Diskussion:Zustand (Quantenmechanik)

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Welcher mathematische Tiefgang ist hier angemessen?

Neuer Abschnitt: Das zitierte Lehrbuch von Thirring hab ich mir angesehen und bin von dem mathematischen Tiefgang, ja: zurückgeschaudert. Wenn das für die überwältigende Mehrheit der Wikipedia-Leserschaft nicht genauso vollkommen außerhalb der Reichweite eines nachholenden Verständnisses liegt wie für mich, dann kann ich meine Mitarbeit hier getrost einstellen, denn damit kann ich, knallhart gesagt, überhaupt nichts anfangen. Ich gehe aber stark davon aus, dass ich damit bei weitem nicht allein bin, denn die gefühlt 10^2 Lehrbücher der Quantenmechanik, aus denen ich bisher was gelernt habe, kommen auch völlig ohne diese Stufe anspruchsvollster Mathematik aus. Ich glaube, noch nicht einmal Günther Ludwig (dessen Lehrbuch es in unserer UB nicht mehr gibt) geht so weit bzw. so tief. Ich plädiere daher dafür, den Hauptteil des Artikels auf dem Niveau eines eher typischen Lehrbuchs zu halten, und das tiefschürfende, wenn es denn sein muss, in eigenen Abschnitten anzufügen. - Ich bitte auch weitere Autoren sich dazu zu äußern. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:49, 24. Apr. 2019 (CEST)

ich stimme zu, dass einiges dafür spricht, den Abschnitt "Mathematische Darstellung" mit einer spezielleren/gebräuchlicheren Formulierung der QM zu beginnen zu lassen. Eine Möglichkeit wäre, erstmal den endl-dim Hilbertraum-Formalismus darzustellen (vllt sogar parallel zu/immer im Bezug auf die (formellosen) Abschnitte unter "Grundbegriffe") und dann die Verallgemeinerungen auf unendlich-dimensionale Hilberträume (wo "Wellenfunktionen" und "uneigentliche Eigenzustände" dazukommen und Dichtematritzen zu Spurklasseoperatoren veralgemeinert werden). Und dann mit einem kurzen Abschnitt zum C*-alg.-Formalismus abzuschliessen. --Qcomp (Diskussion) 00:46, 25. Apr. 2019 (CEST)

Da können wir gut zusammentreffen. Ich hab inzwischen weitergelesen und mich graduell von den Vorzügen der C*-Darstellung überzeugen lassen. Als erstes fiel mir auf, dass meine allgemeine Lieblingsdefinition von "Zustand" ja genau diesen Weg weist: "Zustand beinhaltet die Information, die mindestens gebraucht wird, um alle für ein System zu erwartenden Messergebnisse vorherzusagen." Die aktuelle Darstellung ist allerdings mehr als lückenhaft und erfüllt daher nicht die Anforderungen an eine Definition, wie sie zu Beginn des Artikels erwartet werden darf. Imho fehlt zB mindestens der Hinweis auf nicht-abelsche Algebra, um das von der klassischen Mechanik abzugrenzen. Un ganz formal: das x in ψ ( A A* ) ≥ 0 ∀ x ∈ A sollte wohl ein A sein? --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:53, 25. Apr. 2019 (CEST)

ja, das x hätte A sein sollen (danke; jetzt korrigiert); der Kerngedanke Deiner Definition v Zustand gefällt mir auch (er geht -mit weniger mathematischem Gepäck- in die Richtung, in die ich (weiter oben) mit "alle möglichen Erwartungswerte" auch wollte). Allerdings kann "die Information, die gebraucht wird, um alle Messergebnisse vorherzusagen" auch als im Widerspruch zu der Unvorhersagbarkeit der qm Messresultate stehend gelesen werden (und so, als ob (auch klassische) gemischte Zustände keine seien); daher müsste man vllt noch Einschränkungen ergänzen, z.B. so:

Der Zustand eines Systems beschreibt das Ergebnis seiner Präparation. Er fasst mindestens all die dem Beschreiber/Beobachter vorliegende Information zusammen, die ihm erlaubt, die Ergebnisse aller an dem System möglichen Messungen im Rahmen der verwendeten Theorie vorherzusagen.

