Divergenz eines Vektorfeldes

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Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld einer Größe, für die die Kontinuitätsgleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quelldichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators. Der Operator lässt sich auch auf Tensorfelder zweiter Stufe anwenden und liefert dann Vektorfelder. Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen verwendet, und die Divergenz des Spannungstensors geht in die lokalen Impulsbilanzen der Kontinuumsmechanik ein.

Beispiel aus der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden, d. h. in jedem Punkt zu jedem Zeitpunkt ist als Vektor mit Betrag und Richtung die Fließgeschwindigkeit des Ölfilms angegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne Zufluss auf der Oberfläche. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Divergenz eines differenzierbaren Vektorfeldes ist ein skalares Feld. Es wird als oder als geschrieben. Dabei bezeichnet den formalen Nabla-Operator und das Operatorsymbol der Divergenz. Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld :

Die Divergenz lässt sich formal als Skalarprodukt zwischen und interpretieren, d.h. als die Summe der komponentenweisen Produkte.

Tensoren zweiter Stufe werden mit dem dyadischen Produkt“ von Vektoren gebildet, auf die die Divergenz angewendet werden kann. Auf diese Weise kann die Divergenz auch auf Tensoren verallgemeinert werden. Sei

ein Tensor mit Spaltenvektoren mit Komponenten Tij bezüglich der Standardbasis des n-dimensionalen Raumes. Dann kann die Divergenz des Tensors definiert werden als:

In drei Dimensionen ergibt sich in einem kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten:

Mit dem Nabla-Operator schreibt sich die Divergenz eines Tensors:

In der Literatur kommt jedoch auch die transponierte Version mit den Zeilenvektoren vor

die sich also durch die Transposition des Argumentes von der hiesigen Definition unterscheidet.

Die Divergenz als „Quellendichte“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Interpretiert man ein Vektorfeld als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt die Beschleunigungsmatrix diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors . Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix ist, wird die Quellenintensität durch

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

Expansionsrate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Urbildraum V, der durch die Bewegungsfunktion χ in den Bildraum v transformiert wird

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist die Spur des Gradienten des Vektorfeldes:

Ist speziell das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung (Bildraum) von Punkten aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l

der mit der Zeitableitung des Deformationsgradienten F und seiner Inversen zusammenhängt. Die Determinante des Deformationsgradienten transformiert die Volumenformen (rot im Bild) ineinander:

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ (siehe Ableitungen der Hauptinvarianten)

denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhängig. Wenn die Divergenz verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einhergeht.

Koordinatenfreie Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall n=3)

Dabei ist ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; ist sein Inhalt. Es wird über den Rand dieses Volumenelements integriert, ist die nach außen gerichtete Normale und das zugehörige Flächenelement.

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für , mit ), wobei ist, wobei also nicht die , sondern die die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel .

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen aus dem Intervall sind.

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

,

die im Grenzübergang zu partiellen Ableitungen werden:

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Divergenz-Operator vertauscht mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d.h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld .

Ein „Zerlegungs-Theorem“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für n=3-dimensionale Vektorfelder , die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil und einen quellenfreien Teil zerfallen, . Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

, mit
.

Für den quellenfreien Teil, , gilt analoges, wenn man das skalare Potential durch ein sog. Vektorpotential ersetzt und zugleich die Ausdrücke bzw. (=Quellendichte von ) durch die Operationen bzw. (=Wirbeldichte von ) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im n-dimensionalen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Konstante, eine offene Teilmenge, ein skalares Feld und zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

  • Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt
und
  • Für die Divergenz gilt die Produktregel
Darin sind u ein skalares, vektorielle und T tensorielle differenzierbare Felder, das Frobenius-Skalarprodukt für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren wird mit einem Index ,i abgekürzt, über den des Weiteren von eins bis drei zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention).
  • Die Divergenz des Vektorfeldes entspricht der Spur des Gradienten von , das heißt es gilt

    Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist , so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt , diese lautet

wobei mit die Rotation gemeint ist. Wegen für alle differenzierbaren folgt daraus

für beliebige differenzierbare .

Für die Herleitung des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes, das die Erhaltung des Drehimpulses in einem Kontinuum sicherstellt, wird die Produktregel

gebraucht.[Beweis 1] Darin sind ein vektorielles und T ein tensorielles, differenzierbares Feld und das Produkt „·×“ ist über Dyaden definiert durch

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel ,   und gesetzt wird

Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder des folgenden Typs quellenfrei:

Gaußscher Integralsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Gaußscher Integralsatz

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

wobei der Normalenvektor der Oberfläche ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und Senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z. B. von Spannungstensoren , benötigt:

Der vom transponierten Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Fläche ist nach dem Cauchy’schen Fundamentaltheorem der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

Punktförmige Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld ein und wählt man als Integrationsfläche eine Kugelfläche mit Radius um den Ursprung, so ist und der Integrand wird konstant gleich . Weil die Oberfläche der Kugel ist, folgt

Somit liefert der Integralsatz eine Information über , die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt einschließt: Das Volumenintegral von ist . Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:

Zylinder- und Kugelkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes :

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes :

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

Die Ableitungen von werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

Für Tensoren zweiter Stufe ergibt sich in Zylinderkoordinaten

und in Kugelkoordinaten:

Inverse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Poincaré-Lemma existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld dessen Divergenz es ist. Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt, denn es kann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert eine Rechts- oder Linksinverse der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet mit lipschitzstetigem Rand einen Operator , so dass für jedes mit

gilt, wobei den entsprechenden Sobolew-Raum für und bezeichnet. heißt Bogowskii-Operator.[L 1]

Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur von der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann Laplace-Beltrami-Operator.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ein -Vektorfeld mit . Dann ist die Divergenz durch

definiert. Dabei ist ein Vektorfeld und der Operator ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man an aus, so ist und man kann für alle die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.[L 2]

Transportsatz und geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Fluss eines Vektorfeldes gilt der Transportsatz[L 3]

Dabei ist das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit, eine relativ-kompakte messbare Teilmenge und eine glatte Funktion. Interpretiert man als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für erhält man

Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Mit unter Anwendung der Einstein’schen Summenkonvention und der Abkürzung „,i“ für eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren berechnet sich schrittweise

    und damit:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
  2. Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 438 (Kapitel XII).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]