Duale Basis

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Die duale Basis ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige Basis des Dualraums konstruiert.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . (In Anwendungen ist der Körper oft oder .) Weiter sei eine Basis von .

Dann gibt es zu jedem genau eine lineare Abbildung mit und für , denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten bilden eine Basis des Dualraums , die zur Basis von duale Basis.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension über dem Körper ist stets isomorph zum Koordinatenraum der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus . Eine Basis besteht dann aus Vektoren

.

Da die eine Basis bilden, ist die Matrix invertierbar, sei die inverse Matrix. Setzt man nun

,

so bilden diese Zeilen-Vektoren gerade die gesuchte duale Basis, denn aus der Gleichung

liest man unmittelbar ab, dass

.

Fazit: Zu einer als Spalten-Vektoren gegebenen Basis findet man die duale Basis, indem man die aus den Spalten gebildete Matrix invertiert; die duale Basis besteht dann aus den Zeilen dieser invertierten Matrix.

Speziell im dreidimensionalen Vektorraum gilt mit dem Kreuzprodukt „ד:

Im Nenner der Brüche steht die Determinante der aus den Basisvektoren gebildeten Matrix, die in einem euklidischen Vektorraum, der definitionsgemäß ein Skalarprodukt besitzt, auch mit dem Spatprodukt der Basisvektoren berechnet werden kann.

Tensor-Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, , nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, . Die definierende Bedingung lautet dann .

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist die lineare Transformation, die eine Basis auf eine andere abbildet, so gilt:

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa und ist , so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor :

.

Der Koeffizient von zum Basisvektor ist also , das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels transformieren, mit unteren Indizes.

Anwendung aus der Kristallographie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung dualer Basen ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort sind die primitiven Gittervektoren im Allgemeinen schiefwinklig. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren des reziproken Raums (das entspricht der dualen Basis bis auf einen konstanten Faktor ) und des Ortsraums ist hier:

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

Die Matrix zeilenweise mit den kartesischen Koordinaten der Basisvektoren auffüllen, dann invertieren und schließlich mit multiplizieren:

  mit     ergibt sich  

Die reziproke Basisvektoren lassen sich als Spalten der Matrix einfach ablesen:

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter mit der Gitterkonstanten .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.