Dispersion (Wasserwellen)

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Bei Wasserwellen (Oberflächenwellen) wird unter Dispersion insbesondere die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge bzw. von der Frequenz verstanden:

Interne Wellen südlich der Straße von Messina. Man erkennt die höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit mit wachsender Wellenlänge
  • Schwerewellen pflanzen sich umso schneller fort, je größer ihre Wellenlänge bzw. je kleiner ihre Frequenz ist. Andererseits haben Wellen mit vorgegebener Wellenlänge über tieferem Wasser eine größere Phasengeschwindigkeit als über flacherem Wasser.
  • Dagegen breiten sich Kapillarwellen, deren Rückstellkraft allein aus der Oberflächenspannung resultiert, umso schneller aus, je kürzer sie sind.

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe (d. h. das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit zur Gruppengeschwindigkeit entscheidet über die Art der Dispersion.

Dispersion bei Oberflächenwellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

normale Dispersion in bichromatischen Gruppen von Schwerewellen an deren Oberfläche über Tiefwasser. Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

Für alle Wellenarten ist nach Rayleigh die Dispersion der Phasengeschwindigkeit c definiert als:

Hierin ist

  • die Gruppengeschwindigkeit
  • die Wellenlänge.

Je nach Vorzeichen des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Entsprechend unterscheidet man normale Dispersion, anomale Dispersion und dispersionslose Wellenausbreitung. Im letztgenannten Fall ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich.

dc / dL dc / df
Normale Dispersion
Keine Dispersion
Anomale Dispersion

Dispersion bei Schwerewellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Schwerewellen werden die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

Schwerewellen
Wellenlänge in m L
Wellenfrequenz in Hz f
Phasengeschwindigkeit in m/s
Gruppengeschwindigkeit in m/s
Wassertiefe in m d
Erdbeschleunigung in m/s²
lili rere
c(L, d)
c(f, d)

Die klassische Dispersionsrelation nach Airy-Laplace (1840) beschreibt die Frequenz in Abhängigkeit von der Wellenlänge und der Wassertiefe.

und dementsprechend ist die Phasengeschwindigkeit:

[1]

Diese Dispersionsrelation gilt auch für Wellen nach der nichtlinearen Stokesschen Wellentheorie 2. Ordnung.

Tiefwasser[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (d ≥ 0,5 L) liegt maximale normale Dispersion vor, die Phasengeschwindigkeit ist unabhängig von der Wassertiefe:

Begrenzte Wassertiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (d ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u. a. in Betracht:

Bei Wellenresonanz tritt anomale Dispersion auf.

Flachwasser[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im flachen Wasser (d ≤ 0,4 L) ist die Wellenbewegung praktisch dispersionslos und nur von der Wassertiefe abhängig:

Siehe auch: Wellenresonanz, Dopplereffekt

Dispersion bei Kapillarwellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Fortbewegung von Kapillarwellen gilt

Darin bedeuten

Die Dispersion ist anomal:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Andreas Mielke: Seminar: Theoretische Mechanik. Abgerufen am 3. Januar 2017.