachvollziehen.) Aber die bedingte W. ist 2/3. Auch für den gewählte Tür 1 gilt ähnliches. Die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit das Auto steht hinter Tür 1 ist 1/3, und die bedingte W. ist auch 1/3. Aber das ist nicht ohne weiteres selbstverständlich!

Ich habe die detaillierte Erklärung noch nicht studiert, aber ich fürchte auch da wird der gleiche Fehler gemacht.Nijdam 01:03, 13. Feb. 2009 (CET)

Nijdam 01:03, 13. Feb. 2009 (CET)

Wo steht in der einfachen Erklärung etwas von "unbedingter Wahrscheinlichkeit"? --AchimP 01:16, 13. Feb. 2009 (CET)

Hier: Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. 'Am Anfang', d.h. noch bevor etwas geschehen ist. Nijdam 10:24, 13. Feb. 2009 (CET)

Mit „am Anfang“ ist hier Schritt 3. der Problemstellung gemeint. Von Wahrscheinlichkeiten ist in diesem Satz nicht die Rede. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 11:20, 13. Feb. 2009 (CET)
Er gewinnt aber nicht "am Anfang", sondern "bei einem Wechsel", d. h. nachdem etwas geschehen ist. Das ist Wortklauberei und Sorry, bei Deinem Deutsch, das meistens am Rande der Unverständlichkeit und oft darüber hinaus geht, scheint es müßig, solche Feinheiten zu diskutieren. No offense, mein Holländisch ist auch ganz furchtbar. --AchimP 11:40, 13. Feb. 2009 (CET)

Wenn die Botschaft nicht gefällt, dann eben der Botschafter angreifen. Ich hoffe die Teilnehemer an der Diskussion sind Kundig in Sache Wahrscheinlichkeitsrechnung und wissen was bedingte Wahrscheinlichkeit ist. Jedenfalls scheint ihr euer eigenes Deutsch schwer zu verstehen. Es sind nicht die Feinheiten der Sprache um deren es sich handelt. Mit "am Anfang" ist gemeint: bevor der Tür mit der Ziege geöffnet ist. Ganz genau ist dann auch schon von bedingte W, der Rede, weil schon einen Tür gewählt ist. Aber beide andere Türe sind noch zu. In dieser Situation kann man sagen: die (bedingte) W. das Auto steht hinter den gewählte Tür ist 1/3. Wechslen bedeutet beide andere Türe, mit 2/3 aufs Auto. Jetzt öffnet der Moderator ein Tür mit Ziege. Es ist nun eine neue Situation eingetreten. Wechslen bedeutet hier nur eine Möglichkeit. Unter diese (neue) Bedingung ist die (bedingte) W. das Auto steht hinter den gewählte Tür wieder 1/3. Aber es ist eine andere (!) (bedingte) Wahrscheinlichkeit. Und das wird von den meisten Leuten nich verstanden. Sogar Marilyn, ja die, machte diesen Fehler, und ist da auch auf gewiesen worden. Und auch die 'einfache Lösung' tut als wäre da kein Unterschied. Lese sonst mal: Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C.,& Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284-287. Nijdam 14:01, 13. Feb. 2009 (CET)

Nochmal: In der "einfachen Erklärung" steht weder etwas von "bedingter" noch von "unbedingter" Wahrscheinlichkeit. Es wird auf viele Details der "umfassenden" Erklärung nicht eingegangen, deswegen ist es ja die "(ver)einfach(t)e" Erklärung. --AchimP 14:10, 13. Feb. 2009 (CET)

Willst du es eigentlich durchschauen? Gerade weil nicht von bedingter Wahrscheinlichkeit gesprochen wird, ist die "einfachen Erklärung" falsch. Wenn im Problem Punkt 6 abgehandelt ist, befindet der Kandidat sich in eine der nächsten 6 Situationen, aber nur in einer Dieser. Wahl 1 und offen 2; wahl 1 und offen 3; usw. Und es ist nicht automatisch dass das Ereigneis das Auto steht hinter den gewählten Tür, auch unter diese Bedingung die Wahrscheinlichkeit 1/3 hat, wie am Anfang. Nijdam 14:29, 13. Feb. 2009 (CET)

Die einfache Erklärung widerspricht dieser Darstellung nicht. Sie geht aber auch nicht detailliert auf sie ein. Deswegen ist es die vereinfachte Erklärung. Es lesen nicht nur Mathematiker dieses Lemma. --AchimP 14:38, 13. Feb. 2009 (CET)

Doch! Und darum geht es. Denn die Erklaerung sagt: Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Aber der Kandidat sieht hinter eine dieser Tuere eine Ziege. Und auch: die Erklaerung benutzt die Strategie des Moderators nicht. Man koennte also die Argumentierung auch anwenden wenn die Strategie so ist das er zuerst versucht Tuer 3 zu oeffnen und wenn es nicht geht erst dann Tuer 2. Aber dann ist das Ergebnis falsch. Also muss logischerweise die Argumentierung falsch sein. Auch nicht-Mathematiker habe ein Recht auf eine korrekte Erklaerung. Nijdam 18:24, 13. Feb. 2009 (CET)

Dass der Kandidat hinter einer der Türen eine Ziege sieht, und dass er nicht versuchen darf, Tür 3 zu öffnen, um beim Vorfinden einer Ziege Tür 2 zu probieren, steht bereits in der Problemstellung unmittelbar über der Erklärung. Man braucht dies in der Erklärung nicht zu wiederholen. Es wird langweilig. Ich verabschiede mich aus diesem Thread. --AchimP 16:02, 14. Feb. 2009 (CET)

Ich moechte doch gerne dass du mal diese Daten betrachtest. Es betrifft 18 eingetretene Spielsituatione.

Wahl  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Auto  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3  

In 1/3 der Faelle ist das Auto hinter Tuer 2 und in 1/3 der Faelle ist das Auto hinter Tuer 3
Der Kandidat waehlt Tuer 1. Das beschraenkt die Moeglichkeiten.

