Duffing-Oszillator

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Poincaré-Abbildung eines getriebenen Duffing-Oszillators

Der Duffing-Oszillator ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:

ist die Dämpfung, sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.

Duffing-Oszillator ohne Anregung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zustandsraumdarstellung des ungetriebenen Duffing-Oszillators ist

Für den stationären Fall gilt

und damit

und .

Die Gleichung liefert für drei stationäre Lösungen

Diese sind nur dann reell, wenn ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems

hat für die Eigenwerte

und für die Eigenwerte

.

Die Bedingung liefert zwei Fälle.

Fall 1: und

hat negative Realteile, d.h. dieser Punkt ist stabil.
hat einen positiven Realteil, d.h. diese Punkte sind instabil.

Fall 2: und

hat einen positiven Realteil, d.h. dieser Punkt ist instabil.
hat negative Realteile, d.h. diese Punkte sind stabil.

Die Differenzialgleichung

mit beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]