Doobsche Maximalungleichung

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Die Doobsche Maximalungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen in der Stochastik. Neben der Burkholder-Ungleichung ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) Größenordnung von (stetigen) Martingalen.

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei (M_t)_{t \geq 0}\; ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und p > 1. Im Fall stetiger Zeit sei (M_t) rechtsstetig. Dann gilt[1] für alle T > 0:

 ||\sup_{t \leq T} |M_t|\,||_p \leq \frac{p}{p-1} ||M_T||_p.

Dabei bezeichnet || \cdot ||_{p} die Lp-Norm. Man beachte, dass q = \tfrac{p}{p-1} die konjugierte reelle Zahl zu p ist, d. h. es gilt \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1. Entsprechend ist der zentrale Beweisschritt die Anwendung der Hölder-Ungleichung.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 412f