Wahl  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Auto  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3   
Offen 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 

In 1/3 dieser Faelle ist das Auto hinter Tuer 2 und in 1/3 der Faelle ist das Auto hinter Tuer 3. Aber es betrifft jetzt schon bedingter W. Hierueber spricht die einfache Erklaerung.
Der Moderator oeffnet Tuer 3. Eine weitere Beschraenkung.

Wahl  1 1 1 1 1 1 
Auto  1 1 2 2 2 2   
Offen 3 3 3 3 3 3 

In 2/3 dieser Faelle ist das Auto hinter Tuer 2. Es sind aber nur ein Teil der Faelle als hiervor. In dieser Situation muss der Kandidat sich entscheiden. Nijdam 18:49, 13. Feb. 2009 (CET)

Hast du diese Vorstellung gesehen? Begreiffst du sie? Nijdam 18:56, 14. Feb. 2009 (CET)

Lieber Nijdam. Auch wenn Du es Dir wohl kaum vorstellen kannst, hast Du es hier durchaus mit gebildeten Menschen zu tun, die sowohl in der Lage sind, recht einfache mathematische Zusammenhänge zu begreifen, als auch die Bedeutung sowie die Feinheiten von geschriebener deutschér Sprache zu verstehen. Von Dir kommen nur größtenteils nicht nachvollziehbare Beschwerden und persönliche Beleidigungen. Viel Glück, dass Du noch jemanden findest, der das Spiel weiter mit Dir treibt, aber ich würde an Deiner Stelle nicht unbedingt darauf hoffen.--Unikram 19:39, 14. Feb. 2009 (CET)

Lieber Unikram, zeig mir wo ich dich beleidigt habe, und ich entschuldige mich. Erinnerst du dich noch wie du die Diskussion beendet hat? Und BTW. möchtest du auf Niederländisch weiter diskutieren, oder auf Englisch, meinetwegen. Jedenfalls kommt keiner dieser gebildete Menschen mit eine vernünftige Antwort. Und keiner ist es bis jetzt gelungen dieses Problem zu durchschauen. Und keiner gibt Kommentar auf die schon zweimal von mir gegeben Vorstellung der Sache, woraus sich klar zeigt was ich betone. Vielleicht ist es auch eine psychologische Sache: man möchte nicht konfrontiert werden mit der Tatsache das man bisher eine Erklärung verteidigt hat die falsch ist. Nijdam 23:05, 14. Feb. 2009 (CET)


Domestic Goat Portrait (aka).jpg -- Martin Vogel 23:36, 14. Feb. 2009 (CET)

Ich muss leider feststellen dass bis jetzt zwar einigen angefangen haben mit mir zu diskutieren, aber jeder vorzeitig sich, verärgert, zurückgezogen hat. Und auf meine Frage, was man sich denkt bei die oben von mir gegeben Vorstellung des Spiels, hat keiner reagiert. Warum ist das wohl? Nijdam 23:04, 15. Feb. 2009 (CET)

Ich habe jetzt auch die detaillierte Begründung studiert, die ist richtig! Und ... in Wiederspruch mit die 'einfache Erklärung'. Nijdam 00:29, 16. Feb. 2009 (CET)

Ich fordere euch heraus: beantworte einfach meine Fragen, nur mit ja/nein.
Wenn ich 36 mal das Spiel spiele, erwarte ich (im Durchschnitt) das diese Spielsituatione eintreten. (Ziffern bedeuten die Nummer der Türe.):

Wahl  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Auto  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 

Nijdam 23:18, 15. Feb. 2009 (CET)


So oder so: Die "einfache Erklärung" hatte tatsächlich einen Fehler - das ist gleichbedeutend mit: Sie war unvollständig. Sie sagt nichts über die Gleichverteilung und Wahrscheinlichkeiten. Ich habe es zu folgender Fassung geändert:

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang Tor 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tor 2 steht, als auch, wenn es hinter Tor 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tor 3 oder Tor 2 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend das andere dieser beiden Tore. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziege hinter Tor 1 stand, ist 1/3, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie hinter einer der anderen Türen steht, 1-1/3=2/3.

Analoges gilt aus Symmetriegründen für die anderen Türen.

Zitat von Nijdam: Wenn ich 36 mal das Spiel spiele, erwarte ich (im Durchschnitt) das diese Spielsituatione eintreten. (Ziffern bedeuten die Nummer der Türe.):
Wahl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Auto 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

Das erscheint mir korrekt.

Aus Symmetriegründen brauche ich zunächst nur die Wahl der ersten Tür zu betrachten.

Wahl  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
Auto  1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3  

Man sieht gut, dass man gewinnt, wenn man nicht wechselt und in der unteren Reihe eine 1 steht. Das ist genau in 1/3 der Fälle der Fall (vier von zwölf Fällen).

Man sieht auch gut, dass man gewinnt, wenn man wechselt und in der unteren Reihe keine 1 steht. Wenn man wechselt, gewinnt man also in acht von zwölf Fällen.

Analoges gilt für die anderen Türen, man gewinnt also in 12 von 36 Fällen, wenn man nicht wechselt (1/3) und in 24 von 36 Fällen, wenn man wechselt (2/3). Das Bild zeigt das sehr schön.

Voraussetzung sind dafür die Regeln, dass Symmetrie und Zufallsverteilung vorliegt und der Moderator die Türen entsprechend der Angaben öffnet, also nicht die Spielregeln ändert.

  1. Welche Tür der Kandidat auch gewählt hat, der Moderator kann und muss immer eine Tür mit einer Ziege öffnen.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto hinter den gewählte Tür ist, beträgt 1/3.
  3. Der Moderator darf keine Tür öffnen, die der Teilnehmer ausgewählt hat.

