Dreiteilung des Winkels

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Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Klassisches Problem[Bearbeiten]

Drittelung von 180° (∢ AMC) in 60° (∢ BMC) und 120° (∢ AMB)

Hier muss ein beliebiger gegebener Winkel nur mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt werden.

Bei speziellen Winkeln ist die Dreiteilung des Winkels möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 90°. Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen, mit denen später bewiesen wurde, dass dies nicht allgemein möglich ist. Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist.

Den ersten Beweis der Unmöglichkeit veröffentlichte Pierre Wantzel 1837 (unabhängig von Methoden der Galoistheorie).

Eine Dreiteilung ist nur möglich, wenn man andere Hilfsmittel verwendet als Zirkel und Lineal – etwa eine Trisektrix – oder wenn man auf dem Lineal Markierungen anbringt. Andererseits kann man mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen angeben.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung des Problems ist es, genau zu charakterisieren, welche Winkel konstruierbar sind und welche nicht. Äquivalente Fragestellungen sind, für welche natürlichen Zahlen n man einen Kreis in n gleich große Stücke mittels Zirkel und Lineal unterteilen kann bzw. welche regulären Polygone konstruierbar sind. Die exakte Charakterisierung der konstruierbaren n-Ecke wurde 1837 von Pierre Wantzel (nach wesentlichen Vorarbeiten von Carl Friedrich Gauß und Évariste Galois) erzielt und besagt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn n ein Produkt aus einer Zweierpotenz und untereinander verschiedenen fermatschen Primzahlen ist. Der erste entscheidende Schritt über die Mathematik des Altertums hinaus war dem jungen Gauß mit seiner Entdeckung zu verdanken, dass das reguläre Siebzehneck konstruierbar ist. Die bekannten Fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Allgemein sind Fermat-Zahlen die Zahlen 2^m + 1, wobei m = 2^q selbst eine Zweierpotenz ist. Man vermutet, dass die Fermat-Zahlen mit q>4 keine Primzahlen sind, und weiß es für viele q.

Für das Problem der Winkeldreiteilung braucht man die fortgeschrittenen Theorien von Gauß und Galois nicht. Hier genügt die Erkenntnis, dass eine Streckenlänge, die einer irreduziblen Gleichung dritten Grades genügt, nicht konstruierbar ist; denn jede konstruierbare Streckenlänge lässt sich algebraisch durch die aufeinanderfolgende Lösung quadratischer Gleichungen gewinnen, ist also algebraisch von einem Zweierpotenzgrad.

Nicht-klassische Verfahren[Bearbeiten]

Beschränkt man sich nicht auf die klassischen Konstruktionvorschriften für Zirkel und Lineal, sondern lässt darüber hinaus die Verwendung anderer Konstruktionswerkzeuge und mathematischer Hilfsobjekte zu oder begnügt sich auch mit Näherungslösungen, so ergibt sich eine Vielzahl von möglichen Verfahren, einen beliebigen Winkel zu dreiteilen. In den folgenden Abschnitten werden einige von ihnen beispielhaft vorgestellt.

Die Methode des Archimedes[Bearbeiten]

Erforderlicher Anlegevorgang der Konstruktion
Beweisführung für die Winkeldreiteilung nach Archimedes: \alpha = 3\beta

Archimedes war ein Pragmatiker, er gab eine Lösung in seinem Liber Assumptorum an. Sei \alpha der dreizuteilende Winkel wie in nebenstehender Zeichnung. Gehe dann wie folgt vor:

  1. Schlage einen Kreis um A mit beliebigem Radius r.
  2. Am Lineal bringe zwei Markierungen im Abstand r an.
  3. Lege das Lineal so an B, dass eine der beiden Markierungen auf der Geraden AD im Punkt D und die andere auf der Kreislinie im Punkt C liegt, und zeichne die Strecke \overline{BD}.
  4. Der Winkel \beta bei D ist der gesuchte Drittelwinkel.

Zur Begründung beachte man, dass wegen der speziellen Positionierung des Lineals die Länge der Strecke \overline{CD} gleich dem Abstand r der Markierungen ist, also gleich dem Radius des Kreises, der sich auch als \overline{AC} und \overline{AB} wiederfindet. Insbesondere ist das Dreieck ACD gleichschenklig, weshalb der Winkel \beta auch bei A auftritt. Der Winkel des Dreiecks ACD bei C ist einerseits gleich 180^o-2\beta (Winkelsumme im Dreieck), andererseits der Nebenwinkel von \gamma, also ist \gamma=2\beta. Da das Dreieck ABC ebenfalls gleichschenklig ist, taucht der Winkel \gamma auch bei B auf, und der Winkel dieses Dreiecks bei A ist gleich 180^o-2\gamma. Beachtet man nun, dass sich die Winkel bei A zu 180^o addieren, ergibt sich \alpha = 180^o-(180^o-2\gamma) - \beta = 2\gamma - \beta = 3\beta.

Dass mit dieser Methode jeder Winkel wie bewiesen dreigeteilt werden kann, steht nicht im Widerspruch zur Unlösbarkeit des klassischen Problems, denn die obige Konstruktion wurde nicht nach den klassisch erlaubten Regeln durchgeführt. Eine Markierung am Lineal und ein geschicktes Anlegen des Lineals sind nicht erlaubte Konstruktionsmethoden. Es wurde also ein abweichender Instrumentensatz verwendet und die möglichen Konstruktionen sind vom Instrumentensatz abhängig.