Das ist ja noch eine ganz allgemeine (und noch verbesserbare) Aussage über den Zustand in jeder beliebigen physikalischen Theorie. (Das "mindestens" stört ein bisschen, muss aber drinbleiben, um auch "hidden-variable"-Zustände in die Def. einzuschliessen...). Dann könnte man anschliessen, dass in der QM Unschärferelation und Superpositionsprinzip zu ganz speziellen Eigenschaften der Zustände (und einer speziellen Struktur des Zustandsraums) führen (Unterschied zu klass. Physik & Notwendigkeit der "Interpretation".)

Im Abschnitt "mathematische Beschreibung" kann man diese Def dann wieder aufnehmen: Unschärferelation -> nicht kommutierende Observablen -> Observablenalgebra -> was zur Beschreibung aller möglichen Messergebnisse notwendig ist, sind die Erwartungswerte eines vollständigen Systems von Observablen (vollständig hier in dem Sinn, dass es eine Basis des Raums der Observablen ist); um jetzt mit dem math. Formalismus anzufangen würde ich dann auf endl-dim. Systeme spezialisieren. Vollständige Präparation eines Systems = Messung eines vollst. kommut. Satzes von Observablen, das System wird dann im zugeh gemeinsamen Eigenzustand präpariert, alle Eigenzustände zusammen spannen den HR auf; das Superpositionsprinzip impliziert, das jedes Element $\psi$ des HR einen physikalisch möglichen Zustand des Systems darstellt (der z.B. durch Präparation im Eigenzustand mit EW=1 der Observablen $P_{\psi }=|\psi \rangle \langle \psi |$). Noch zu überlegen ist, ob man hier den Zustand mit Strahlen oder mit normierten Vektoren identifizieren will. wenn letzteres ist die globale Phase zu erwähnen.... --Qcomp (Diskussion) 16:13, 25. Apr. 2019 (CEST)

Ich beginne mit der angedeuteten Bearbeitung. Als erstes (quasi als Merkzettel) ein paar ergänzende Punkte in die Einleitung (die ja die wesentlichen Teile des Artikels schon ankündigen soll). Gerne zu verbessern! --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:23, 3. Mai 2019 (CEST)

Eine Zahl, mehrere Messwerte?

"...Zahl gibt den Erwartungswert der in diesem Zustand möglichen Messergebnisse an." Eine einzige reelle Zahl kann doch wohl nur den Erwartungswert für ein, nicht für mehrere Messergebnis angeben? --UvM (Diskussion) 09:52, 22. Sep. 2020 (CEST)

Ist nun präzisiert. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:14, 22. Sep. 2020 (CEST)

@UvM: (+x)×(+y)=(+xy), (-x)×(-y)=(+xy), so ungefähr hat Harald Lesch Tachyonen erklärt (genaugenommen hat er mit den Flächen über den Seiten eines Dreiecks argumentiert). Könnte der Erwartungswert nicht auch das zweite Ergebnis von zwei (virtuellen) negativen Messergebnissen (während das erste Ergebnis aus zwei positiven Messergebnissen herrührt) sein - oder wäre das dann keine reelle Zahl? Vielleicht weiß Bleckneuhaus die Antwort? --Tristram (Diskussion) 22:54, 22. Sep. 2020 (CEST)

Nee, tut ihm leid. Damit weiß er ernsthaft nichts anzufangen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:00, 22. Sep. 2020 (CEST)

Die sog. "Präzisierung" hilft nichts, so kann man nicht ernsthaft über den fraglichen Satz im Artikel reden oder schreiben. Lass gut sein. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:29, 22. Sep. 2020 (CEST)