--Hutschi 14:21, 18. Feb. 2009 (CET)

Wir kommen die richtige Lösung näher. Jetzt lautet die 'einfache Erklärung'

... Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziege hinter Tor 1 stand, ist von Beginn an 1/3, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie hinter einer der anderen Türen steht, 1-1/3=2/3....

Was ist gemeint mit "von Beginn an"? Viele Leute meinen dass, weil der Kandidat seinen Wahl nicht ändert, deshalb (!?) auch die "Wahrscheinlichkeit sich nicht ändert". Aber ich kenne überhaupt keine Wahrscheinlichkeiten die im Stande sind sich zu ändern. Merkwürdigerweise hat die Wahrscheinlichkeit dass das Auto hinter der andere Tür steht, sich doch geändert, und zwar von 1/3 in 2/3. Wie ist das möglich?? Nijdam 23:59, 18. Feb. 2009 (CET)

Das Konzept nennt sich: „Erkenntnis“. Zunächst ändert sich die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto hinter der Türe steht, die der Spielleiter öffnet von der ursprünglichen 1/3 auf 0, weil sich dort ersichtlich kein Auto befindet, wenn die Türe geöffnet wird. Da sich dadurch nicht die Wahrscheinlichkeit ändert, daß der Kandidat vor Öffnung der Türe bereits die richtige Türe wählt, bleibt auch die Wahrscheinlichkeit konstant, daß sich das Auto hinter einer anderen als der ursprünglich gewählten Türe befindet (1-1/3=2/3). Da diese Wahrscheinlichkeit sich nun nur noch durch eine Türe manifestieren kann, ist die Wahrscheinlichkeit für das Auto hinter dieser Türe nun 2/3. q.e.d. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 08:29, 19. Feb. 2009 (CET)
"Von Beginn an" ist ein polemischer Einwand gegen die Meinung, dass sich die Wahrscheinlichkeit hinter der gewählten Tür durch die Wahl des Moderators ändert. Rein mathematisch ist es nicht nötig, aber es dient zum besseren Verständnis. Wenn man nur schreibt: Die Wahrscheinlichkeit ist ...", kann das verstanden werden: "Die Wahrscheinlichkeit ist jetzt ...". Das ist zwar richtig, suggeriert aber, dass sie sich geändert habe.
Wahrscheinlichkeiten können sich natürlich ändern, in Abhängigkeit davon, was man darunter versteht. Man muss auch verschiedene Wahrscheinlichkeiten unterscheiden. So ist die Wahrscheinlichkeit im Ziegenproblem nicht die wirkliche Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter einer Tür befindet (also die aktuelle) sondern die Wahrscheinlichkeit, es richtig zu erraten, wo es sich befindet (also eine potentielle). Nur um die letzte geht es. Für den Spielleiter ist ja völlig klar, wo es sich befindet. (Zumindest muss ihm klar sein, dass es sich hinter der Tür, die er zeigt, nicht befindet.) --Hutschi 08:47, 19. Feb. 2009 (CET)

Wahrscheinlichkeiten können sich nicht ändern. Gemeinnt wird: wenn eine neue Situation eintritt, soll man aufs neue die Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Die neue Wahrscheinlichkeiten können gleich oder verschieden sein der Frühere, was man in der Umgangssprache ausdrückt mit "haben sich nicht oder ja geändert". Bist du einverstanden? Nijdam 11:23, 19. Feb. 2009 (CET)

Das ist Wortklauberei. Wenn die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto sich hinter Tür drei befindet, nach dem Öffnen von Tür zwei eine andere ist als vorher, kann man sehr wohl sagen, daß die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis („Auto hinter Tür drei“) sich geändert hat. Daß es sich hinterher um eine andere Wahrscheinlichkeit handelt als vorher, ist kein Widerspruch, sondern gerade mit dem Begriff der Änderung gemeint. Mit der gleichen Berechtigung könnte man anderenfalls auch behaupten, daß Gewicht eines Schnitzels ändere sich nicht, wenn man ein Stück abschneidet, da es sich ja streng genommen um ein anders Stück Fleisch handele, dessen Gewicht man bestimmt. Insgesamt gehört die alte erkenntnistheoretische Fragestellung, ob zwei Dinge identisch sind (bzw. die Frage nach dem Wesen der Veränderung), nicht in diesen Artikel. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:22, 19. Feb. 2009 (CET)

"Bist du einverstanden?" - Dann ist der Satz, dass die Wahrscheinlichkeit sich von Beginn nicht geändert hat, jedenfalls richtig. --Hutschi 14:04, 19. Feb. 2009 (CET)

Ich wurde es Wortzauberei nennen. Jedenfalls möchte ich das jeder versteht dass nach dem Öffnen von Tür 2, eine neue Situation eingetreten ist, und das es also Wahrscheinlichkeiten von vor dem Öffnen und Wahrscheinlichkeiten von nach dem Öffnen gibt. Das betrifft nicht nur Tür 3, aber auch Tür 1! OK? Nijdam 14:42, 19. Feb. 2009 (CET)

Ich kann daran nichts Zauberhaftes finden. Die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Fahrzeug hinter Tür 1 befindet, bleibt jedenfalls 1/3, ändert sich also durch das Öffnen von Tür 2 gerade nicht, da Tor 1 laut Regeln gar nicht vom Moderator geöffnet werden darf. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:32, 19. Feb. 2009 (CET)
"Wortzauberei" Von mir aus kann man auch für Tür 1 eine neue Wahrscheinlichkeit berechnen, solange sie 1/3 bleibt. Es ist sicher nach dem Öffnen von Tor Zwei eine neue Situation eingetreten. Man weiß jetzt, dass das Auto nicht hinter Tor 2 ist. --Hutschi 15:57, 19. Feb. 2009 (CET)

