Dispersionsrelation

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In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechzahl, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls). Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz \omega und der Kreiswellenzahl k. Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

\omega = f(k).

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

\omega = v_\text{phase} \cdot k ,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit v_\text{phase} = \frac{\omega}{k}. In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit v_\text{gruppe} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}.

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket i. A. auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinander laufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik[Bearbeiten]

In der Dispersionsrelation der Optik taucht die (komplexe) Brechzahl  n als Funktion der Kreisfrequenz auf:

\omega = c_\text{M} \cdot k = \frac{c_0}{n(\omega)} \cdot k \quad \Rightarrow \quad n = \frac{c_0}{c_\text{M}} = \frac{c_0 \cdot k}{\omega} = f(\omega)

mit

Teilchenphysik[Bearbeiten]

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

\omega = \frac{E}{\hbar}

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls p

\vec k = \frac{\vec p}{\hbar},

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

   
E                            = \frac{p^2}{2m}


\Rightarrow \hbar \, \omega  = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}


\Leftrightarrow      \omega  = \frac{\hbar}{2m}k^2,

wobei \hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum und m die Masse des Teilchens bezeichnet.

Festkörperphysik[Bearbeiten]

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.