Da der Satz (mit dem Absatz) vermutlich auf meine Kappe geht, kurz, was gemeint ist: Zu einem Operator respektive einer Messgröße (was ich mit meinem Apparat messen will) existieren verschiedene mögliche Messergebnisse (was mir mein Apparat anzeigt), nämlich die Eigenwerte des Operators. Du hast recht, strikt müsste dort "gibt den Erwartungswert für das Messergebnis einer Messgröße in diesem Zustand" stehen. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 00:55, 23. Sep. 2020 (CEST)

@Blaues-Monsterle Siehst Du denn zu dem, wie es seit gestern da steht ( "Diese Zahl gibt den Erwartungswert der möglichen Messergebnisse an, die bei einzelnen Mesungen dieser Größe in diesem Zustand erhalten werden können. ") in Verbeindung mit "Im Gegensatz zum klassischen Begriff legt der Zustand in der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik nicht für jede am System durchführbare Messung einen mit Sicherheit zu erwartenden Messwert fest, sondern nur für jeden möglichen Messwert die Wahrscheinlichkeit P {\displaystyle P} P, dass gerade dieser Wert eintritt. " (im Absatz davor) noch einen Unterschied zu Deinem strikten diktum? --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:22, 23. Sep. 2020 (CEST)

"Diese Zahl gibt den Erwartungswert der möglichen Messergebnisse an, die bei einzelnen Mesungen dieser Größe in diesem Zustand erhalten werden können." Meine Frage (siehe Anfang der Diskussion hier) war vielleicht zu simpel, vielleicht nur ein sprachliches Problemchen: "diese Zahl" steht im Singular, der Erwartungswert ebenso, "die" möglichen Messergebnisse aber immer noch im Plural. Müsste es nicht heißen, "den Erwartungswert für das Messergebnis, das ... erhalten werden kann", wie Blaues Monsterle vorschlägt? Dass die Einzelmesswerte dann um diesen Wert herum streuen, versteht sich imho aus dem Begriff Erwartungswert. --UvM (Diskussion) 15:10, 25. Sep. 2020 (CEST)

Ich sehe die Schwierigkeit nicht. Der Erwartungswert ist immer nur 1 (eine) Zahl. Mögliche Messergebnisse kann es viele geben, zB 6 verschiedene, wenn man die Zahl der Augen auf dem Würfel messen will. Hier ist der Erwartungswert 3,5, was gar kein möglicher Messwert ist. - Sollte man betonen: "... die vor der Durchführung Messung theoretisch möglichen Messergebnisse"? Also wie gesagt, ich bin blind gegenüber einem Problem dabei. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:31, 25. Sep. 2020 (CEST)

Verschiebung von Zustand (Quantenmechanik) her sofort zurücksetzen!

Ich habe das über "Änderungen zurücksetzen" eben erfolglos probiert (aw: "Anscheinend wurde diese Bearbeitung bereits rückgängig gemacht."). Die Verschiebung scheint von keinerlei Sachkenntnis getragen und hätte jedenfalls erst diskutiert werden müssen. Der Zustand in der Quantenmechanik ist der Zustand in der Quantenmechanik, und dass dieses Theoriegebäude nicht alles umfasst, was quantenphysikalisch ist, müsste doch jedem klar sein, der sich an solche Änderungen macht. Auch Neulingen wie Uncle Silver. Wie macht man das rückgängig? --Bleckneuhaus (Diskussion) (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von Bleckneuhaus (Diskussion | Beiträge) 16:54, 20. Nov. 2021 (CET))

Ich hab die Wiederherstellung unter dem alten Titel jetzt selbst gemacht, wahrscheinlich unnötig umständlich. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:36, 20. Nov. 2021 (CET)

Bearbeitungskonflikt

Hallo @Qcomp, ich saß an einer für mich besser verdaulichen Formulierung und will Deine letzte Version nicht einfach überschreiben. Was hältst Du vom folgenden Vorschlag?