Ich hoffe ihr seid euch davon bewusst dass das Wort "bleiben", das ihr beide benutzt, bedeutet: die neue Berechnung - in der neue Situation - liefert als Antwort auch 1/3. Denn es ist wichtig dass man das versteht. Die Wahrscheinlichkeit hat sich trotzdem geändert, denn es ist eine andere Wahrscheinlichkeit, aber mit dem gleichen Wert wie zuvor. Das sieht man deutlich an der Wahrscheinlichkeit dass das Auto hinter Tor 3 steht. Die hat auch ein anderer Wert. Seit ihr hiermit einverstanden? Nijdam 17:58, 19. Feb. 2009 (CET)

Nein. Die Tatsache, daß die Wahrscheinlichkeiten für Tor 2 und Tor 3 sich geändert haben, bedeutet nicht, daß auch die Wahrscheinlichkeit für Tor 1 sich geändert haben muß. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 19:32, 19. Feb. 2009 (CET)
Doch, es bedeutet dass es sich um andere Wahrscheinlichkeiten handelt als zuvor. Es ist eine neue Funktion, mit für Tor 1 der gleiche Wert als die vorherige Funktion! Nijdam 21:14, 19. Feb. 2009 (CET)
Ich bin der Meinung, dass zwei Wahrscheinlichkeiten, wenn sie den gleichen Wert haben, gleich sind. Was verstehst Du hier unter Wert der Wahrscheinlichkeit, Nijdam? Vielleicht reden wir ja aneinander vorbei, weil wir verschiedene Definitionen nutzen. Ich verstehe im vorliegenden Fall den Erwartungswert, dass das Auto hinter der entsprechenden Tür steht. Der ist zunächst für jede Tür 1/3.
Für zwei Türen zusammen ist er zunächst 2/3. Durch das Öffnen einer Tür findet ein Symmetriebruch statt, weil der Moderator die vom Teilnehmer gewählte Tür nicht öffnnen darf. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe aus der gewählten und der geöffneten Tür 1/3, die aus der geöffneten und der niccht gewählten Tür 2/3. Sobald die Regeln geändert werden, ändern sich gegebenenfalls die Wahrscheinlichkeiten. Im ursprünglichen, von Frau Savant vorgegebenen Spiel gab es einige von ihr implizit angenommene Regeln. Diese sind hier explizit angeführt. Darüber ist im Artikel, wenn auch nur kurz, geschrieben.
Die "einfache" Lösung und die komplette Lösung lassen sich eineindeutig aufeinander abbilden. Deshalb sind sie in gewisser Weise äquivalent. Sie ist ein Modell der komplexeren Lösung. Das zeigen auch sehr gut die Zahlenreihen. --Hutschi 19:56, 19. Feb. 2009 (CET)
Die Wahrscheinlichkeit auf "Kopf" bei einem Wurf mit einer ehrlichen Münze ist 1/2. Die Wahrscheinlichkeit auf eine gerade Augenzahl bei einem Wurf mit einem ehrlichen Würfel ist 1/2. Aber das sind bestimmt nicht die gleiche Wahrscheinlichkeiten. Sie betreffen unterschiedliche Zufallsexperimente. So ist es auch hier; zwar sind die Experimente eng verbunden, aber trotzdem unterschiedlich. Nijdam 21:14, 19. Feb. 2009 (CET)
Eben. Deshalb fand ich die "einfache Erklärung" vor diesen Edits ([4]) auch schlicht, ausreichend und klar. Keine Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Nur die simple Aussage, dass man sich in 2 von 3 Fällen erfolgreich verhält. Das scheint mir völlig ausreichend für eine einfache Erklärung; alles Weitere zu den Wahrscheinlichkeiten folgt ja im nächsten Abschnitt. Ich schlage hier einen Revert vor. Gruß -- Talaris 20:16, 19. Feb. 2009 (CET)
+1--Unikram 20:29, 19. Feb. 2009 (CET)
ACK --AchimP 21:05, 19. Feb. 2009 (CET)
Ich hätte nichts dagegen, es war ja lange so. Nur ist dann die Ableitung nicht vollständig. Es fehlt dann die Schlussfolgerung. (Sie steht am Anfang statt am Ende.) --Hutschi 21:57, 19. Feb. 2009 (CET)
Ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe, aber m. E. besteht (ohne Deine Änderung) die ganze "Einfache Erklärung" nur aus einer Schlußfolgerung. Es fehlt im Gegenteil die Herleitung. Das ist m. E. auch das, was Nijdam stört. Ich hingegen betrachte das als Vorteil zum Verständnis für manche Leser der Wikipedia. Den Artikel lesen auch Leute, die sich nicht oder fast gar nicht mit Wahrscheinlichkeitsrechnung auskennen und die noch nie etwas von bedingter oder unbedingter Wahrscheinlichkeit gehört haben. Diese Leute behaupten aber regelmäßig felsenfest überzeugt: "Zwei Türen zur Auswahl? Das ist fifty-fifty." Diese mag zumindest in manchen Fällen die "Einfache Erklärung" überzeugen, wenn (und ich behaupte: nur dann, wenn) wir den Begriff "Wahrscheinlichkeit" erstmal beiseite lassen. --AchimP 01:28, 20. Feb. 2009 (CET)
+1 -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:30, 20. Feb. 2009 (CET)

Ich werde hier noch einmal die "Experimente" vorführen. Ich gehe davon aus dass Tor 1 von dem Kandidaten gewählt worden ist. Es gibt dann noch 4 Möglichkeiten, die ich hierunten aufgelistet habe:

Wahl       1   1   1   1  
Auto       1   1   2   3  
Offen      2   3   3   2
Wahrsch.  1/6 1/6 1/3 1/3

Das Auto ist im Fall [132] hinter Tor 3, also Anfangs mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Wenn aber Tor 2 geoffnet wird, beschränken sich die Möglichkeiten auf:

