Dreißigeck

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Regelmäßiges Dreißigeck

Das Dreißigeck ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch dreißig Eckpunkte und deren dreißig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Variationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Dreißigeck ist darstellbar als:

  • konkaves Dreißigeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
  • konvexes Dreißigeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Dreißigeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnendreißigeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Dreißigeck: Es ist bestimmt durch dreißig Punkte, die auf einem virtuellen oder realen Kreis liegen. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Dreißigeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der dreißig Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur drei regelmäßige Dreißigstrahlsterne.
Die Sterne mit den Symbolen {30/2} und {30/28} sind regelmäßige Fünfzehnecke, {30/3} und {30/27} regelmäßige Zehnecke, {30/4} und {30/26} regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne, {30/5} und {30/25} regelmäßige Sechsecke, {30/6} und {30/24} regelmäßige Fünfecke, {30/8} und {30/22} regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne, {30/9} und {30/21} regelmäßige Zehnstrahlsterne, {30/10} und {30/20} gleichseitige Dreiecke, {30/12} und {30/18} regelmäßige Pentagramme und schließlich {30/14} und {30/16} regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne.

Regelmäßiges Dreißigeck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das regelmäßige Dreißigeck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.

Größen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Größen und deren allgemeine Formeln sind in Fünfzehneck, Mathematische Zusammenhänge ausführlich beschrieben.

Größen eines regelmäßigen Dreißigecks[1]
Innenwinkel

Größen des Dreißigecks

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

Seitenlänge
Umkreisradius
Inkreisradius
Höhe
Flächeninhalt

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 1: Dreißigeck, ohne Konstruktion des Fünfzehnecks

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eine Seitenlänge des Fünfzehnecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschließend den Zentriwinkel zu halbieren, um die Seitenlänge des Dreißigecks zu erhalten. Sieht man jedoch auf die Zeichnung des Fünfzehnecks, ist gut erkennbar, die Mittelachse ist bereits eine Winkelhalbierende zwischen den Eckpunkten und Folglich wären die Strecken sowie bereits Seitenlängen und der Winkel der Zentriwinkel eines Dreißigecks. Es bedarf also stattdessen nur der Seitenlänge des Fünfecks um den Zentriwinkel sowie die erste Seitenlänge des Dreißigecks zu finden. Die nun folgende Konstruktion (siehe Bild 1) nutzt diese Möglichkeit.

Es beginnt mit dem Ziehen des Kreises um den Mittelpunkt dem Einzeichnen der Mittelachse und der Orthogonalen Es folgt die Halbierung der Strecke in dabei ergeben sich die ersten Eckpunkte und des entstehenden Dreißigecks. Der Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius schließt sich an; der Schnittpunkt auf ist Nun schlägt man einen kurzen Kreisbogen um den Eckpunkt mit dem Radius , bis er den Umkreis in schneidet. Die Strecke ist die gesuchte Seitenlänge des Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel Nun die Seitenlänge in den Zirkel nehmen, die restlichen Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden. Das regelmäßige Dreißigeck ist somit fertiggestellt.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 2: Regelmäßiges Dreißigeck bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion im Bild 2 ist nahezu gleich der des Fünfzehnecks bei gegebener Seitenlänge.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (links) bzw. bezeichnet, anschließend verlängert man die Strecke über hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag. Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt die Orthogonale und der Kreisbogen um ebenfalls mit dem Radius dabei entstehen die Schnittpunkte und Nun wird eine Halbgerade ab durch gezeichnet; sie halbiert die Seitenlänge in Der nächste Kreisbogen mit dem Radius wird um gezogen, dabei ergibt sich der Schnittpunkt auf der Verlängerung. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt.

Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die Halbgerade in schneidet. Die damit erzeugte Strecke entspricht dem Umkreisradius eines Fünfzehnecks. Die Berechnung des Umkreisradius ist im Artikel Fünfzehneck ausführlich beschrieben. Die Strecke in den Zirkel genommen und um einen kurzen Kreisbogen durch die Halbgerade gezogen, ergibt den Mittelpunkt des Umkreises eines nicht eingezeichneten Fünfzehnecks mit dessen Zentriwinkel

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius der die Halbgerade in schneidet. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel am Winkelscheitel halb so groß, als der Zentriwinkel eines Fünfzehnecks. Aufgrund dessen ist der Mittelpunkt des gesuchten Dreißigecks mit dessen Zentriwinkel Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die Seitenlänge 29-mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Dreißigeck konstruiert.

Diagonalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 3: Dreißigeck,
Diagonalen bis (Durchmesser)

Jedes Dreißigeck besitzt 405 Diagonalen. Für jede der 30 Ecken, an der eine Diagonale anfangen kann, gibt es 27 mögliche Endpunkte. Diese Anzahl muss aber noch durch 2 geteilt werden, damit keine Diagonale doppelt gezählt wird. So ergeben sich die genannten Diagonalen. Davon sind aber nur verschieden lang. Allgemein wird mit diejenige Diagonale bezeichnet, die über Seiten des Polygons verläuft, demzufolge verläuft z. B. die Diagonale über vierzehn Seiten.

Goldener Schnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da 5 der Ecken des regelmäßigen Dreißigecks ein regelmäßiges Fünfeck bilden, stehen die Diagonale über 12 Seiten und die Diagonale im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander.

Außerdem findet sich dieses Verhältnis bei mit , diese Diagonalen sind Teil eines regelmäßigen Zehnecks, und bei mit . ist eine Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks und hat somit die gleiche Länge wie der Umkreisradius des Dreißigecks. Also bildet auch mit den Goldenen Schnitt als Verhältnis.

Andere Verhältnisse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Diagonale steht zu im Verhältnis .

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiener Riesenrad im Minimundus
mit 30 Ecken und 15 Waggons
  • Das Wiener Riesenrad besitzt die Form eines regelmäßigen Dreißigecks. Obwohl seit 1945 nur 15 Waggons eingehängt sind, wurde es ursprünglich für 30 Waggons gebaut.
  • Der Grundriss des Zirkus Sarrasani ist ein regelmäßiges Dreißigeck.[2]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Triacontagon. In: WolframMathWorld. Abgerufen am 13. März 2018.
  2. Ing. Ludw. Fischer: Moderner Zirkus. Mitteilungen aus verschiedenen Fachgebieten. In: kobv.de – Kooperativer Bibliotheksverbund Berlin-Brandenburg. Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins Nr. 23, 1913, S. 410–411, PDF-Datei: Seite 58–59, abgerufen am 11. März 2018.