Teilung mit Tomahawk[Bearbeiten]

Dreiteilung eines Winkels mit einem Tomahawk. Der Griff und die Gerade durch den Kreis-Mittelpunkt markieren Drittel-Winkel. Die Dreiecke gleicher Größe sind in Rot/Gelb/Grün hervor gehoben.
Schablone (schematische Darstellung) zur Dreiteilung von Winkeln von 90° (rot) bis 180° (blau)

Der Tomahawk ist eine Figur, die aus mathematischer Sicht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Strecken und einem an einer der Geraden anliegenden Halbkreis besteht (siehe Zeichnung). Die Bezeichnung Tomahawk rührt daher, dass die Figur vage an einen Tomahawk (indianische Streitaxt) erinnert. Um einen Winkel mit Hilfe des Tomahawks zu dreiteilen, muss man ihn so positionieren, dass sein „Stiel“ an der Winkelspitze liegt, während der Halbkreis und ein Ende der anderen Strecke jeweils die Schenkel des Winkels berühren. In dieser Position bildet der „Stiel“ mit einem der Schenkel einen Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Verbindet man den Mittelpunkt des Halbkreises mit der Winkelspitze des Ausgangswinkels, so bildet diese Strecke mit dem Schenkel einen weiteren Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Insgesamt hat man den Ausgangswinkel nun in drei gleich große Winkel aufgeteilt. Da das Tomahawk eine Figur ist, die angelegt werden muss (=> Anlegefigur!) ist es nicht mit den klassischen einfachen Konstruktionsregeln (Lineal und Zirkel) konform sondern sprengt diesen Rahmen.

Das Prinzip des Tomahawk erschließt sich, wenn man sich die faktisch dahinter stehende Gruppe aus drei rechtwinkligen Dreiecken gleicher Metrik betrachtet. Die Kante zum offenen Ende des Winkels hin hat überall dieselbe Länge R. An dieser Seite liegt immer genau ein rechter Winkel. Weiterhin sind die kurze und die lange Seite zum Zentrum des Winkels bei allen drei Dreiecken gleich. Somit ist auch der Winkel an der Zentrumsspitze für alle drei Fälle gleich. Die Dreiecke liegen so aneinander, dass immer gleiche Längen der Zentrumsseiten sich berühren. Damit ist das mittlere Dreieck automatisch immer spiegelverkehrt zu den beiden äußeren. Eine nähere Untersuchung des nachstehenden Origami-Verfahrens zeigt, dass dabei ebenfalls eine solche Gruppe aus drei Dreiecken durch die dort enthaltenen Kanten als zentraler Bestandteil gegeben ist.

Dreiteilung des Winkels mit Origami[Bearbeiten]

Drittelung mit Origami. Umfaltung mit Wellen markiert. Implizite Dreiecke gleicher Metrik in rot/gelb/grün.

Während die Dreiteilung des Winkels mit den klassischen Instrumenten der Geometrie nicht möglich ist, kann die Aufgabe mit der Papierfalttechnik Origami gelöst werden.[1][2] Als Grundlage dienen eine Linie (durch Falten realisiert) von einer Blattecke aus, die den Ausgangswinkel zu einer Kante abträgt, und zwei gleich hohe Streifen an einer Papierkante. Daraufhin wird eine Faltung so ausgeführt, dass die Ecke auf der mittleren Streifenkante liegt und das obere linke Ende des Streifens auf der Linie des Winkels. Die vormalige Außenkante wird dabei wie ein markiertes Lineal auf die Elemente der restlichen Fläche angelegt. Diese Lösung ist, ähnlich der archimedischen Methode, mit Markierungen am Lineal auch geometrisch nachzustellen. Dass dies beim Origami augenscheinlich nicht nötig ist, ist auf eine automatische Begrenzung des „Lineals“ rückführbar – das Faltpapier ist in jedem Fall endlich.

Näherung durch mehrfache Winkel-Halbierung, Hilfsgerade und Strecken-Dreiteilung[Bearbeiten]

Hoch-genaue Näherung durch Winkel-Halbierungen, mit Hilfsgeraden und Strecken-Drittelung

Zu den besten endlichen Näherungsmethoden gehört die in Wikibooks beschriebene Methode. Hierbei werden zu einem gegebenen Winkel mehrere Halbierungen ausgeführt. Beispielsweise würde ein Ausgangswinkel von 60° zu folgenden Unterteilungen führen:

  • w1 = 30°
  • w2 = 15°
  • w3 = 7,5°
  • w4 = 3,75°

Während w1 und w4 lediglich als Konstruktionshilfen dienen und in ihrem nominellen Wert nicht weiter genutzt werden, wird w2 direkt genutzt und aus w3 unter Verwendung einer speziell definierten Hilfs-Geraden ein Versatz auf der Geraden erzeugt so dass in sehr guter Näherung für kleine Winkel w3/3 = 2,5° bzw. w3*2/3 = 5° in der Grafik entsteht. Durch Aufsummierung ergibt sich ungefähr w2+w3*2/3 = 20° - was mit dem gesuchten Wert harmoniert. Für allgemeine Winkel ist der maximale Winkelfehler von beta bzw. beta1 ca. 1,25E-6°, wenn der Winkel alpha nahezu 0° bzw. nahezu 180° ist. Das wäre bei einem Radius r von zum Beispiel 100 km ein maximaler Fehler an der Sehne von 2,2 mm.

Literatur[Bearbeiten]

  • Nikolai Antonowitsch Dolleschal Трисекция угла (Dreiteilung des Winkels), Zeitschrift «Наука и Жизнь» (Wissenschaft und Leben) 3/1998 (online)
  • Underwood Dudley The Trisectors, Mathematical Association of America 1996
  • Underwood Dudley A budget of trisections, Springer Verlag 1987

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=710
  2. "Origami löst unlösbare Probleme". Schweizer Fernsehen, Einstein, 9. April 2009.

Weblinks[Bearbeiten]