Wahl       1   1  
Auto       1   3  
Offen      2   2
Wahrsch.  1/3 2/3

Wobei die Wahrscheinlichkeiten abgeleitet wurden aus der erste Tabelle. Weil da die Ratio 1/6 zu 1/3 galt, gilt hier 1/3 zu 2/3. Aber es ist eine andere Funktion, und wie man sieht besteht das Ereignis "Auto hinter Tor 1" nun nur noch aus eine Möglichkeit, und am Anfang aus zwei. Klar? Nijdam 21:14, 19. Feb. 2009 (CET)

Du magst Dinge definieren, wie es Dir beliebt. Im allgemeinen Sprachgebrauch (insbesondere dem der Mathematiker) bezeichnet der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ oder „Erwartungswert“ jedoch eine Zahl p mit 0 ≤ p ≤ 1 - und keinen Versuchsaufbau. Ebenso besteht in der Mathematik weitgehende Einigkeit darüber, wann zwei Zahlen „gleich“ („=“) sind. Insbesondere gilt: 1/3 = 1/3. (Nach dieser Übereinkunft gilt sogar 9/9 = 1.) Wir beziehen uns in dieser Diskussion auf die in der Mathematik üblichen Konventionen, nicht auf Deine privaten. Klar? -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:30, 20. Feb. 2009 (CET)
BTW: Ich bin Mathematiker, und habe 35 Jahre lang Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unterrichtet an einer Uni. Meinst du, ich weiss nicht wovon ich rede? Nijdam 12:57, 20. Feb. 2009 (CET)
Ich kann nicht beurteilen, was Du weißt oder nicht weißt. Ich sehe nur, daß zwischen Deiner Definition, was eine Wahrscheinlichkeit ist, und den Axiomen von Kolmogorow wenig Zusammenhang besteht. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:10, 20. Feb. 2009 (CET)
Das sagt mir genug. Nijdam 13:16, 20. Feb. 2009 (CET)

Nach der Diskussion und den folgenden Einwänden habe ich die Zahlen aus der einfachen Erklärung wieder entfernt. Den Satz mit den "Symmetriegründen" habe ich gelassen. --Hutschi 09:40, 20. Feb. 2009 (CET)

Ich schlage vor, wir spielen ein etwas einfacheres Spiel. Ich starte ein neues Abschnitt.

Neues Spiel

Ich habe gerade eine beliebige deutsche Person gewählt und die Name aufgeschrieben. Du darfst sagen ob es ein Mann oder eine Frau ist. Wenn du gut erraten hast bekommst du ein Auto.

Schritt 1
Was sagst du?

Wenn du gewahlt hast, sage ich: die Person kommt aus Bayern.

Schritt 2
Du darfst deine Wahl ändern? Willst du?

Wenn du geantwortet hast sage ich: Die Person arbeitet bei der Polizei.

Schritt 3
Du darfst deine Wahl ändern? Willst du?

Wenn du geantwortet hast sage ich: Die Person heisst mit Vorname Maria.

Schritt 4
Du darfst deine Wahl ändern? Willst du?

Denk mal nach, in jedem Schritt werden die Möglickeiten weiter eingeengt. Die Wahrscheinlichkeiten auf eine Frau sind im Schritt 1 und 2 beide 1/2, aber es sind unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten! Nijdam 12:15, 20. Feb. 2009 (CET)

Die Frauenquote bei der bayrischen Polizei ist 13,3%. Quelle. -- Martin Vogel 12:33, 20. Feb. 2009 (CET)
Was würdest du also wählen in Schritt 3? Nijdam 12:50, 20. Feb. 2009 (CET)
In der Mathematik ist eine Wahrscheinlichkeit einfach nur eine Zahl. Wenn also A und B jeweils Wahrscheinlichkeit 1/2 haben, dann sind, unabhängig davon, was A und B überhaupt sind (z.B. Kopf/Zahl auf Münze und gerade Zahl auf Würfel) die Wahrscheinlichkeit von A und von B gleich. Weil: 1/2 = 1/2. --Mediocrity 12:55, 20. Feb. 2009 (CET)
Nein, es ist nicht einfach nur eine Zahl. Es ist eine Funktion, mit Zahlen als Werte. Und in deinem Beispiel sind es unterschiedliche Funktione, mit für das genannte Ereignis die gleiche Wert. Nijdam 13:06, 20. Feb. 2009 (CET)

@ Nijdam: Bitte lies Wikipedia:Diskussionsseiten! Sinn dieser Seite ist, über Verbesserungen am Artikel Ziegenproblem zu diskutieren. Aus Deinen Beiträgen ist nicht ersichtlich, was sie mit diesem Ziel zu tun haben sollen. Selbst wenn Deine vorgeschlagene neue Nomenklatur der Stochastik eine objektive Verbesserung darstellen würde, gehörte sie nicht in diesen Artikel und nicht auf diese Diskussionsseite. Es ist fraglich, ob sie überhaupt in die Wikipedia gehörte. Lies dazu bitte auch WP:TF. Danke. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:03, 20. Feb. 2009 (CET)