"Zu einem allgemeineren Begriff eines quantenmechanischen Zustands kommt man, wenn der Begriff nicht wie oben als Ausgangspunkt der Beschreibung definiert wird, sondern aus allgemeineren Annahmen abgeleitet wird. Dem mathematisch strikten Aufbau der Quantenmechanik wird nur zugrundegelegt, dass es physikalische Größen gibt, die an einem physikalischen System gemessen werden können, wobei sie je nach Zustand des Systems bestimmte Werte zeigen. Die physikalischen Größen haben (wegen der Möglichkeiten der Produktbildung und Linearkombination etc.) die Struktur einer Untermenge einer C*-Algebra, ihre Werte sind eine Untermenge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$. Der Zustand des Systems ist diejenige Abbildung der C*-Algebra auf $\mathbb {C}$, die jeder physikalischen Größe ihren Erwartungswert zuweist.

Diese Abbildung ist in mathematisch strikter Benennung ein lineares Funktional, wenn die physikalischen Größen durch beschränkte lineare Operatoren $A$ dargestellt werden, Damit eine Abbildung $\psi$ von der C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ auf die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ einen quantenmechanischen Zustand darstellt, muss gelten: $\psi (AA^{*})\geq 0\;\forall A\in {\mathcal {A}}$ und $\psi ({\hat {1}})=1$. Dabei ist die ${\hat {1}}$ das Einselement der Algebra.

Die Menge dieser Zustände ist eine konvexe Menge, das heißt, wenn $\psi$ und $\phi$ Zustände sind und $0\leq a\leq 1$, dann ist auch $\varphi =a\psi +(1-a)\phi$ ein Zustand. Zustände $\varphi$, die sich nicht mit einem $0<a<1$ so in zwei andere zerlegen lassen, entsprechen den oben mittels Hilbertraumvektoren definierten reinen Zuständen. Diese reinen Zustände sind genau die Extremalpunkte der Menge aller Zustände; alle anderen sind Zustandsgemische, die als Integral über reine Zustände ausgedrückt werden können.

Jedem Zustand kann mittels der GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ zugeordnet werden. Jeder normierte Vektor $|\psi \rangle$ im Hilbertraum, ${\big \|}|\psi \rangle {\big \|}=1$, entspricht einem reinen Zustand $\psi$ auf ${\mathcal {A}}$ und umgekehrt kann jedem reinen Zustand ein Vektor zugeordnet werden. Es gilt

$\psi (a)\ \Leftrightarrow \ \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle$

wobei $\langle \psi |\pi (a)\psi \rangle$ das Skalarprodukt im Hilbertraum aus $|\psi \rangle$ und $|\pi (a)\psi \rangle$ bezeichnet. Die reinen Zustände bilden die irreduziblen Darstellungen im Hilbertraum." --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:57, 19. Feb. 2024 (CET)

Du kannst umseitig gern weiter verbessern, ich hänge an meinen Formulierungen (gar) nicht. Zum Text hier zwei Anmerkungen: (1) wird die C*-Algebra schon eingeführt, bevor man sich auf beschränkte Operatoren eingeschränkt hat. Wenn man nur von "Produktbildung und Linearkombination" motiviert ist (und Orts- und Impulsobservablen im Hinterkopf hat), kommt man doch eigentlich eher nur auf "eine Algebra" als passende Struktur denn gleich speziell auf C*-Algebren. Ich hab kein Argument, das direkt aus der Physik zur C*-algebraischen Struktur kommt (sondern nur, dass die C*-algebraische Beschreibung den üblichen Ansatz reproduzieren kann, aber mathematische Vorteile hat). Das für mich "anschaulichste" Argument ist, dass beschränkte Operatoren physikalisch ausreichen, da man auch die unbeschränkten immer auf beschränkte abbilden kann, indem man die Messskala anpasst (etwa: tanh(X) statt X), wobei die wichtigsten Eigenschaften der Observablen (Spektralschar/Spektralprojektionen) erhalten bleiben.
(2) Wenn ich mich recht entsinne, sollte das Funktional linear und positiv sein, damit es dann auch stetig ist. Und noch ein Nachtrag bzgl. "entsprechen genau den Vektoren im Hilbertraum": auf endlichdimensionalen Räumen ist das so; aber im unendlichdimensionalen gibt es auch die singulären Zustände (wie z.B. die Eigenzustände des Ortsoperators), die auch keine Konvexkombinationen anderer Zustände sind, denen aber auch keine Hilbertraumvektoren entsprechen - müsste man sich für diese genau-dann Aussage nicht auf dim${\cal {H<\infty }}$ oder auf normale Zustände einschränken? --Qcomp (Diskussion) 02:03, 20. Feb. 2024 (CET)

