Doobsche Maximalungleichung

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Die Doobsche Maximalungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen in der Stochastik. Neben der Burkholder-Ungleichung ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) Größenordnung von (stetigen) Martingalen. Sie ist nach Joseph L. Doob und findet sich in der Literatur unter unterschiedlichen Namen (Doobsche -Ungleichung,[1] Doobsche Ungleichung(en),[2] Doobsche Extremal-Ungleichungen,[3] Maximale Ungleichung,[4] Doobs Maximal-Ungleichung[5]) wie auch in leicht unterschiedlichen Formulierungen, die sich durch die Anzahl der angegebenen Ungleichungen und die Voraussetzungen unterscheiden. Die Benennung als -Ungleichung folgt aus der Verwendung der -Norm, die Benennung als "Maximal", da das Supremum der ersten Glieder der Prozesses abgeschätzt wird. Es finden sich auch Unterschiede in der Notation, so werden entweder die -Norm oder der Erwartungswert zur Formulierung verwendet.

Diskrete Indexmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein stochastischer Prozess. Definiere

und

Ist ein Submartingal, dann gilt für jedes

.

Ist ein Martingal oder ein positives Submartingal und ist sowie , so gilt

.

Des Weiteren gilt für jedes immer

In der Formulierung finden sich diverse Unterschiede. So zählen manche Autoren die erste Ungleichung nicht dazu,[6] andere formulieren lediglich die erste und die zweite Ungleichung, und diese nur für positive Submartingale[7], zeigen nur einen Spezialfall für fixes [8] oder nennen die erste Ungleichung Doobsche Extremal-Ungleichung und die zweite Doobsche -Ungleichung.[9]

Stetige Indexmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und und sei rechtsstetig. Dann gilt[10] für alle :

.

Dabei bezeichnet die Lp-Norm. Man beachte, dass die konjugierte reelle Zahl zu ist, d. h. es gilt . Entsprechend ist der zentrale Beweisschritt die Anwendung der Hölder-Ungleichung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 484.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284.
  4. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
  5. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
  6. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 222.
  7. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 327.
  8. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 430.
  9. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 284-286.
  10. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 412f