Eben, mein Ziel ist es den Fehler zu entfernen. Nijdam 13:06, 20. Feb. 2009 (CET)
Und ich erfinde bestimmt keine neue Terminologie, und entwickle auch keine neue Theorie. Was ich hier schreibe ist nicht gemeint um ins Artikel zu geraten, aber dient nur dazu Leute zu erklären warum das Artikel verbessert werden muss.Nijdam 13:11, 20. Feb. 2009 (CET)
Ich sehe inzwischen in den Beiträgen von Nijdam nur noch sinnlose Trollerei. Entweder er sagt klar, was er am Artikel verbessern will, oder diese ganze unsinnige Laberei und die Spielchen haben hier ein Ende.--Unikram 13:19, 20. Feb. 2009 (CET)
Ich gebe zu, daß auch mein Vorrat an WP:AGF ziemlich erschöpft ist. Insbesondere seine Weigerung, seinen Standpunkt in der anerkannten Terminologie darzustellen, oder wenigstens mal darzulegen, auf welcher Wahrscheinlichkeitstheorie - wenn er schon die klassische ablehnt - seine Sichtweise fußt, oder seine Definition bsplsw. des Begriffes „Wahrscheinlichkeit“ oder des „Erwartungswertes“ zu nennen, machen es einem ja auch wirklich nicht leicht. Aber da kommen allenfalls kryptische Bemerkungen. Sieht alles sehr stark nach rotem Hering aus. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:34, 20. Feb. 2009 (CET)
Eine Wahrscheinlichkeit ist keine Funktion. Was du meinst, ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Also, um es klarzustellen: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Art Funktion, die auf Mengensystemen operiert. Die Wahrscheinlichkeit hingegen ist der Wert dieser Funktion, also eine Zahl. Zwei Wahrscheinlichkeiten sind also dann gleich, wenn die Zahlenwerte übereinstimmen. Das bedeutet freilich nicht, dass die Wahrscheinlichkeitsmaße übereinstimmen. --Mediocrity 13:37, 20. Feb. 2009 (CET)
@Mediocrity: Ich weiss, ich weiss. Da hast du recht, aber man kann natürlich im Artikel nicht von Wahrscheinlichkeitsmaß reden. Aber es handelt sich tatsächlich darum dass zwar die Wahrscheinlichkeite gleich sind aber sich auf unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsmaße beziehen. Wenn du dies verstehst, soltest du eigentlich auch verstehen müssen dass die "einfache Erklärung" im Artikel falsch ist. Denn darum geht es, obwohl das weit oben angefangen hat. Nijdam 13:51, 20. Feb. 2009 (CET)
(BK:) Ich habe allerdings nicht den Eindruck,daß das hier in Rede stehende Ziegenproblem einen Grad an Komplexität aufweist, daß man es nur mit den Mitteln der Maßtheorie handlen könnte. IOW: Es mag ja sein, daß Nijdams Ausführungen sinnvoll werden, wenn man in ihnen jeweils „Wahrscheinlichkeit“ durch „Wahrscheinlichkeitsmaß“ ersetzt. Nötig zum Verständnis der einfachen Erklärung ist es jedoch sicher nicht, erst recht nicht die Einführung des Begriffes „Wahrscheinlichkeitsmaß“ in diese. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:54, 20. Feb. 2009 (CET)
Ich finde diese "einfache Erklärung" vertretbar. Das ist zwar nicht große Wissenschaft, aber ganz okay, finde ich. --Mediocrity 14:10, 20. Feb. 2009 (CET)
Siehst du auch wo sie scheitert.Nijdam 14:13, 20. Feb. 2009 (CET)
Falls das eine Frage sein sollte, wäre es hilfreich, wenn Du - anstatt zu fragen - erklären könntest, wo(ran) sie scheitert. Diese Information bist Du nämlich bis jetzt schuldig geblieben. (Hint: Die Begriffe „Wahrscheinlichkeit“, „Wahrscheinlichkeitsmaß“, „Wahrscheinlichkeitsfunktion“, „Erwartungswert“ etc. tauchen in der einfachen Erklärung nicht auf, können also auch nicht falsch verwendet sein.) -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 14:32, 20. Feb. 2009 (CET)
Ich finde am ehesten den Satz Analoges gilt aus Symmetriegründen für die anderen Türen bedenklich - da ist nicht ganz klar, worauf sich das bezieht. --Mediocrity 15:03, 20. Feb. 2009 (CET)
Die einfache Erklärung erklärt die Situation am Beispiel des zunächst gewählten Tores 1. Mutatis mutandis gilt das gleiche auch, wenn der Kandidat zunächst Tor 2 oder Tor 3 wählt, da die Tore gleichwertig sind. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 15:35, 20. Feb. 2009 (CET)
Jaja, das ist mir schon klar. Der unbedarfte Leser tut sich aber vielleicht schwer,festzustellen, worauf sich die anderen Türen bezieht, weil in den ätzen davor so oft von Türen die Rede ist. Vielleicht wäre besser: "Analoges gilt aus Symmetriegründen, falls der Kandidat zu Beginn Tür 2 oder Tür 3 wählt." Verstehst du, was ich meine? --Mediocrity 16:18, 20. Feb. 2009 (CET)
Verstehe ich sehr gut. Ich halte das sogar für besser und verständlicher als die jetzige Formulierung. Also: WP:SM! -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 16:37, 20. Feb. 2009 (CET)
+1 --AchimP 17:00, 20. Feb. 2009 (CET)


Vorschlag

Ich habe darüber nachgedacht wie man die einfache Erklärung anpassen kann damit sie richtig ist. Sie soll etwa wie folgendes lauten.

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Denn das Auto steht in 1/3 der Fälle hinter dem gewählten Tor. Auch wenn der Kandidat am Anfang Tor 1 wählt und sich entscheidet zu wechslen ist das richtig. Und es gilt auch noch für den Fall worin Tor 3 offen ist und eine Ziege aufweist. Denn wegen der Symmetrie im Problem, ist der Fall mit das Auto hinter Tor 2, nicht wirklich verschieden vom Fall mit das Auto hinter Tor 3. Und deshalb ist auch in 1/3 jeder dieser Fälle das Auto hinter Tor 1, und hat der Kandidat bei einem Wechsel eine Gewinnchance von 2/3.