Wenn die Schwachpunkte meines Vorschlags damit schon benannt sind, hab ich ja einigermaßen richtig gelegen. Nachfolgend eine kleine Überarbeitung mehrerer Punkte, wobei ich aber die Frage der Beschränktheit nicht berücksichtigen konnte, mangels Kenntnis der näheren Zusammenhänge bzw. Abhängigkeiten. Mach Du es!

"Zu einem allgemeineren Begriff eines quantenmechanischen Zustands kommt man, wenn der Begriff nicht wie oben als Ausgangspunkt der Beschreibung definiert wird, sondern aus allgemeineren Annahmen abgeleitet wird. Dem mathematisch strikten Aufbau der Quantenmechanik wird nur zugrundegelegt, dass es physikalische Größen gibt, die an einem physikalischen System gemessen werden können, wobei sie je nach Zustand des Systems bestimmte Werte zeigen. Die physikalischen Größen haben (wegen der Möglichkeiten der Produktbildung und Linearkombination etc.) eine algebraische Struktur wie z. B. eine Untermenge einer C*-Algebra, ihre Werte sind eine Untermenge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$. Der Zustand des Systems ist diejenige Abbildung der C*-Algebra auf $\mathbb {C}$, die jeder physikalischen Größe (unter Wahrung der Linearität) ihren Erwartungswert zuweist.

Diese Abbildung ist in mathematisch strikter Benennung ein lineares Funktional, wenn die physikalischen Größen durch beschränkte lineare Operatoren $A$ dargestellt werden, Damit eine Abbildung $\psi$ von der C*-Algebra ${\mathcal {A}}$ auf die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ einen quantenmechanischen Zustand darstellt, muss gelten: $\psi (AA^{*})\geq 0\;\forall A\in {\mathcal {A}}$ und $\psi ({\hat {1}})=1$. Dabei ist ${\hat {1}}$ das Einselement der Algebra.

Die Menge dieser Zustände ist eine konvexe Menge, das heißt, wenn $\psi$ und $\phi$ Zustände sind und $0\leq a\leq 1$, dann ist auch $\varphi =a\psi +(1-a)\phi$ ein Zustand. Zustände $\varphi$, die sich nicht mit einem $0<a<1$ so in zwei andere zerlegen lassen, heißen Extremalpunkte der Menge. Sie haben die die Eigenschaften der oben mittels Hilbertraumvektoren definierten reinen Zustände. Alle anderen Elemente der Menge sind Zustandsgemische, die als Summe oder Integral über reine Zustände ausgedrückt werden können.

Jedem Zustand kann mittels der GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi \colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ zugeordnet werden. Jeder normierte Vektor $|\psi \rangle$ im Hilbertraum, ${\big \|}|\psi \rangle {\big \|}=1$, entspricht einem reinen Zustand $\psi$ auf ${\mathcal {A}}$ und umgekehrt kann jedem reinen Zustand ein Vektor zugeordnet werden. Es gilt

$\psi (a)\ \Leftrightarrow \ \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle$

wobei $\langle \psi |\pi (a)\psi \rangle$ das Skalarprodukt im Hilbertraum aus $|\psi \rangle$ und $|\pi (a)\psi \rangle$ bezeichnet. Die reinen Zustände bilden die irreduziblen Darstellungen im Hilbertraum."

