Distributiver Verband

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Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik. Gegenüber allgemeinen Verbänden, in denen für die beiden (zweistelligen) Operationen und nur die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze und die Absorptionsgesetze gefordert werden, gelten in einem distributiven Verband noch zusätzlich Distributivgesetze für beide Richtungen.

Die Gültigkeit der Distributivgesetze macht Verbände interessanter. Sie lassen sich einfacher untersuchen, da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es in gewissem Sinne einfache Darstellungen gibt. Dabei treten distributive Verbände sehr häufig auf, auch in Bereichen außerhalb der Mathematik. Boolesche Algebren sind spezielle distributive Verbände.

Präzisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband V stets den Verband .

Ein Verband heißt distributiver Verband, wenn für alle gilt:

Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten.[1] Daher genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt.

Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband , den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe, als Unterverband.[2] Dies ergibt das Kriterium:

  • hat ein Verband weder einen Unterverband der Form noch einen der Form , dann ist er distributiv.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:

Beispiele für distributive Verbände
Hasse diagram of powerset of 3.svg
Verband der Teilmengen von durch Teilmengenrelation geordnet
Lattice of the divisibility of 60.svg
Verband der Teiler von 60, mit ggT und kgV
N-Quadrat, gedreht.svg
mit der Produkt-Ordnung


nicht-distributive Verbände
N 5 mit Beschriftung.svg
, der minimale nicht-modulare Verband
M 3 mit Beschriftung.svg
, der minimale modulare, nicht-distributive Verband: , aber


Kürzungsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem distributiven Verband gilt die Kürzungsregel: Gelten für die beiden Gleichungen

  • aus und folgt .[3]

Das Beispiel zeigt, dass diese Regel in beliebigen Verbänden nicht gilt. Sie ist in dem folgenden Sinn typisch für distributive Verbände:

  • Ist die Kürzungsregel für beliebige Wahl von in einem Verband V gültig, dann ist distributiv.[4]

Komplemente in distributiven Verbänden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein gegebenes Element a eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft

  • und

ein Komplement von a.

Während es im Allgemeinen zu einem Elemente mehrere komplementäre Elemente geben kann, gilt:

  • wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von a existiert, dann ist es eindeutig bestimmt.[5]

Man bezeichnet ein eindeutig bestimmtes Komplement von mit oder (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder .

Ein distributiver Verband, in dem jedes Element ein (eindeutig bestimmtes) Komplement hat, heißt Boolesche Algebra.

Auch in einem nicht-distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben. Damit man die Distributivität folgern kann, muss man mehr fordern:

  • Ein Verband ist distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.

Ist V ein distributiver Verband und haben Komplemente, dann haben auch und Komplemente und es gilt

  • und

Dies ist eine andere Formulierung der de Morganschen Regeln.

Repräsentationssatz für distributive Verbände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

, der Verband der Teiler von 60 (geordnet durch Teilbarkeit) und die Repräsentation durch den Mengenverband der (irreduziblen) Primzahlpotenz-Elemente

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

  • Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengen-Ring ist.[6]

Hieraus folgt natürlich, dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lässt.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv, dagegen sind Teilverbände nicht immer distributiv.

Das homomorphe Bild eines distributiven Verbandes ist distributiv.

Das direkte Produkt beliebig vieler distributiver Verbände ist distributiv.

Vollständige Distributivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

vollständiger distributiver Verband, der -volldistributiv, aber nicht volldistributiv ist. Es gilt , aber

Ein Verband heißt -volldistributiv, wenn für jede Wahl von und jede Teilmenge gilt

.

-Volldistributivität wird dual definiert.

Der Begriff Volldistributivität ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet:

  • Es kann bedeuten, dass einer von diesen beiden Bedingungen erfüllt ist und im anderen Fall spricht man von dual-volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung.[7]
  • Es kann bedeuten, dass beide Bedingungen erfüllt sind.
  • Es kann bedeuten, dass das folgende unendliche Distributivgesetz und die dazu duale Form gilt
Für alle gilt: [8]

Für alle drei Begriffe gilt:

Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv.[9]

Ein vollständiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein, wie das Beispiel zeigt.[10]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Der Beweis ist eine Gleichungsumformung. Wir nehmen an, dass D2 gilt, und wollen D1 zeigen:
    ; Anwendung des zweiten Axioms:
    ; nach Absoptionsgesetz:
    ; Anwendung des zweiten Axioms in Klammer:
    ; nach Assoziativgesetz:
    ; die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz :
    .
    Die Gegenrichtung folgt dual.
  2. Der Beweis (mit mehreren Zwischenschritten) findet sich z. B. in: H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967,S 111
  3. Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen, in der das Absorptionsgesetz, das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden: ; nach H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  4. Die Beweisidee ist, dass in und jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 113f
  5. Dies folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel
  6. G.Grätzer, Lattice Theory, 1971, S. 75
  7. So z. B. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  8. Diese Form wurde aus G. Grätzer, Lattice Theory, p 118, Exercise 7 übernommen.
  9. H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967,S. 114f
  10. Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von distributiv. Dass der ganze Verband vollständig und distributiv ist, sieht man leicht. Das Beispiel findet sich (mit etwas anderem Hasse-Diagramm) in H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 115

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]