Nijdam 00:06, 24. Feb. 2009 (CET)

Es ist Dir bis jetzt nicht gelungen, den von Dir behaupteten Fehler in der einfachen Erklärung in ihrer ursprünglichen Form darzustellen. Also laß sie bitte so, wie sie ist. Ganz unabhängig davon ist Deine vorgeschlagene Erklärung - zumindest mir - völlig unverständlich. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 14:45, 24. Feb. 2009 (CET)

Gemischte Strategien

Ich bin nicht ganz sicher, wie es sich bei "gemischten" Strategien verhält. (Man könnte auch würfeln.) Ist dann eine Strategie mit 2/3 wechseln und 1/3 bleiben gleichwertig zur Immer-Wechseln-Strategie? --Hutschi 08:40, 23. Feb. 2009 (CET)

Dann gewinnst Du in 2/3 der Fälle mit p=2/3 und in 1/3 der Fälle mit p=1/3. 2/3 * 2/3 + 1/3 * 1/3 = 5/9 ist 1/9 kleiner als 2/3. --AchimP 10:20, 23. Feb. 2009 (CET)
@Hutschi: Nein. So etwas wie Gemischte Strategie macht m.E. nur dann einen Sinn, wenn mind. 2 Personen gegeneinander spielen und eine Reine Strategie vom Gegner erraten und durchkreuzt werden könnte. (siehe etwa auch: Lösungskonzepte (Spieltheorie), Minimax-Algorithmus). Hier beim Ziegenproblem hat der Kandidat gar keinen Gegenspieler im Sinne der Spieltheorie. Die reine Strategie zu verlassen, bringt also einfach nur ein suboptimales Ergebnis. - Mischen/Würfeln ist hier also etwa so, wie wenn man mal mit dem Auto zum Briefkasten fährt und dann auch wieder mal zu Fuß geht: Das ist besser für die Umwelt, als wenn man immer mit dem Auto fährt, oder? Nur eben doch suboptimal... (Hoffe, ich hatte Deine Frage richtig verstanden.) Gruß -- Talaris 12:25, 23. Feb. 2009 (CET)

Ich denke, Du hast sie richtig verstanden. Trotzdem kann ich mindestens einen Fall nennen, bei dem eine gemischte Strategie in einem leicht abgewandelten Spiel 50% sichert, während eine reine Strategie zum Verlust führt: Der Teilnehmer kenne die Regeln nicht. Damit kann er nicht wissen, dass immer eine Tür geöffnet wird. In diesem Fall könnte der Moderator versuchen, ihn vom richtigen Punkt wegzulocken. Das ist insbesondere der Fall, wenn er nur Wechsel anbietet, wenn richtig geraten wurde. Nehmen wir an, dass es beide Spielarten gebe oder auch weitere, dass es also im Ermessen des Moderators liege ... Da dann beide Spiele gespielt werden könnten, sichert eine gemischte Strategie zumindest 50% Wahrscheinlichkeit. wenn man würfelt, ob man wechselt oder nicht. Unklar ist mir vor allem, ob es eine Strategie gibt, bei der man beim "normalen" Ziegenproblem ebenfalls auf 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit kommt. Aber das hat AchimP beantwortet.--Hutschi 14:00, 23. Feb. 2009 (CET) --Hutschi 14:00, 23. Feb. 2009 (CET)

Aktuelle Ergänzungen - zwei weitere Erklärungen

Der Artikel hat in den vergangenen Tagen freundlicherweise zwei neue Abschnitte bekommen: [5], hauptsächlich durch Gerhardvalentin. Beide stellen die bekannte und natürlich stets gleiche Lösung jeweils noch einmal etwas anders dar. Ich finde die Erläuterungen durchaus interessant und eingängig, will aber folgende Punkte zur Diskussion stellen.

  • Wieviele verschiedene Lösungswege wollen wir im Artikel darstellen?
  • Die Lösungswege sollten sich klar unterscheiden und keine endlosen Wiederholungen darstellen. (Hier habe ich revertiert, weil ich nicht in jeder Begründung im Artikel die wiederholte Floskel „Gewinnchance 1/3“ lesen möchte)
  • Der Abschnitt 2.2. Detaillierte Begründung sollte sprachlich überarbeitet und m.E. stark gestrafft werden. (Der einleitenden Satz „Das Problem ist zwar nicht einfach zu durchschauen, doch hilft das konsequente Verständnis der Spielregel“ ist zwar eine nette Stilblüte, aber komplett entbehrlich, usw.)
ACK -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:30, 26. Feb. 2009 (CET)
  • Gibt es evtl. für die jeweiligen Lösungswege (z.B. die Wertetabelle) Quellen oder Literaturstellen oder sind die hier entstanden?
Die Wertetabelle hat Nijdam entwickelt. Auch für die anderen Lösungen sind in der Regel keine Quellen im Text angegeben. Die Gesamtzahl von zwei Einzelnachweisen halte ich für ein so umfassend diskutiertes Thema in einem exzellenten Artikel auch für etwas gering. Andererseits ist die Schöpfungshöhe bei den meisten Erklärungen nicht so überwältigend, daß sich da jemand mit Exklusivität schmücken könnte. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:30, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich wünsche mir lediglich, dass die Lösungswege einfach und klar dargestellt sind, und verschiedene Zielgruppen unter den Lesern jeweils bei ihren unterschiedlichen Mathe-Kenntnissen etwas Geeignetes finden. Gruß -- Talaris 22:19, 25. Feb. 2009 (CET)

Ich fange jetzt auch an die detaillierte Begründung zu überprüfen. Ich starte mit dem zweiten Teil: Begründung über Wahrscheinlichkeiten. Als erste nehme ich dieser Satz: In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1. (1) In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3. (4). Das stimmt nicht, denn in 1/2 der Gesamtzahl der Fälle öffnet der Moderator Tor 2. Nijdam 00:31, 26. Feb. 2009 (CET)
Da steht: „In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle …“ (Fettung von mir) Das ist korrekt. Das sind zwar nicht sämtliche Fälle, in denen Tor 2 geöffnet wird − das behauptet der Satz aber auch nicht. Er sagt vielmehr aus, daß in 1/6 der Fälle sich der Wagen hinter dem zunächst gewählten Tor befindet und dann Tor 2 geöffnet wird (analog für Tor 3). Bist Du wirklich sicher, daß Du für die Überprüfung der sprachlichen Korrektheit eines deutschen Textes die geeignete Person bist? -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:20, 26. Feb. 2009 (CET)