Für mich stehen diese Bemühungen übrigens im Zusammenhang mit der allzu unterbelichteten Darstellung von Kohärenz/Inkohärenz, um mittelfristig zB Schrödingers Katze und das MEssproblem etc besser zu machen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:45, 20. Feb. 2024 (CET)

Frage: wo kommt diese algebraische Grundlegung der QM eigentlich her? Ich dachte, von John v. Neumann, aber in seinem Buch, das ich in der 2. Auflage, Nachdruck 1996, seit gestern als pdf habe, finde ich das nicht. Thirring bleibt für mich die einzige Quelle. "... nach John v. Neumann ..." deshalb aus dem Textvorschlag entfernt. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:09, 21. Feb. 2024 (CET) --- Bin bei Axiomatische_Quantenfeldtheorie#Algebraische_Quantenfeldtheorie_(AQFT) auf nähere Angaben gestoßen. Kein Wunder, dass ich in meinem Studium nichts davon gehört habe. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:17, 21. Feb. 2024 (CET)

Ich bin da kein Experte, aber soweit ich weiss, stimmt es schon, dass das auf von Neumann zurückgeht. Im Baratteli/Robinson Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics schreiben sie im Vorwort, dass die Theorie ursprünglich in den 1930ern von v Neumann und Murray entwickelt wurde, um die Darstellung unitärer Gruppen und Probleme der Quantenmechanik anzugehen (evt ging es um die Eindeutigkeit der Darstellung der kanonischen Vertauschungsrelationen (der für Ort u Impuls bzw der Weylrelationen für die von X & P generierten unitären Gruppen), dass Gelfand und Naimark dann in den 1940ern die C*-Algebren definierten u begannen zu analysieren (v. Neuumann hatte W*-Algebren untersucht, die in der Physik auch Verwendung finden) und dann in den 1950er/60ern der operatoralgebraische Zugang zu Quantenstatistischer Mechanik und Quantenfeldtheorie untersucht wurde (wobei wohl Irving Segal und Rudolf Haag wichtige Pioniere waren), insbesondere für die CCR- und CAR-Algebren.

Ich denke bei der Motivation standen am Anfang die kanonischen Vertauschungsrelationen als das Charakteristkum der Quantenmechanik, die ja gleich verschiedene Darstellungsformen fanden (Matrizenmechanik, Wellenmechanik usw.); Stone-von-Neumann zeigte dann, dass diese Vertauschungsrelationen zu einer eindeutigen Darstellung führen, wenn man die von X und P generierten unitären Gruppen (und nur endlich viele kanonische Operatoren) betrachtet; diese unitären Gruppen erzeugen die CCR-Algebra, die eine C*-Algebra ist (wie auch die CAR, die aus den fermionischen Vertauschungsrelationen folgt). Der lineare Zusammenhang von Observabel und Erwartungswert führt dann zu Zuständen als linearen, positiven Funktionalen, woraus sich dann die QM ergibt; vgl. z.B. Axiome 3.1 und 3.2 in diesem Paper von Gleason, siehe auch Segals Artikel JSTOR:1969387 von 1947 Postulates for General Quantum Mechanics. --Qcomp (Diskussion) 17:58, 21. Feb. 2024 (CET)

Danke, Qcomp. Ich kann da kaum mithalten, habe aber gerade entdeckt, dass in Zustand_(Quantenmechanik)#Mathematische_Darstellung seit 2019 auch schon v. Neumann als Urheber der Definition mittels Abbildung genannt wird, und das stammt sogar von mir selber ([1]). Steht das vielleicht in der 1. Auflage (1931) von seinem Buch so drin, die ich damals konsultierte? Aus den Fingern sollte ich mir das eigentlich nicht gesogen haben. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:27, 22. Feb. 2024 (CET)

Nachtrag: [2] stellt die 1. Auflage zur Verfügung, und die scheint das gleiche zu sein. Genaueres Nachgucken zeigt aber immerhin, dass das v. Neumann die Funktion $E_{2}*(R)$ auf S. 105, das ist der Erwartungswert der Größe R, beim deduktiven Aufbau ab S. 157 DIE zentrale Rolle spielt. Mehr muss man vom Zustand nicht wissen und dann kann man ihn auch dadurch als definiert betrachten. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:52, 22. Feb. 2024 (CET)