Duale Basis

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Die duale Basis ist ein Begriff aus der linearen Algebra, der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:

  • Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige duale Basis des Dualraums konstruiert.
  • Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums wird eine weitere, zur ersten duale Basis von konstruiert.

Duale Basis im Dualraum V*[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . (In Anwendungen ist der Körper oft oder .) Weiter sei eine Basis von .

Dann gibt es zu jedem genau eine lineare Abbildung mit und für , denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten bilden eine Basis des Dualraums , die zur Basis von duale Basis. Mit der Kronecker-Delta-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis .

Verhalten bei Basiswechsel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Basis von und die zugehörige duale Basis. Weiter sei eine zweite Basis von mit .

Als Matrix eines Basiswechsels ist invertierbar. Die Komponenten der Inversen seien mit bezeichnet. Ein Vergleich von

mit der definierenden Eigenschaft ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:

.

Berechnung bezüglich einer festen Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension über dem Körper ist stets isomorph zum Koordinatenraum der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus . Wählt man als Isomorphismus

, usw.,

wird gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von .

Tensor-Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, , nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, . Die definierende Bedingung lautet dann .

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist die lineare Transformation, die eine Basis auf eine andere abbildet, so gilt:

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa und ist , so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor :

.

Der Koeffizient von zum Basisvektor ist also , das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels transformieren, mit unteren Indizes.

Duale Basis im euklidischen Vektorraum V[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition und Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums . Die dazu duale Basis in ist definiert durch die Eigenschaft

,

Hierbei bezeichnet das Skalarprodukt.

Weiter sei eine Orthonormalbasis in ,   beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix . Durch Vergleichen von

mit ergibt sich

.

Mit dem dyadischen Produkt schreibt sich das:

Die Vektoren bilden hier die Spalten der Matrix (oder des Tensors zweiter Stufe) und die duale Basis findet sich in den Zeilen der Inversen

Spezialfall R3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Vektorraum mit Standardskalarprodukt und Kreuzprodukt findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für Matrizeninversion:

Im Nenner der Brüche steht das mit den Basisvektoren gebildete Spatprodukt, das invariant gegenüber einer zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist, und das gleich der Determinante der Matrix ist, die aus den Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich.

Anwendung aus der Kristallographie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung dieser dualen Basis im ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort bilden die primitiven Gittervektoren eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des . Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis und primitiven Gittervektoren ist in der kristallographischen Konvention:

,

ist also die zu duale Basis im .

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

Obige Gleichungen für den ergeben:

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter.

Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche Metrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im endlichdimensionalen Vektorraum mit pseudo-riemannscher Metrik und einer Basis betrachte den Dualvektor definiert durch

.

Dann gilt

  mit .

Dabei ist der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung, das äußere Produkt und der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen und .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.