Hör mal Ottenbruch, lasse solche Bemerkungen hinterwege. Ich stelle doch auch nicht im Frage ob du die geeignete Person bist dich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu beschäftgen, oder? Du versuchst immer Falsches zu rechtfertigen. Warum eigentlich? Was steht oben: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, und das stimmt nicht. Ich, und hoffentlich du auch, weiss was gemeint ist, aber es steht da nicht.Nijdam 11:29, 26. Feb. 2009 (CET)

Es stimmt tatsächlich nicht. Der Moderator kann, wenn der Teilnehmer Tor 1 wählt und das Auto dahinter steht, ein beliebiges Tor von 2 oder 3 öffnen, also immer Tor 2 oder immer Tor 3 oder eine andere beliebige andere Verteilung. Festgelegt ist er nur, wenn der Teilnehmer das Tor 1 wählt und das Auto nicht dahinter steht. Das ist ganz wesentlich. Nur die Summe der Fälle ist 1/3. Sie kann sich willkürlich nach Wahl des Moderators zusammensetzen. Eine Möglichkeit ist, dass der Moderator es zufällig wählt mit Gleichverteilung. PS: Wenn das anders wäre, wäre die "einfache Erklärung" sehr problematisch. 1/6 + 1/6 ist lediglich eine Möglichkeit, aber kein Muss. x+(1/3-x)=1/3
1/6 ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung. Hinreichend und notwendig ist, dass die Summe 1/3 beträgt. --Hutschi 11:41, 26. Feb. 2009 (CET)
Das ist eine andere Sache. Der Satz: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, stimmt deshalb nicht weil der Moderator Tor 2 in 1/2 der Gesamtzahl der Fälle öffnet. Gemeint ist: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, steht das Auto hinter Tor 1 und wird vom Moderator Tor 2 geöffnet. Nijdam 12:07, 26. Feb. 2009 (CET)
Das von Dir zitierte ist kein Satz, sondern nur ein Teil eines Satzes. Dieser lautet vollständig: „In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tor 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tor 3.“ Die „Hälfte dieser Fälle“ sind „1/6 der Gesamtzahl“, und in diesen Fällen „wird vom Moderator Tor 2 geöffnet“. Der Satz ist also nicht falsch. Man könnte ihn vielleicht durch ein „unter anderem“ o.ä. anreichern, aber falsch ist er nicht. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 13:37, 26. Feb. 2009 (CET)
Ich bin gespannt welche "Gesamtzahl der Fälle" du denn meinst. Nijdam
Wie meinen? Über den Begriff „Gesamtzahl der Fälle“ hat doch bis jetzt nie eine Unklarheit bestanden. Oder vestehst Du nicht, was mit „dieser Fälle“ gemeint ist? Das bezieht sich auf den vorhergehenden Satz: „In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tor 1.“ Und die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 17:30, 26. Feb. 2009 (CET)

Die Gesamtzahl der Fälle ist:

Auto = 1 offen = 2
Auto = 1 offen = 3
Auto = 2 offen = 3
Auto = 2 offen = 3  
Auto = 3 offen = 2 
Auto = 3 offen = 2 

In 1/3 ist das Auto hinter Tor 1, und in die Hälfte davon ist Tor 2 Offen. Aber in 1/2 ist Tor 2 offen und nicht in 1/6. Nijdam 22:54, 26. Feb. 2009 (CET)

Bitte lies noch einmal, was ich über die Bedeutung der Worte „dieser Fälle“ im Deutschen geschrieben habe. Ich bestreite nicht, daß insgesamt in der Hälfte der Fälle Tor zwei geöffnet ist. Aber auch in diesem Sechstel der Fälle ist Tor 2 geöffnet. Es handelt sich um eine sogenannte Untermenge. Falsch wäre der Satz dann, wenn in diesem Sechstel der Fälle Tor 2 nicht geöffnet würde. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:35, 27. Feb. 2009 (CET)
Ich weiss genau wie es ist. Richtig ist der Satz dann, wenn sie lautet: also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, ist nicht nur das Auto hinter Tor 1, aber wird vom Moderator auch noch Tor 2 geöffnet. Da könnte man ihm nicht missverstehen. Denn das ist in Worten, was in einer Formel P(A=1 und Offen=2) = 1/6 wäre. Nijdam 09:29, 27. Feb. 2009 (CET)
„Ich weiss genau wie es ist.“ Diese Überzeugung merkt man Dir häufiger an. -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 18:41, 27. Feb. 2009 (CET)
Was hältst du von dieser Behauptung: Wenn ich Berlin besuche, mache ich in der Hälfte der Fälle einen Botsfahrt auf der Spree und schaue mir das Brandenburger Tor an. In der andere Hälfte mache ich eine Stadtbummel. In der Hälfte dieser letztere Fälle, also in einem Viertel der Fälle dass ich in Berlin bin, schaue ich mir das Brandenburger Tor an. Könnte doch leicht missverstanden werden. Nijdam 00:19, 2. Mär. 2009 (CET)
Ich habe keine Lust mehr auf diese Art von „Diskussion“, bei der Du jedesmal, wenn Du gegen ein Argument nichts vorzubringen hast, eine lustige Geschichte erfindest, die mit der Sache nichts zu tun hat. Es geht hier nicht um Stadtbummel in Berlin, sondern um die "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" der Lösung des Ziegenproblems. Für diese Albereien kannst Du Dir jemanden anderen suchen. Und lies bitte endlich die Einleitung dieser Diskussionsseite! -- M.ottenbruch ¿⇔! RM 07:28, 2. Mär. 2009 (CET)